115 年學測數學 A：試題與參考答案

試題／115 年學測數學 A：試題與參考答案

2026-01-17

本文包含 115 學年度學科能力測驗數學 A 考科之試題與參考答案。

為便於各式裝置之使用者閱讀，部分題目之排版有略為調整。實際試題與答案以大考中心公布為準。

試題

考試時間：100 分鐘。

一、單選題（每題 5 分，共 30 分）

財神廟舉辦抽發財金活動：參加者抽兩次籤，每次抽籤出現「吉」、「祥」的機率皆為 $\fraction{1}{3} \period$如果兩次都抽得「吉」，獲得獎金 180 元；如果兩次都抽得「祥」，獲得獎金 90 元；其餘情況則無獎金。試問參加者可獲獎金的期望值為何？
1. 20 元
2. 30 元
3. 45 元
4. 60 元
5. 90 元
對任一實數 $a$，令 $[a]$ 代表滿足 $[a] \le a < [a]+1$ 的整數，例如：$[3]=3 \comma [3.1]=3 \comma [-3.1]=-4 \period$關於函數 \[\begin{split}f(x)=[\sqrt{99 \varminus x}]+[\sqrt{99 \varplus x}] \comma\end{split}\]其中 $-99 \le x \le 99 \semicolon$試選出正確的選項。
1. $f(-20) \le f(0) < f(1)$
2. $f(-20) < f(1) \le f(0)$
3. $f(1) < f(-20) \le f(0)$
4. $f(0) < f(-20) \le f(1)$
5. $f(0) \le f(1) < f(-20)$
設 $f(x)=a^{x} \comma$其中 $a$ 為正實數。已知 $c_{1},c_{2},c_{3}$ 是公差為 $\fraction{10}{3}$ 的等差數列，且 $f(c_{1}),f(c_{2}),f(c_{3})$ 是公比為 4 的等比數列。則等比數列 $f(10),f(8),f(6)$ 的公比為何？
1. $2^{\pfrac{-6}{5}}$
2. $2^{\pfrac{-3}{5}}$
3. $2^{\pfrac{3}{5}}$
4. $2^{\pfrac{6}{5}}$
5. $2^{\pfrac{5}{3}}$
某網遊有 16 種材料，其中 6 種為基本材料，10 種為進階材料。任選 3 種不同材料可以合成出草藥、食物、藥水中的 1 類道具，其合成規則如下：若 3 種材料均為基本材料，則合成結果必為同一種草藥；若 3 種材料中 2 種為基本材料、1 種為進階材料，則合成結果會根據不同的進階材料得到不同種的食物，但不會受到基本材料不同而改變；其他的組合都會合成出不同種的藥水。試問此網遊總共可合成出多少種道具？
1. 256
2. 370
3. 401
4. 455
5. 560
已知實數三階方陣 $A$ 滿足 $A\rod{0}{5}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 0\end{bmatrix}=\rod{0}{5}\begin{bmatrix}0\\ -1\\ 1\end{bmatrix} \comma A\rod{0}{5}\begin{bmatrix}0\\ -1\\ 1\end{bmatrix}=\rod{0}{5}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 0\end{bmatrix} \comma A\rod{0}{5}\begin{bmatrix}1\\ 0\\ -1\end{bmatrix}=\rod{0}{5}\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix} \period$試問有多少個行向量 $\vec{v}=\rod{0}{5}\begin{bmatrix}v_{1}\\ v_{2}\\ v_{3}\end{bmatrix}$ 滿足 $A\vec{v}=\rod{0}{5}\begin{bmatrix}1\\ 0\\ 1\end{bmatrix}$ 且 $\vec{v}$ 垂直於行向量 $\begin{bmatrix}0\\ 1\\ 0\end{bmatrix} \text{?}$
1. 1 個
2. 2 個
3. 3 個
4. 0 個
5. 無窮多個
坐標平面上有 $A(2,-2),B(-1,2)$ 兩點，試問直線 $y=-6$ 上有多少個點 $C$ 使得 $\triangle ABC$ 為等腰三角形？
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

