114 年分科數學甲：試題與參考答案

試題／114 年分科數學甲：試題與參考答案

本文包含 114 學年度分科測驗數學甲考科之試題與參考答案。

為便於各式裝置之使用者閱讀，部分題目之排版有略為調整。實際試題與答案以大考中心公布為準。 $ \gdef\vec#1{\smash{\overrightharpoon{#1}}} \gdef\fraction#1#2{\rod{3.6}{2.5}\dfrac{#1}{#2}} \gdef\conj#1{\mkern2mu\overline{\mkern-2mu#1}} \gdef\maru{\mathord{\bigcirc}} $

試題

考試時間：80 分鐘。

一、單選題（每題 6 分，共 18 分）

  1. 坐標平面上，函數 $y = \sin x$ 的圖形對稱於 $x = \fraction{\pi}{2} \comma$如圖所示。試選出在 $0 < \theta \leq \pi$ 的範圍中滿足 $\sin \theta = \sin \biggl(\theta + \fraction{\pi}{5}\biggr)$ 的 $\theta$ 值。

    1. $\fraction{\pi}{5}$
    2. $\fraction{2\pi}{5}$
    3. $\fraction{3\pi}{5}$
    4. $\fraction{4\pi}{5}$
    5. $\pi$

  2. 空間中一正立方體 $ABCD\!-\!EFGH \comma$其中頂點 $A \jcomma B \jcomma C \jcomma D$ 在同一平面上，且 $\overline{AE}$ 為其中一個邊，如圖所示。下列選項中，試選出與平面 $BGH$ 以及平面 $CFE$ 皆垂直的平面。

    1. 平面 $ADH$
    2. 平面 $BCD$
    3. 平面 $CDG$
    4. 平面 $DFG$
    5. 平面 $DFH$

  3. 《幾何原本》上說：「給定相異兩點可決定一條直線」。一般來說，相異三點可決定 $C^3_2 = 3$ 條直線；但若這三點共線，此時僅決定一條直線。坐標平面上，已知圓 $\Gamma_1 \colon x^2 + y^2 = 4$ 與兩坐標軸交於 4 點、圓 $\Gamma_2 \colon x^2 + y^2 = 2$ 與直線 $x - y = 0$ 交於 2 點、圓 $\Gamma_2$ 與直線 $x + y = 0$ 交於 2 點。試問這 8 點共可決定幾條不同的直線？

    1. 12
    2. 16
    3. 20
    4. 24
    5. 28

二、多選題（每題 8 分，共 40 分）

  1. 試從下列坐標平面上的二次曲線中，選出與所有的鉛直線都相交的選項。
    1. $\fraction{x^2}{9} + \fraction{y^2}{4} = 1$
    2. $\fraction{x^2}{9} - \fraction{y^2}{4} = 1$
    3. $-\fraction{x^2}{9} + \fraction{y^2}{4} = 1$
    4. $y = \fraction{4}{9}x^2$
    5. $x = \fraction{4}{9}y^2$
  2. 有一實數數列 $\langle a_n \rangle \comma$其中 $a_n = \cos\biggl(n\pi \varminus \fraction{\pi}{6}\biggr) \comma n$ 為正整數。試選出正確的選項。
    1. $a_1 = -\fraction{1}{2}$
    2. $a_2 = a_3$
    3. $a_4 = a_{24}$
    4. $\langle a_n \rangle$ 為收斂數列，且 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n < 1$
    5. $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (a_n)^n = 3 - 2\sqrt{3}$
  3. 設指數函數 $f(x) = 1.2^x \period$試選出正確的選項。
    1. $f(0) > 0$
    2. $f(10) > 10$
    3. 坐標平面上，$y = 1.2^x$ 的圖形與 $y = x$ 相交
    4. 坐標平面上，$y = 1.2^x$ 與 $y = \log(1.2^x)$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
    5. 對任意正實數 $b \comma \log_{1.2} b \neq 1.2^b$
  4. 已知實係數多項式 $f(x)$ 的次數大於 5，且最高次項係數為正。又 $f(x)$ 在 $x = 1 \jcomma 2 \jcomma 4$ 處有極小值，且在 $x = 3 \jcomma 5$ 處有極大值。根據上述，試選出正確的選項。
    1. $f(1) < f(3)$
    2. 存在實數 $a, b$ 滿足 $1 < a < b < 2 \comma$使得 $f'(a) > 0$ 且 $f'(b) < 0$
    3. $f''(3) > 0$
    4. 存在實數 $c > 5 \comma$使得 $f'(c) > 0$
    5. $f(x)$ 的次數大於 7
  5. 設複數 $z$ 的虛部不為 0 且 $\lvert z \rvert = 2 \period$已知在複數平面上，$1 \jcomma z \jcomma z^3$ 共線。試選出正確的選項。
    1. $z \cdot \conj{\rod{1.3}{0}z} = 2$
    2. $\fraction{z^3 \varminus z}{z \varminus 1}$ 的虛部為 0
    3. $z$ 的實部為 $-\fraction{1}{2}$
    4. $z$ 滿足 $z^2 - z + 4 = 0$
    5. 在複數平面上，$-2 \jcomma z \jcomma z^2$ 共線

