112 年學測數學 A：試題與參考答案

試題／112 年學測數學 A：試題與參考答案

本文包含 112 學年度學科能力測驗數學 A 考科之試題與參考答案。

為便於各式裝置之使用者閱讀，部分題目之排版有略為調整。實際試題與答案以大考中心公布為準。 $ \gdef\vec#1{\smash{\overrightharpoon{#1}}} \gdef\maru{\mathord{\bigcirc}} \gdef\rod#1#2{\rule[0ex]{0pt}{#1ex}\rule[-#2ex]{0pt}{1ex}} $

試題

考試時間：100 分鐘。

一、單選題（每題 5 分，共 30 分）

1. 若在計算器中鍵入某正整數 $N$，接著連按$\text{「}\sqrt{\hspace{.5em}}\text{」}$鍵（取正平方根）3 次，視窗顯示得到答案為 2，則 $N$ 等於下列哪一個選項？
(1) $2^3$
(2) $2^4$
(3) $2^6$
(4) $2^8$
(5) $2^{12}$
2. 坐標平面上，以原點 $O$ 為圓心、1 為半徑作圓，分別交坐標軸正向於 $A$、$B$ 兩點。在第一象限的圓弧上取一點 $C$ 作圓的切線分別交兩軸於點 $D$、$E$，如圖所示。令 $\angle\,OEC = \theta$，試選出為 $\tan \theta$ 的選項。

(1) $\overline{OE}$
(2) $\overline{OC}$
(3) $\overline{OD}$
(4) $\overline{CE}$
(5) $\overline{CD}$
3. 某生推導出兩物理量 $s, t$ 應滿足一等式。為了驗證其理論，他做了實驗得到 15 筆兩物理量的數據 $(s_k, t_k)\textrm{，}$$k = 1, \allowbreak \ldots, \allowbreak 15 \textrm{。}$老師建議他將其中的 $t_k$ 先取對數，在坐標平面上標出對應的點 $(s_k, \log t_k)\textrm{，}$$k = 1, \allowbreak \ldots, \allowbreak 15\textrm{，}$如圖所示；其中第一個數據為橫軸坐標，第二個數據為縱軸坐標。利用迴歸直線分析，某生印證了其理論。試問該生所得 $s, t$ 的關係式最可能為下列哪一選項？

(1) $s=2t$
(2) $s=3t$
(3) $t=10^s$
(4) $t^2=10^s$
(5) $t^3=10^s$
4. 將數字 1、 2、 3、…、 9 等 9 個數字排成九位數（數字不得重複），使得前 5 位從左至右遞增、且後 5 位從左至右遞減。試問共有幾個滿足條件的九位數？
(1) $\rule[-2.3ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{8!}{4!4!}$
(2) $\rule[-2.3ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{8!}{5!3!}$
(3) $\rule[-2.3ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{9!}{5!4!}$
(4) $\rule[-2.3ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{8!}{5!}$
(5) $\rule[-2.3ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{9!}{5!}$
5. 已知坐標空間中 $P$、$Q$、$R$ 為平面 $2x-3y+5z=\sqrt{7}$ 上不共線三點。令 $\vec{PQ} = (a_1, b_1, c_1) \textrm{，}$$\vec{PR} = (a_2, b_2, c_2) \textrm{。}$試選出下列行列式中絕對值為最大的選項。
(1) $\begin{vmatrix}-1&{\hspace{.42em}1\hspace{.42em}}&{\hspace{.42em}1\hspace{.42em}}\\a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\end{vmatrix}$
(2) $\begin{vmatrix}{\hspace{.42em}1\hspace{.42em}}&-1&{\hspace{.42em}1\hspace{.42em}}\\a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\end{vmatrix}$
(3) $\begin{vmatrix}{\hspace{.42em}1\hspace{.42em}}&{\hspace{.42em}1\hspace{.42em}}&-1\\a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\end{vmatrix}$
(4) $\begin{vmatrix}-1&-1&{\hspace{.42em}1\hspace{.42em}}\\a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\end{vmatrix}$
(5) $\begin{vmatrix}-1&-1&-1\\a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\end{vmatrix}$
6. 坐標空間中，考慮邊長為 1 的正立方體，固定一頂點 $O \textrm{。}$從 $O$ 以外的七個頂點隨機選取相異兩點，設此兩點為 $P \textrm{、}$$Q \textrm{，}$試問所得的內積 $\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$ 之期望值為下列哪一個選項？
(1) $\rule[-2.3ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{4}{7}$
(2) $\rule[-2.3ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{5}{7}$
(3) $\rule[-2.3ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{6}{7}$
(4) $1$
(5) $\rule[-2.3ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{8}{7}$

二、多選題（每題 5 分，共 30 分）

7. 某公司有甲、乙兩新進員工，兩人同時間入職且起薪相同。公司承諾給甲、乙兩員工調薪的方式如下：

甲： 工作滿 3 個月，下個月開始月薪增加 200 元；以後再每滿 3 個月皆依此方式調薪。
乙： 工作滿 12 個月，下個月開始月薪增加 1000 元；以後再每滿 12 個月皆依此方式調薪。

