114 年學測數學 A：試題與參考答案

試題／114 年學測數學 A：試題與參考答案

本文包含 114 學年度學科能力測驗數學 A 考科之試題與參考答案。

為便於各式裝置之使用者閱讀，部分題目之排版有略為調整。實際試題與答案以大考中心公布為準。 $ \gdef\vec#1{\smash{\overrightharpoon{#1}}} \gdef\fraction#1#2{\rod{3.6}{2.5}\dfrac{#1}{#2}} \gdef\maru{\mathord{\bigcirc}} $

試題

考試時間：100 分鐘。

一、單選題（每題 5 分，共 30 分）

  1. 不透明袋中有藍、綠球各若干顆，且球上皆有 1 或 2 的編號，其顆數如下表，例如標有 1 號的藍色球有 2 顆。

    藍綠
    1 號24
    2 號3$k$

    從此袋中隨機抽取一球（每顆球被抽到的機率相等），若已知抽到藍色球的事件與抽到 1 號球的事件互相獨立，試問 $k$ 值為何？

    1. 2
    2. 3
    3. 4
    4. 5
    5. 6

  2. 坐標平面上，$P(a,0)$ 為 $x$ 軸上一點，其中 $a > 0 \period$令 $L_1 \jcomma L_2$ 為通過 $P$ 點，斜率分別為 $-\fraction{4}{3} \jcomma -\fraction{3}{2}$ 的直線。已知 $L_1 \jcomma L_2$ 分別與兩坐標軸圍成的兩個直角三角形的面積差為 3，試問 $a$ 值為何？

    1. $3\sqrt{2}$
    2. 6
    3. $6\sqrt{2}$
    4. 9
    5. $8\sqrt{2}$

  3. 某校舉辦音樂會，包含鋼琴表演 5 個、小提琴表演 4 個、歌唱表演 3 個等三類表演共 12 個不同曲目。該校想將同類表演排在一起，且歌唱必須排在鋼琴之後或是小提琴之後。試問這場音樂會可能的曲目排列方式共有幾種？

    1. $5! \times 4! \times 3!$
    2. $2 \times 5! \times 4! \times 3!$
    3. $3 \times 5! \times 4! \times 3!$
    4. $4 \times 5! \times 4! \times 3!$
    5. $6 \times 5! \times 4! \times 3!$

  4. 坐標平面上，$x$ 坐標與 $y$ 坐標均為整數的點稱為格子點。試問在函數圖形 $y = \log_2 x \jcomma$$x$ 軸與直線 $x = \fraction{61}{2}$ 所圍有界區域的內部（不含邊界）共有多少個格子點？

    1. 88
    2. 89
    3. 90
    4. 91
    5. 92

  5. 設 $0 \leq \theta \leq 2\pi \period$已知所有滿足 $\sin 2\theta > \sin \theta$ 且 $\cos 2\theta > \cos \theta$ 的 $\theta$ 可表為 $a \pi < \theta < b \pi \comma$其中 $a, b$ 為實數，試問 $b - a$ 值為何？

    1. $\fraction{1}{3}$
    2. $\fraction{1}{2}$
    3. $\fraction{2}{3}$
    4. $\fraction{3}{4}$
    5. 1

  6. 坐標空間中有三個彼此互相垂直之向量 $\vec{u} \jcomma \vec{v} \jcomma \vec{w} \period$已知 $\vec{u} - \vec{v} = (2, -1, 0) \comma$且 $\vec{v} - \vec{w} = (-1, 2, 3) \period$試問由 $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ 所張出的平行六面體之體積為何？

    1. $2\sqrt{5}$
    2. $5\sqrt{2}$
    3. $2\sqrt{10}$
    4. $4\sqrt{5}$
    5. $4\sqrt{10}$

二、多選題（每題 5 分，共 30 分）

  1. 已知數列 $\langle a_n \rangle$ 滿足 $3a_{n+1} = a_n + n$（對任意正整數 $n$ 都成立）且 $a_1 = 2 \period$令數列 $\langle b_n \rangle$ 滿足 \[\begin{split}b_n = a_n - \fraction{n}{2} + \fraction{3}{4} \period\end{split}\]試選出正確的選項。

    1. $a_2 = 2$
    2. $b_2 = \fraction{3}{4}$
    3. 數列 $\langle b_n \rangle$ 是公比為 $\fraction{2}{3}$ 的等比數列
    4. 對於任意正整數 $n \comma$$3^na_n$ 皆為正整數
    5. $b_{10} < 10^{-4}$

