梅森指數

本文列出目前已知的梅森指數。

1　梅森指數

給定正整數 $p \comma$若 $2^p - 1$ 是質數，則我們稱 $p$ 為梅森指數（Mersenne ex­po­nent）。此時：

• $p$ 會是質數。
• $2^p - 1$ 稱為 $p$ 對應的梅森質數（Mersenne prime）。
• $2^{p-1}(2^p - 1)$ 會是完全數。（事實上，所有的偶完全數皆能以此形式表示。）

2　梅森指數列表

表 1 列出前 48 個梅森指數，其中 $p_n$ 為第 $n+1$ 小的梅森指數。

除了表 1 中的梅森指數之外，還有 \[\begin{split} \begin{alignat*}{2} p_{48}' &={}& 74207281 &\jcomma \\ p_{49}' &={}& 77232917 &\jcomma \\ p_{50}' &={}& 82589933 &\jcomma \\ p_{51}' &={}& 136279841 \end{alignat*} \end{split}\] 也被確認是梅森指數。不過目前尚未排除在 $p_{47}$ 與 $p_{48}'$ 之間還有其他梅森指數的可能性。