根據以上敘述，試選出正確的選項。

(1) 甲工作滿 8 個月後，第 9 個月的月薪比第 1 個月的月薪增加 600 元
(2) 工作滿一年後，第 13 個月甲的月薪比乙的月薪高
(3) 工作滿 18 個月後，第 19 個月甲的月薪比乙的月薪高
(4) 工作滿 18 個月時，甲總共領到的薪水比乙總共領到的薪水少
(5) 工作滿兩年後，在第 3 年 的 12 個月中，恰有 3 個月甲的月薪比乙的月薪高
8. 某抽獎遊戲單次中獎機率為 0.1，每次中獎與否皆為獨立事件。對每一正整數 $n \textrm{，}$令 $p_n$ 為玩此遊戲 $n$ 次至少中獎 $1$ 次的機率。試選出正確的選項。
(1) $p_{n+1} > p_n$
(2) $p_3 = 0.3$
(3) $\bigl\langle \mkern1mu p_{\mkern-1mu n} \bigr\rangle$ 為等差數列
(4) 玩此遊戲兩次以上，第一次未中獎且第二次中獎的機率等於 $p_2 - p_1$
(5) 玩此遊戲 $n$ 次且 $n \geq 2$ 時，至少中獎 2 次的機率等於 $2p_{\mkern-1mu n}$
9. 設 $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ 是首項為 3 且公比為 $3\sqrt{3}$ 的等比數列。試選出滿足不等式 $\log_3 a_1 - \log_3 a_2 + \log_3 a_3 - \log_3 a_4 + \cdots + (-1)^{n+1}\log_3 a_n > 18$ 的項數 $n$ 之可能選項。
(1) 23
(2) 24
(3) 25
(4) 26
(5) 27
10. 考慮坐標平面上的直線 $L \colon 5y+(2k-4)x-10k=0$（其中 $k$ 為一實數），以及長方形 $OABC$，其頂點坐標為 $O(0,0) \textrm{、}$$A(10,0) \textrm{、}$$B(10,6) \textrm{、}$$C(0,6) \textrm{。}$設 $L$ 分別交直線 $OC \textrm{、}$直線 $AB$ 於點 $D \textrm{、}$$E \textrm{。}$試選出正確的選項。
(1) 當 $k=4$ 時，直線 $L$ 通過點 $A$
(2)$\rod{3.6}{2.6}$ $\rod{3.6}{2.6}$若直線 $L$ 通過點 $C$，則 $L$ 的斜率為 $\rod{3.6}{2.6}{-\dfrac{5}{2}}$
(3) 若點 $D$ 在線段 $\overline{OC}$ 上，則 $0 \leq k \leq 3$
(4)$\rod{3.6}{0}$ $\rod{3.6}{0}$若 $\rod{3.6}{2.6}k = \dfrac{1}{2}$，則線段 $\overline{DE}$ 在長方形 $OABC$ 內部（含邊界）
(5)$\rod{3.6}{0}$ $\rod{3.6}{0}$若線段 $\overline{DE}$ 在長方形 $OABC$ 內部（含邊界），則 $L$ 的斜率可能為 $\rod{3.6}{2.6}\dfrac{3}{10}$
11. 坐標平面上，設 $A$、$B$ 分別表示以原點為中心，順時針、逆時針旋轉 $90^\circ$ 的旋轉矩陣。設 $C$、$D$ 分別表示以直線 $x=y$、$x=-y$ 為鏡射軸的鏡射矩陣。試選出正確的選項。
(1) $A$、$C$ 將點 $(1,0)$ 映射到同一點
(2) $A = -B$
(3) $C = D^{-1}$
(4) $AB = CD$
(5) $AC = BD$
12. 令 $f(x) = \sin x + \sqrt{3} \cos x$，試選出正確的選項。
(1)$\rod{3.6}{1.6}$ $\rod{3.6}{1.6}$鉛直線 $x = \rod{3.6}{1.6}\dfrac{\pi}{6}$ 為 $y = f(x)$ 圖形的對稱軸
(2) 若鉛直線 $x=a$ 和 $x=b$ 均為 $y=f(x)$ 圖形的對稱軸，則 $f(a) = f(b)$
(3) 在區間 $[0,2\pi)$ 中僅有一個實數 $x$ 滿足 $f(x)=\sqrt{3}$
(4)$\rod{3.6}{0}$ $\rod{3.6}{0}$在區間 $[0,2\pi)$ 中滿足 $f(x)=\rod{3.6}{1.6}\dfrac{1}{2}$ 的所有實數 $x$ 之和不超過 $2\pi$
(5)$\rod{3.6}{0}$ $\rod{3.6}{0}y=f(x)$ 的圖形可由 $y=4\sin^2 \dfrac{x}{2}\rod{3.6}{2.6}$ 的圖形經適當（左右、上下）平移得到

三、選填題（每題 5 分，共 25 分）

四、混合題或非選擇題（共 15 分）

18–20 題為題組。

坐標平面上 $O$ 為原點，給定 $A(1,0)$、 $B(-2,0)$ 兩點。另有兩點 $P$、$Q$ 在上半平面，且滿足 $\overline{AP} = \overline{OA} \textrm{、}$$\overline{BQ} = \overline{OB} \textrm{、}$$\angle\,POQ$ 為直角，如圖所示。令 $\angle\,AOP = \theta \textrm{。}$根據上述，試回答下列問題。

參考答案

1. (4)
2. (5)
3. (4)
4. (1)
5. (2)
6. (3)
7. (3)(5)
8. (1)(4)
9. (3)(5)
10. (1)(3)(5)
11. (2)(5)
12. (1)(5)
13. 80
14. $(3, -9)$
15.$\rod{3.6}{2.6}$ $\rod{3.6}{2.6}\dfrac{3}{4}$
16. $2\sqrt{2}$
17. $5\sqrt{2}$
18. (4)
19.$\rod{3.6}{2.6}$ $\rod{3.6}{2.6}Q$ 點坐標為 $\biggl(-\dfrac{36}{25},\dfrac{48}{25}\biggr)$；證明略。
20.$\rod{3.6}{2.6}$ $\rod{3.6}{2.6}$點 $A$ 到直線 $BQ$ 的距離為 $\rod{3.6}{2.6}\dfrac{72}{25} \textrm{；}$四邊形 $PABQ$ 的面積為 $\rod{3.6}{0}\dfrac{108}{25}$。