梅森指數
若一正整數 $p$ 可以使 $2^p - 1$ 為質數，則我們將 $p$ 稱為梅森指數。本文列出已知的梅森指數。
1 梅森指數
給定正整數 $p \comma$若 $2^p - 1$ 是質數，則我們稱 $p$ 為梅森指數（Mersenne exponent）。此時會有下列性質：
- $p$ 會是質數。
- $2^p - 1$ 稱為 $p$ 對應的梅森質數（Mersenne prime）。
- $2^{p-1}(2^p - 1)$ 為完全數。事實上，所有的偶完全數皆能以此形式表示。
梅森指數收錄於整數數列線上百科（OEIS）中的數列 A000043。
2 梅森指數列表
表 1 列出前 50 個梅森指數，其中 $p_{n-1}$ 為第 $n$ 小的梅森指數。表 2 則列出大於 $p_{49}$ 的數字中已被發現的梅森指數。
| $p_0$ | 2 |
| $p_1$ | 3 |
| $p_2$ | 5 |
| $p_3$ | 7 |
| $p_4$ | 13 |
| $p_5$ | 17 |
| $p_6$ | 19 |
| $p_7$ | 31 |
| $p_8$ | 61 |
| $p_9$ | 89 |
| $p_{10}$ | 107 |
| $p_{11}$ | 127 |
| $p_{12}$ | 521 |
| $p_{13}$ | 607 |
| $p_{14}$ | 1279 |
| $p_{15}$ | 2203 |
| $p_{16}$ | 2281 |
| $p_{17}$ | 3217 |
| $p_{18}$ | 4253 |
| $p_{19}$ | 4423 |
| $p_{20}$ | 9689 |
| $p_{21}$ | 9941 |
| $p_{22}$ | 11213 |
| $p_{23}$ | 19937 |
| $p_{24}$ | 21701 |
| $p_{25}$ | 23209 |
| $p_{26}$ | 44497 |
| $p_{27}$ | 86243 |
| $p_{28}$ | 110503 |
| $p_{29}$ | 132049 |
| $p_{30}$ | 216091 |
| $p_{31}$ | 756839 |
| $p_{32}$ | 859433 |
| $p_{33}$ | 1257787 |
| $p_{34}$ | 1398269 |
| $p_{35}$ | 2976221 |
| $p_{36}$ | 3021377 |
| $p_{37}$ | 6972593 |
| $p_{38}$ | 13466917 |
| $p_{39}$ | 20996011 |
| $p_{40}$ | 24036583 |
| $p_{41}$ | 25964951 |
| $p_{42}$ | 30402457 |
| $p_{43}$ | 32582657 |
| $p_{44}$ | 37156667 |
| $p_{45}$ | 42643801 |
| $p_{46}$ | 43112609 |
| $p_{47}$ | 57885161 |
| $p_{48}$ | 74207281 |
| $p_{49}$ | 77232917 |
| $p_{50}'$ | 82589933 |
| $p_{51}'$ | 136279841 |
目前仍在驗證 $p_{49}$ 與 $p_{51}'$ 之間是否還有其他尚未被發現的梅森指數，也還在尋找是否有更大的梅森指數存在。