113 年分科數學甲：試題與參考答案

本文包含 113 學年度分科測驗數學甲考科之試題與參考答案。

為便於各式裝置之使用者閱讀，部分題目之排版有略為調整。實際試題與答案以大考中心公布為準。 $ \gdef\vec#1{\smash{\overrightharpoon{#1}}} \gdef\absvec#1{\lvert\mkern-1mu\smash{\overrightharpoon{#1}}\mkern-1mu\rvert} \gdef\conj#1{\mkern2mu\overline{\mkern-2mu#1}} \gdef\Prob#1{P(\kern1mu{#1})} \gdef\EV#1{E(\kern1mu{#1})} \gdef\maru{\mathord{\bigcirc}} $

試題

考試時間：80 分鐘。

一、單選題（每題 6 分，共 18 分）

1. 如下圖所示，有一 $\triangle\mkern2muABC \comma$已知 $\overline{BC}$ 邊上的高 $\overline{AD} = 12 \comma$且 $\tan\angle\mkern2muB = \rod{3.6}{0}\dfrac{3}{2} \jcomma \tan \angle\mkern2muC = \rod{3.6}{0}\dfrac{2}{3} \period$試問 $\overline{BC}$ 的長度為何？

   

   1. 20
   2. 21
   3. 24
   4. 25
   5. 26
2. 坐標平面上，橢圓 $\Gamma$ 的方程式為 $\rod{3.6}{2.5}\dfrac{x^2}{a^2} + \rod{3.6}{2.5}\dfrac{y^2}{6^2} = 1$（其中 $a$ 為正實數）。若將 $\Gamma$ 以原點 $O$ 為中心，沿 $x$ 軸方向伸縮為 2 倍、沿 $y$ 軸方向伸縮為 3 倍後，所得到的新圖形會通過點 $(18, 0) \period$試問下列哪一個選項是 $\Gamma$ 的焦點？
   1. $(0, 3\sqrt{3})$
   2. $(-3\sqrt{5}, 0)$
   3. $(0, 6\sqrt{13})$
   4. $(-3\sqrt{13}, 0)$
   5. $(9, 0)$
3. 想在 $5 \times 5$ 的棋盤上擺放 4 個相同的西洋棋的城堡棋子。由於城堡會將同一行或是同一列的棋子吃掉，故擺放時規定每一行與每一列最多只能擺放一個城堡。在第一列的第一、三、五格（如圖示畫叉的格子）不擺放的情況下，試問共有多少種擺放方式？

   

   1. 216
   2. 240
   3. 288
   4. 312
   5. 360

二、多選題（每題 8 分，共 40 分）

• 4.$\rod{3.6}{0}$ $\rod{3.6}{0}$一遊戲廠商將舉辦抽獎活動，廠商公告每次抽獎需使用掉一個代幣，且每次抽獎的中獎機率皆為 $\rod{3.6}{2.5}\dfrac{1}{10} \period$某甲決定先存若干個代幣，並在活動開始後進行抽獎，直到用完所有代幣才停止。試選出正確的選項。

  • (1) 某甲中獎一次所需要抽獎次數的期望值為 10

  • (2) 某甲抽獎兩次就中獎一次以上的機率為 0.2

  • (3) 某甲抽獎 10 次都沒中獎的機率小於抽獎 1 次就中獎的機率

  • (4) 某甲至少要存 22 個代幣，才能保證中獎的機率大於 0.9

  • (5) 某甲只要存足夠多的代幣，就可以保證中獎的機率為 1

• 5. 設 $f(x)$ 為三次實係數多項式。已知 $f(-2-3i) = 0$（其中 $i = \sqrt{-1}\,\rparen\mkern-9mu\comma$且 $f(x)$ 除以 $x^2+x-2$ 的餘式為 18。試選出正確的選項。

