112 年分科數學甲：試題與參考答案
本文包含 112 學年度分科測驗數學甲考科之試題與參考答案。
為便於各式裝置之使用者閱讀，部分題目之排版有略為調整。實際試題與答案以大考中心公布為準。
試題
考試時間：80 分鐘。
一、單選題（每題 6 分，共 18 分）
1. 坐標平面上，一質點由點 $(-3,-2)$ 出發，沿著向量 $(a,1)$ 的方向移動 5 單位長之後剛好抵達 $x$ 軸，其中 $a$ 為正實數。試問 $a$ 值等於下列哪一個選項？
(1) $\rule[-2.3ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{\sqrt{13}}{2}$ (2) $2$ (3) $\sqrt{5}$ (4) $\rule[-2.3ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{\sqrt{21}}{2}$ (5) $2\sqrt{6}$ 2. 放射性物質的半衰期 $T$ 定義為「每經過時間 $T$，該物質的質量會衰退成原來的一半」。鉛製容器中有 $A$、$B$ 兩種放射性物質，其半衰期分別為 $T_A$、$T_B$。開始記錄時這兩種物質的質量相等，112 天後測量發現物質 $B$ 的質量為物質 $A$ 的質量的四分之一。根據上述，試問 $T_A$、$T_B$ 滿足下列哪一個關係式？
(1) $\rule[-2.55ex]{0pt}{3.8ex}{-2}+\dfrac{112}{T_A}=\dfrac{112}{T_B}$ (2) $\rule[-2.55ex]{0pt}{3.8ex}2+\dfrac{112}{T_A}=\dfrac{112}{T_B}$ (3) $\rule[-2.55ex]{0pt}{3.8ex}{-2}+\log_2\dfrac{112}{T_A}=\log_2\dfrac{112}{T_B}$ (4) $\rule[-2.55ex]{0pt}{3.8ex}2+\log_2\dfrac{112}{T_A}=\log_2\dfrac{112}{T_B}$ (5) $\rule[-2.55ex]{0pt}{3.8ex}2\log_2\dfrac{112}{T_A}=\log_2\dfrac{112}{T_B}$ 3.$\rod{4}{0}$ 試問極限 $\rod{4}{0}\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{3}{n^2}\mkern-4mu\times\mkern-4mu\Bigl(\!\sqrt{\rod{1.8}{0.5}\smash{4n^2\!+\!9\!\times\!1^2}}\!+\!\!\sqrt{\rod{1.8}{0.5}\smash{4n^2\!+\!9\!\times\!2^2}}\!+\!\cdots\!+\!\sqrt{\rod{1.8}{0.5}\smash{4n^2\!+\!9\!\times\!(n \varminus 1)^2}}\Bigr)$ 的值可用下列哪一個定積分表示？
(1)$\rod{4}{0}$ $\rod{4}{0}\displaystyle\int_0^3 \mkern-5mu\sqrt{\rod{1.8}{0}1+x^2}\,dx$ (2)$\rod{4}{0}$ $\rod{4}{0}\displaystyle\int_0^3 \mkern-5mu\sqrt{\rod{1.8}{0}1+9x^2}\,dx$ (3)$\rod{4}{0}$ $\rod{4}{0}\displaystyle\int_0^3 \mkern-5mu\sqrt{\rod{1.8}{0}4+x^2}\,dx$ (4)$\rod{4}{0}$ $\rod{4}{0}\displaystyle\int_0^3 \mkern-5mu\sqrt{\rod{1.8}{0}4+9x^2}\,dx$ (5)$\rod{4}{0}$ $\rod{4}{0}\displaystyle\int_0^3 \mkern-5mu\sqrt{\rod{1.8}{0}4x^2+9}\,dx$
二、多選題（每題 8 分，共 40 分）
| 4. |
設 $a,b$ 為實數。已知四個數 $-3 \cm -1 \cm 4 \cm 7$ 皆滿足 $x$ 的不等式 ${\lvert x - a \rvert} \leq b$，試選出正確的選項。
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| 5. |
考慮實係數多項式 $f(x)=x^4-4x^3-2x^2+ax+b \textrm{。}$已知方程式 $f(x)=0$ 有虛根 $1+2i$（其中 $i = \sqrt{-1}\;\textrm{），}$試選出正確的選項。
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| 6. |
設 $a,b,c,d,r,s,t$ 皆為實數，已知坐標空間中三個非零向量 $\vec{u} = (a,b,0)$、$\vec{v} = (c,d,0)$ 及 $\vec{w} = (r,s,t)$ 滿足內積 ${\vec{w} \cdot \vec{u}} = {\vec{w} \cdot \vec{v}} = 0 \textrm{。}$考慮三階方陣
$\displaystyle A = \begin{bmatrix}a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ r & s & t\end{bmatrix}$，
試選出正確的選項。
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| 7. |
有一個依順時針方向依序標示 $1, 2, \ldots, 12$ 數字的圓形時鐘（如圖所示）。一開始在此時鐘「12」點鐘位置擺設一枚棋子，然後每次投擲一枚均勻銅板，依投擲結果，照以下規則移動這枚棋子的位置：