  2. 考慮坐標平面上滿足方程式 $\fraction{2^{x^2}}{8} = \fraction{4^x}{2^{y^2}}$ 的點 $P(x, y) \comma$試選出正確的選項。

    1. 當 $x = 3$ 時，滿足此方程式的解有相異 2 個
    2. 若點 $(a, b)$ 滿足此方程式，則點 $(-a, -b)$ 也滿足此方程式
    3. 所有可能的點 $P(x, y)$ 構成的圖形為一個圓
    4. 點 $P(x, y)$ 可能在直線 $x + y = 4$ 上
    5. 對於所有可能的點 $P(x, y) \comma$其 $x \varminus y$ 的最大值為 $1 + 2\sqrt{2}$

  3. 設 $b \jcomma c$ 為實數。已知二次方程式 $x^2 + bx + c = 0$ 有實根，但二次方程式 $x^2 + (b \varplus 2)x + c = 0$ 沒有實根。試選出正確的選項。

    1. $c < 0$
    2. $b < 0$
    3. $x^2 + (b \varplus 1)x + c = 0$ 有實根
    4. $x^2 + (b \varplus 2)x - c = 0$ 有實根
    5. $x^2 + (b \varminus 2)x + c = 0$ 有實根

  4. 令 $\Gamma$ 為坐標平面上 $y = \sin \pi x$ 在 $0 \leq x \leq 3$ 內之函數圖形。一水平直線 $L \colon y = k$ 與 $\Gamma$ 相交，其中三交點 $P(x_1, k) \cm Q(x_2, k) \cm R(x_3, k)$ 滿足 $x_1 < x_2 < 1 < x_3 \period$試選出正確的選項。

    1. $k > 0$
    2. $L$ 與 $\Gamma$ 恰有 3 個交點
    3. $x_1 + x_2 < 1$
    4. 若 $2\,\overline{PQ} = \overline{QR} \comma$則 $k = \fraction{1}{2}$
    5. $L$ 與 $\Gamma$ 所有交點的 $x$ 坐標之和大於 5

  5. 在 $\triangle\.ABC$ 中，$\overline{AB} = 6 \comma \overline{AC} = 5 \comma \overline{BC} = 4 \period$令 $\overline{AB}$ 中點為 $D \comma$$P$ 為 $\angle\.ABC$ 之角平分線與 $\overline{CD}$ 之交點，如圖所示。試選出正確的選項。

    1. $\overline{CP} = \fraction{3}{7}\,\overline{CD}$
    2. $\vec{AP} = \fraction{3}{7}\,\vec{AB} + \fraction{2}{7}\,\vec{AC}$
    3. $\cos\angle\.BAC = \fraction{3}{4}$
    4. $\triangle\.ACP$ 面積為 $\fraction{15}{14}\sqrt{7}$
    5. （內積）$\vec{AP} \cdot \vec{AC} = \fraction{120}{7}$

  6. 某種合金由甲和乙兩種金屬組成，某生想知道其中金屬比例與合金的波長關係。他做實驗測量「甲占比為 $x\,\%$ 的合金所對應的波長 $y$（單位：奈米）」，並將得到的 20 筆數據 $(x_k, y_k) \comma k = 1 \cm \ldots \cm 20 \comma$在 $xy$ 平面上標出對應的點，其迴歸直線（最適直線）為 $y = 21.3x - 40 \period$

    為符合投稿規範，須將報告描述為「乙占比為 $u\,\%$ 的合金所對應的波長 $v$（單位：微米）」，他將數據 $(x_k, y_k)$ 轉換為 $(u_k, v_k) \comma k = 1 \cm \ldots \cm 20 \comma$得到在 $uv$ 平面的迴歸直線為 $v = au + b \period$

    已知 1 奈米${}= 10^{-9}$ 公尺，1 微米${}= 10^{-6}$ 公尺。試選出正確的選項。

    1. $u_k = 100 - x_k \comma k = 1 \cm \ldots \cm 20$
    2. $v_k = 1000y_k \comma k = 1 \cm \ldots \cm 20$
    3. $u_1 \cm u_2 \cm u_3 \cm \ldots \cm u_{20}$ 的標準差等於 $x_1 \cm x_2 \cm x_3 \cm \ldots \cm x_{20}$ 的標準差
    4. $b = 2.09$
    5. 某生發現有另一筆數據 $(u_{21}, v_{21})$ 且滿足 $v_{21} = au_{21} + b \semicolon$若將這 21 筆數據 $(u_k, v_k) \comma k = 1 \cm \ldots \cm 21 \comma$在 $uv$ 平面上標出對應的點，則其迴歸直線仍為 $v = au+b$