  • (1) $f(2+3i) = 0$

  • (2) $f(-2)=18$

  • (3) $f(x)$ 的三次項係數為負

  • (4) $f(x)=0$ 恰有一正實根

  • (5) $y = f(x)$ 圖形的對稱中心在第一象限

• 6. 坐標空間中，考慮滿足內積 $\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{15}$ 與外積 $\vec{u} \times \vec{v} = (-1, 0, 3)$ 的兩向量 $\vec{u} \textrm{、}$$\vec{v} \period$試選出正確的選項。

  • (1) $\vec{u}$ 與 $\vec{v}$ 的夾角 $\theta$（其中 $0 \leq \theta\leq \pi$，$\pi$ 為圓周率）大於 $\pi/4$

  • (2) $\vec{u}$ 可能為 $(1, 0, -1)$

  • (3) $\absvec{u} + \absvec{v} \geq 2\sqrt{5}$

  • (4) 若已知 $\vec{v} \comma$則 $\vec{u}$ 可以被唯一決定

  • (5) 若已知 $\absvec{u} + \absvec{v} \comma$則 $\absvec{v}$ 可以被唯一決定

• 7.$\rod{4}{0}$ $\rod{4}{0}$坐標平面上，考慮兩函數 $f(x) = x^5 - 5x^3 + 5x^2 + 5$ 與 $g(x) = \sin\biggl(\rod{4}{2.5}\dfrac{\pi x}{3} + \dfrac{\pi}{2}\biggr)$ 的函數圖形（其中 $\pi$ 為圓周率）。試選出正確的選項。

  • (1) $f^{\mkern1mu\prime}(1) = 0$

  • (2) $y=f(x)$ 在閉區間 $[0,2]$ 為遞增

  • (3) $y=f(x)$ 在閉區間 $[0,2]$ 為凹向上

  • (4) 對任意實數 $x \comma$$g(x + 6\pi) = g(x)$

  • (5) $y=f(x)$ 與 $y=g(x)$ 在閉區間 $[3,4]$ 皆為遞增

• 8. 設 $z$ 為非零複數，且設 $\alpha = \lvert z \rvert \textrm{、}$$\beta$ 為 $z$ 的輻角，其中 $0 \leq \beta < 2\.\pi$（其中 $\pi$ 為圓周率）。對任一正整數 $n \comma$設實數 $x_n$ 與 $y_n$ 分別為 $z^n$ 的實部與虛部。試選出正確選項。

  • (1)$\rod{4}{0}$ 若 $\rod{4}{0}\alpha = 1$ 且 $\beta = \dfrac{3\pi}{7} \comma$則 $x_{10} = x_3$

  • (2) 若 $y_3 = 0 \comma$ 則 $y_6 = 0$

  • (3) 若 $x_3 = 1 \comma$ 則 $x_6 = 1$

  • (4) 若數列 $\bigl\langle y_{\mkern-2mun} \bigr\rangle$ 收斂，則 $\alpha \leq 1$

  • (5) 若數列 $\bigl\langle x_{\mkern-1mun} \bigr\rangle$ 收斂，則數列 $\bigl\langle y_{\mkern-2mun} \bigr\rangle$ 也收斂

三、選填題（每題 6 分，共 18 分）

• 9.$\rod{4}{0}$ $\rod{4}{0}$設 $a, b, c, d$ 為實數。已知兩聯立方程組 $ \rod{4}{4} \begin{cases} ax+by=2 \\ cx+dy=1 \end{cases} \textrm{、} $$ \rod{4}{4} \begin{cases} ax+by=-1 \\ cx+dy=-1 \end{cases} $ 的增廣矩陣經過相同的列運算後，分別得到 \[\begin{split} \biggl[\hspace{-.4em} \begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \hspace{-.4em}\biggr] \textrm{、} \biggl[\hspace{-.4em} \begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{array} \hspace{-.4em}\biggr] \comma \end{split}\] 則聯立方程組 $ \begin{cases} ax+by=0 \\ cx+dy=1 \end{cases} $ 的解為 $x = \underline{\maru\maru} \comma$$y = \underline{\maru} \period$