例如：若投擲銅板三次均為正面，則棋子第一次移動到「5」點鐘位置，第二次移動到「10」點鐘位置，第三次移動到「3」點鐘位置。 對任一正整數 $n$，令隨機變數 $X_n$ 代表依上述規則經過 $n$ 次移動後棋子所在的點鐘位置，$\Prob{X_n {\mkern2mu=\mkern2mu} k}$ 代表 $X_n = k$ 的機率（其中 $k = 1 \cm 2 \cm \ldots \cm 12$），且令 $\EV{X_n}$ 代表 $X_n$ 的期望值。試選出正確的選項。
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| 8. |
複數平面上，設 $\conj{\rod{1.3}{0}z}$ 代表複數 $z$ 的共軛複數，且 $i = \sqrt{-1} \textrm{。}$試選出正確的選項。
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三、選填題（每題 6 分，共 18 分）
| 9. | 已知平面上直角 $\triangle\,ABC$ 三邊長 $\overline{AB} = \sqrt{7}$、$\overline{AC} = \sqrt{3}$、$\overline{BC} = 2 \textrm{。}$若分別以 $\overline{AB}$ 與 $\overline{AC}$ 為底邊在 $\triangle\,ABC$ 的外部作頂角等於 $120^\circ$ 的等腰三角形 $\triangle\,MAB$ 與 $\triangle\,NAC \textrm{，}$則 $\overline{MN}^{\kern1.5mu2} = \rule[0ex]{0pt}{3.8ex}\underline{\dfrac{\maru\maru}{\maru}}\text{。}$（化為最簡分數） | ||||
| 10. | 坐標空間中有方向向量為 $(1,-2,2)$ 的直線 $L$、平面 $E_1:2x+3y+6z=10$ 與平面 $E_2:2x+3y+6z=-4 \textrm{。}$則 $L$ 被 $E_1$、$E_2$ 所截線段的長度為 $\rule[0ex]{0pt}{3.8ex}\underline{\dfrac{\maru\maru}{\maru}}\text{。}$（化為最簡分數） | ||||
| 11. |
百貨公司舉辦父親節抽牌送獎品活動，規則如下：主辦單位準備編號 1、2、…、9 的牌卡十張，其中編號 8 的牌卡有兩張，其他編號的牌卡均只有一張。從這十張牌隨機抽出四張，且抽出不放回，依抽出順序由左至右排列成一個四位數。若排成的四位數滿足下列任一個條件，就可獲得獎品：
例如：若抽出四張牌編號依序為 5、8、2、8，則此四位數為 5828，可獲得獎品。依上述規則，共有 $\underline{\maru\maru\maru\maru}$ 個抽出排成的四位數可獲得獎品。 |
四、混合題或非選擇題（共 24 分）
12–14 題為題組。
設 $a,b$ 為實數，並設 $O$ 為坐標平面的原點。已知二次函數 $f(x) = ax^2$ 的圖形與圓 $\Omega: x^2+y^2-3y+b=0$ 皆通過點 $P\biggl(1,\dfrac{1}{2}\biggr)\textrm{，}$並令點 $C$ 為 $\Omega$ 的圓心。根據上述，試回答下列問題。
| 12. | 試求向量 $\vec{CO}$ 與 $\vec{CP}$ 夾角的餘弦值。（非選擇題，2 分） |
| 13. | 試證明 $y=f(x)$ 圖形與 $\Omega$ 在 $P$ 點有共同的切線。（非選擇題，4 分） |
| 14. | 試求 $y=f(x)$ 圖形上方與 $\Omega$ 下半圓弧所圍區域的面積。（非選擇題，6 分） |
15–17 題為題組。
坐標平面上，設 $\Gamma$ 為中心在原點且長軸落在 $y$ 軸上的橢圓。已知對原點逆時針旋轉 $\theta$ 角（其中 $0 < \theta < \pi\;\textrm{）}$的線性變換將 $\Gamma$ 變換到新橢圓
${\Gamma\.}': 40x^2 + 4\sqrt{5}xy + 41y^2 = 180$，
點 $\biggl(-\dfrac{5}{3}\rule[-2.8ex]{0pt}{0ex}, \dfrac{2\sqrt{5}}{3}\biggr)$ 為 ${\Gamma\.}'$ 上離原點最遠的兩點之一。根據上述，試回答下列問題。
| 15. | 橢圓 ${\Gamma\.}'$ 的長軸長為 $\underline{\maru\sqrt{\rule[0ex]{0pt}{2ex}\maru}}$。（化為最簡根式）（選填題，2 分） |
| 16. | 試求 ${\Gamma\.}'$ 短軸所在的直線方程式與短軸長。（非選擇題，4 分） |
| 17. | 已知在 $\Gamma$ 上的一點 $P$ 經由此旋轉後得到的點 ${P\.\.}'$ 落在 $x$ 軸上，且 ${P\.\.}'$ 點的 $x$ 坐標大於 0。試求 $P$ 點的坐標。（非選擇題，6 分） |
參考答案
| 1. | (4) |
| 2. | (2) |
| 3. | (3) |
| 4. | (1)(2) |
| 5. | (1)(3) |
| 6. | (1)(4)(5) |
| 7. | (1)(4) |
| 8. | (2)(3) |
| 9.$\rod{3.6}{0}$ | $\rod{3.6}{2}\dfrac{13}{3}$ |
| 10.$\rod{3.6}{0}$ | $\rod{3.6}{2}\dfrac{21}{4}$ |
| 11. | $1554$ |
| 12.$\rod{3.6}{0}$ | $\rod{3.6}{2}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
| 13. | 證明略。 |
| 14.$\rod{3.6}{0}$ | $\rod{3.6}{2}\dfrac{5}{3} - \dfrac{\pi}{2}$ |
| 15. | $2\sqrt{5}$ |
| 16.$\rod{3.6}{0}$ | $\rod{3.6}{0}$短軸方程式為 $y=\rod{3.6}{0}\dfrac{\sqrt{5}}{2}x \textrm{；}$短軸長為 4。 |
| 17.$\rod{3.6}{2.6}$ | $\biggl(\sqrt{2}, -\dfrac{\sqrt{10}}{2}\biggr)$ |