三、選填題（每題 6 分，共 18 分）

  1. 令 $A$ 為以原點為中心逆時針旋轉 $\theta$ 角的旋轉矩陣，且令 $B$ 為以 $x$ 軸為鏡射軸（對稱軸）的鏡射矩陣。令 \[\begin{split}A = \begin{bmatrix}a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4\end{bmatrix} \jcomma BA = \begin{bmatrix}c_1 & c_2 \\ c_3 & c_4\end{bmatrix} \period\end{split}\]已知 \[\begin{split}a_1 \varplus a_2 \varplus a_3 \varplus a_4 = 2(c_1 \varplus c_2 \varplus c_3 \varplus c_4) \comma\end{split}\]則 $\tan\theta = \underline{\fraction{\maru\maru}{\maru}} \period$（化為最簡分數）
  2. 坐標空間中一平面與平面 $x = 0 \jcomma$平面 $z = 0$ 分別交於直線 $L_1 \jcomma L_2 \period$已知 $L_1 \jcomma L_2$ 互相平行，且 $L_1$ 通過點 $(0, 2, -11) \jcomma L_2$ 通過點 $(8, 21, 0) \comma$則 $L_1 \jcomma L_2$ 的距離為 $\underline{\sqrt{\rod{2}{0} \maru\maru\maru}} \period$（化為最簡根式）
  3. 坐標平面上有一平行四邊形 $\Gamma \comma$其中兩邊所在的直線與 $5x - y = 0$ 平行，另兩邊所在的直線與 $3x - 2y = 0$ 垂直。令 $\Gamma$ 的兩對角線交點為 $Q \period$已知 $\Gamma$ 有一頂點 $P \comma$滿足 $\vec{PQ} = (10, -1) \comma$則 $\Gamma$ 的面積為 $\underline{\maru\maru\maru} \period$

四、混合題或非選擇題（共 24 分）

12–14 題為題組。

某商店以抽獎方式販售一熱門公仔，每次抽獎都互相獨立且抽中的機率為 $\fraction{2}{5} \period$參加者可用以下兩種方式參加抽獎。

根據上述，試回答下列問題。

  1. 若以方式一抽獎，則共需付 300 元才能得到一個公仔的機率為何？（單選題，2 分）
    1. $\biggl(\fraction{2}{5}\biggr)^2$
    2. $\biggl(\fraction{2}{5}\biggr)^3$
    3. $\biggl(\fraction{3}{5}\biggr)^2$
    4. $\biggl(\fraction{3}{5}\biggr)^3$
    5. $\biggl(\fraction{2}{5}\biggr) \times \biggl(\fraction{3}{5}\biggr)^2$
  2. 若以方式二抽獎直到抽中一個公仔為止，試依期望值定義，使用 $\sum$ 符號表示所需抽獎次數的期望值，並求其值。（非選擇題，4 分）
  3. 假設花費金額不設限直到得到一個公仔為止，試分別求出這兩種抽獎方式得到一個公仔所需付金額的期望值，並說明這兩個期望值的大小關係。（非選擇題，6 分）

15–17 題為題組。

設實係數多項式函數 $f(x) = 3ax^2 + (1 \varminus a) \comma$其中 $-\fraction{1}{2} \leq a \leq 1 \period$在坐標平面上，令 $\Gamma$ 為 $y = f(x)$ 與 $x$ 軸在 $-1 \leq x \leq 1$ 所圍的區域。根據上述，試回答下列問題。

  1. 證明當 $-1 \leq x \leq 1$ 時，$f(x) \geq 0$ 皆成立。（非選擇題，4 分）
  2. 證明對於所有 $a \in \biggl[-\fraction{1}{2}, 1\biggr] \comma \Gamma$ 的面積皆為 2。（非選擇題，2 分）
  3. 令 $V$ 為 $\Gamma$ 繞 $x$ 軸旋轉所得旋轉體的體積。試問對所有 $a \in \biggl[-\fraction{1}{2}, 1\biggr] \comma V$ 是否都相等？若相等，則求其值；若不相等，則當 $a$ 為多少時，$V$ 有最大值，並求此最大值。（非選擇題，6 分）

參考答案

  1. (2)
  2. (1)
  3. (3)
  4. (3)(4)
  5. (3)(5)
  6. (1)(3)
  7. (2)(4)(5)
  8. (2)(3)(5)
  9. $\fraction{-1}{2}$
  10. $\sqrt{185}$
  11. 204
  12. (3)
  13. $\fraction{5}{2}$
  14. 方式一與方式二分別為 252 元與 250 元；方式一的金額期望值較高
  15. 證明略。
  16. 證明略。
  17. 不會都相等；當 $a = 1$ 時 $V$ 具有最大值 $\fraction{18\pi}{5}$