三、選填題（每題 5 分，共 25 分）

  1. 已知實係數三次多項式 $f(x)$ 除以 $x + 6$ 得商式 $q(x)$ 和餘式 3。若 $q(x)$ 在 $x = -6$ 有最大值 8，則 $y = f(x)$ 圖形的對稱中心坐標為 $(\underline{\maru\maru} \cm \underline{\maru}) \period$
  2. 坐標空間中，已知點 $A$ 的坐標為 $(a, b, c) \comma$其中 $a, b, c$ 皆為小於 0 的實數，且知點 $A$ 與三平面 \[\begin{split}E_1 &\colon 4y+3z=2 \jcomma \\ E_2 &\colon 3y+4z=5 \jcomma \\ E_3 &\colon x+2y+2z=-2\end{split}\] 的距離都是 6，則 $a + b + c = \underline{\maru\maru\maru} \period$
  3. 假日市集有個攤位推出「試試手氣，定價 480 元的可愛玩偶最低只要 240 元」。規則為：顧客投擲一枚均勻硬幣至多 5 次，前 3 次連續擲得 3 個正面者則只能以 240 元購得一個玩偶，擲到第 4 次才累積得 3 個正面者則只能以 320 元購得一個，擲到第 5 次才累積得 3 個正面者則只能以 400 元購得一個；5 次投完仍未累積 3 個正面者則只能以 480 元購得一個。參與此遊戲的顧客購得一個玩偶所花金額的期望值為 $\underline{\maru\maru\maru}$ 元。
  4. 坐標平面上，設 $L_1 \jcomma L_2$ 為通過點 $(3,1)$ 且斜率分別為 $m \jcomma -m$ 的兩條直線，其中 $m$ 為一實數。另設 $\Gamma$ 為圓心在原點的一個圓。已知 $\Gamma$ 與 $L_1$ 交於相異兩點 $A \jcomma B \comma$且知圓心到 $L_1$ 的距離為 1，又 $\Gamma$ 與 $L_2$ 相切，則弦 $\overline{AB}$ 的長度為 $\underline{\dfrac{\maru\maru}{\maru}} \period$（化為最簡分數）
  5. $\triangle\.ABC$ 中，已知 $\overline{AB} = \overline{BC} = 3 \comma \cos\angle\.ABC = -\fraction{1}{8} \period$在 $\triangle\.ABC$ 的外接圓上有一點 $D$ 滿足 $\overline{BD} = 4 \comma$且 $\overline{AD} \leq \overline{CD} \comma$則 $\overline{CD} = \underline{\maru + \sqrt{\rod{2}{0}\maru}} \period$（化為最簡根式）

四、混合題或非選擇題（共 15 分）

18–20 題為題組。

已知 $A = \begin{bmatrix}a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4\end{bmatrix} \jcomma B = \begin{bmatrix}b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4\end{bmatrix}$ 皆為坐標平面上以原點 $O$ 為中心，逆時針旋轉一銳角的旋轉矩陣，且滿足 $A^2 = B^3 = \begin{bmatrix}0 & c \\ 1 & d\end{bmatrix} \comma$其中 $c, d$ 為實數。

設點 $P(1, 1)$ 經 $A^3$ 變換後為點 $Q \comma$且點 $Q$ 經 $B^4$ 變換後為點 $R \period$根據上述，試回答下列問題。

  1. 試問 $c$ 之值為何？（單選題，3 分）
    1. 0
    2. $-1$
    3. 1
    4. $-\fraction{1}{2}$
    5. $\fraction{1}{2}$
  2. 試求點 $Q$ 的坐標，以及 $\vec{OR}$ 與向量 $(1, 0)$ 的夾角。（非選擇題，6 分）
  3. 設 $L$ 為過點 $P$ 且與直線 $OQ$ 平行的直線，點 $S$ 為 $L$ 和直線 $OR$ 的交點，試求 $\angle\.OSP \comma$並求點 $S$ 的坐標。（非選擇題，6 分）

參考答案

  1. (5)
  2. (2)
  3. (4)
  4. (3)
  5. (1)
  6. (3)
  7. (2)(4)
  8. (3)(5)
  9. (2)(4)(5)
  10. (1)(4)(5)
  11. (3)(4)(5)
  12. (1)(3)(4)(5)
  13. $(-6, 3)$
  14. $-11$
  15. 405
  16. $\fraction{24}{5}$
  17. $3 + \sqrt{2}$
  18. (2)
  19. $(-\sqrt{2}, 0) \semicolon 60^\circ$
  20. $60^\circ \semicolon \biggl(\fraction{-\sqrt{3}}{3}, 1\biggr)$