• 10.$\rod{3.6}{0}$ $\rod{3.6}{0}$坐標平面上，設 $\Gamma$ 為以原點為圓心的圓，$P$ 為 $\Gamma$ 與 $x$ 軸的其中一個交點。已知通過 $P$ 點且斜率為 $\rod{3.6}{2.5}\dfrac{1}{2}$ 的直線交 $\Gamma$ 於另一點 $Q \comma$且 $\overline{PQ} = 1 \comma$則 $\Gamma$ 的半徑為 $\rod{3.6}{2.5}\underline{\dfrac{\sqrt{\rod{2}{0}\maru}}{\maru}} \period$（化為最簡根式）

• 11. 設實數 $a_1 \cm a_2 \cm \ldots \cm a_9$ 是公差為 2 的等差數列，其中 $a_1 \neq 0$ 且 $a_3 > 0 \period$若 $\log_2 a_3 \cm \log_2 b \cm \log_2 a_9$ 三數依序也成等差數列，其中 $b$ 為 $a_4 \cm a_5 \cm a_6 \cm a_7 \cm a_8$ 其中一數，則 $a_9 = \rod{3.6}{2.5}\underline{\dfrac{\maru\maru}{\maru}} \period$（化為最簡分數）

四、混合題或非選擇題（共 24 分）

12–14 題為題組。

坐標空間中，考慮三個平面 $E_1 \colon x+y+z = 7 \jcomma E_2 \colon x-y+z = 3 \jcomma E_3 \colon x-y-z = -5 \period$令 $E_1$ 與 $E_2$ 相交的直線為 $L_3 \semicolon E_2$ 與 $E_3$ 相交的直線為 $L_1 \semicolon E_3$ 與 $E_1$ 相交的直線為 $L_2 \period$根據上述，試回答下列問題。

1. 已知三直線 $L_1 \jcomma L_2 \jcomma L_3$ 有共同交點，試求此共同交點 $P$ 的坐標。（非選擇題，4 分）
2. 試說明 $L_1 \jcomma L_2 \jcomma L_3$ 中，任兩直線所夾的銳角皆為 $60^\circ \period$（非選擇題，4 分）

   • （註： 令 $L_1$ 與 $L_2$ 所夾的銳角為 $\alpha \comma$$L_2$ 與 $L_3$ 所夾的銳角為 $\smash{\beta \comma}$$L_3$ 與 $L_1$ 所夾的銳角為 $\gamma\;\rparen$

3. 若坐標空間中的第四個平面 $E_4$ 與 $E_1 \jcomma E_2 \jcomma E_3$ 圍出一個邊長為 $6\sqrt{2}$ 的正四面體，試求出 $E_4$ 的方程式（寫成 $x+ay+bz=c$ 的形式）。（非選擇題，4 分）

15–17 題為題組。

坐標平面上，設 $\Gamma$ 為三次函數 $f(x) = x^3-9x^2+15x-4$ 的函數圖形。根據上述，試回答下列問題。

1. 試問下列何者為 $f(x)$ 的導函數？（單選題，2 分）
   1. $x^2-9x+15$
   2. $3x^3-18x^2+15x-4$
   3. $3x^3-18x^2+15x$
   4. $3x^2-18x+15$
   5. $x^2-18x+15$
2. 試說明 $P(1, 3)$ 為 $\Gamma$ 上一點，並求 $\Gamma$ 在 $P$ 點的切線 $L$ 的方程式。（非選擇題，4 分）
3. 承 16 題，試求 $\Gamma$ 和 $L$ 所圍成有界區域的面積。（非選擇題，6 分）

參考答案

1. (5)
2. (2)
3. (4)
4. (1)(4)
5. (2)(3)(4)
6. (3)(4)
7. (1)(2)(5)
8. (2)(5)
9. $-7 \semicolon 0$
10. $\dfrac{\sqrt{5}}{4}$
11. $\dfrac{25}{2}$
12. $(1,2,4)$
13. 證明略。
14. $x+y-z=-13$ 或 $x+y-z=11$
15. (4)
16. $y=3$
17. 108