二、多選題（每題 5 分，共 30 分）

坐標平面上同時滿足 \[\begin{split}\begin{cases}2x-y-3>0\\ x+2y+1<0\end{cases}\end{split}\] 的點 $P(x,y)$ 可能位在下列哪些選項？
1. 第一象限
2. 第二象限
3. 第三象限
4. 第四象限
5. $x$ 軸
已知 $A=\begin{bmatrix}2&1\\ 1&0\end{bmatrix} \comma$且對所有正整數 $n \ge 2 \comma$令 $A^{n}=\begin{bmatrix}a_{n}&b_{n}\\ c_{n}&d_{n}\end{bmatrix} \period$試選出正確的選項。
1. $b_2 < c_2$
2. $A^{2}=2A+\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}$
3. $c_{n+2}=c_{n+1}+2c_{n}$
4. $\begin{bmatrix}a_{n}&b_{n}\\ c_{n}&d_{n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_{n+1}\\ d_{n+1}\end{bmatrix}$
5. $d_{2n}-a_{2n}=(d_{n})^{2}-(a_{n})^{2}$
$T$ 分數為評量成績的一種方式，其計算方式如下：設全班平均成績為 $\mu$ 且標準差為 $\sigma \period$若某生原始成績為 $S \comma$則他該科之 $T$ 分數為 $T=50+10\biggl(\fraction{S-\mu}{\sigma}\biggr) \period$已知某班期末數學和英文兩科的平均成績皆為 60，數學成績的標準差為 12，英文成績的標準差為 8。試選出正確的選項。
1. 若甲生英文的原始成績為 52，則其 $T$ 分數為 40
2. 各生數學的 $T$ 分數不會超過其原始成績
3. 若乙生兩科的原始成績平均比丙生兩科的原始成績平均高，則乙生兩科的 $T$ 分數平均比丙生兩科的 $T$ 分數平均高
4. 若該班級兩科的及格標準均為 $T$ 分數大於或等於 40，則數學及格的原始成績比英文及格的原始成績低
5. 該班原始成績數學對英文的迴歸直線（即最適直線）之斜率與該班 $T$ 分數數學對英文的迴歸直線之斜率相同
已知四邊形 $ABCD$ 中，$\overline{AB}$ 平行 $\overline{DC} \comma \overline{AC}$ 與 $\overline{BD}$ 交於 $E \period$若 $\vec{AB}=(2,-6) \comma \vec{AD} = (1,5) \comma$且 $\triangle ABE$ 面積為 3。試選出正確的選項。
1. $\cos\angle BAD=\fraction{-7\sqrt{65}}{65}$
2. $\triangle ABD$ 面積為 9
3. $\vec{AE}=\biggl(\fraction{3}{2},\fraction{1}{2}\biggr)$
4. 四邊形 $ABCD$ 面積為 $\fraction{65}{3}$
5. $\overline{BC}<\fraction{8}{3}$
令 $\Gamma$ 為坐標平面上 $y=\cos\biggl(\fraction{\pi}{2}x\biggr)$ 的圖形。對任一實數 $m \ne 0 \comma$以 $L_{m}$ 表示直線 $y=mx+1 \period$試選出正確的選項。
1. $m>0$ 時，$L_{m}$ 和 $\Gamma$ 交點的 $x$ 坐標皆為負
2. 若 $(a,b)$ 為 $L_{m}$ 和 $\Gamma$ 的交點，則 $(-a,b)$ 為 $L_{-m}$ 和 $\Gamma$ 的交點
3. 可以找到一實數 $m \ne 0$ 使得 $L_{m}$ 和 $\Gamma$ 交於點 $\biggl(\fraction{20}{3},\fraction{1}{2}\biggr)$
4. 若 $L_m$ 與 $\Gamma$ 有一交點在直線 $y=-1$ 上，則 $\fraction{1}{m}$ 是奇數
5. 若 $L_m$ 與 $\Gamma$ 有一交點在 $x$ 軸上，則 $L_{m}$ 與 $\Gamma$ 有偶數個交點
令 $f(x) \jcomma g(x)$ 為實係數三次多項式且 $f(x)$ 的首項係數為 1，已知 $f(x)-g(x) = 2x^3+2x \period$令 $\Gamma_{1}$ 和 $\Gamma_{2}$ 分別為 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在坐標平面上的函數圖形，其對稱中心分別為 $(a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}) \period$試選出正確的選項。
1. $\Gamma_{1}$ 和 $\Gamma_{2}$ 恰交於三點
2. $a_{1}+a_{2}$ 可唯一確定
3. $b_{1}+b_{2}$ 可唯一確定
4. 若 $a_{1}=a_{2} \comma$則 $b_{1}=b_{2}$
5. 若 $b_{1}=b_{2} \comma$則 $a_{1}=a_{2}$

三、選填題（每題 5 分，共 25 分）

某高中聘用的全體教師 $\fraction{1}{4}$ 只有學士學位，$\fraction{3}{4}$ 有碩士學位。只有學士學位的教師中有 $\fraction{1}{5}$ 通過英聽檢定，有碩士學位的教師中有 $\fraction{3}{5}$ 通過英聽檢定。已知每位教師被抽到的機會相等，若隨機抽選一位通過英聽檢定的教師，則該教師有碩士學位的條件機率為 $\underline{\fraction{\maru}{\maru\maru}} \period$（化為最簡分數）
坐標平面上，向量 $(a,b)$ 與直線 $y=bx-1$ 垂直，則 $a+b$ 的最大可能值為 $\underline{\fraction{\maru}{\maru}} \period$（化為最簡分數）
已知三正數 $a,b,c$ 成一等差數列，其中 $a < b < c \comma$且坐標平面上三點 $(a,\log 3a) \jcomma (b,\log 4b) \jcomma (c,\log 6c)$ 在同一直線上，則 $\fraction{b}{a}$ 之值為 $\underline{\dfrac{\maru}{\maru}} \period$（化為最簡分數）
坐標平面上，已知二次函數圖形 $\Gamma:y=f(x)$ 的頂點 $P$ 在直線 $y=1+2x$ 上，且交 $x$ 軸於點 $A\biggl(-\fraction{1}{2},0\biggr),B\biggl(\fraction{1}{2},0\biggr) \period$將 $\Gamma$ 平移使得平移後圖形的頂點 $Q$ 仍在直線 $y=1+2x$ 上，且亦通過點 $B\biggl(\fraction{1}{2},0\biggr) \comma$此時 $P \jcomma Q$ 為兩相異點，則 $\overline{PQ}=\underline{\fraction{\maru\sqrt{\rod{2}{0}\maru\maru}}{\maru}} \period$（化為最簡根式）
直角 $\triangle ABC$ 中，$\angle CAB$ 為直角，$\overline{AB}$ 邊上一點 $D \comma$滿足 $\angle BCD=2\angle ACD \comma$且 $\overline{BC}=2\,\overline{BD} \period$若 $\vec{AD}=k\,\vec{AB} \comma$則 $k=\underline{\fraction{\maru}{\maru\maru}} \period$（化為最簡分數）

四、混合題或非選擇題（共 15 分）

18–20 題為題組

坐標空間中有一平行六面體 $PQRS\!-\!ABCD \comma$如圖所示。已知 \[\begin{split}\rod{3}{0}\vec{AB}\times\vec{AD}&=(-5,5,5) \jcomma \\ \vec{AD}\times\vec{AP}&=(-2,0,-4) \jcomma \\ \vec{AP}\times\vec{AB}&=(6,-10,-8) \comma\end{split}\]$\overline{AP} = 6 \period$ 試回答下列問題。

試問平行四邊形 $ABCD$ 的面積為何？（單選題，3 分）
1. $2\sqrt{5}$
2. $5\sqrt{2}$
3. $5\sqrt{3}$
4. $6\sqrt{3}$
5. $10\sqrt{2}$
設 $B$ 點坐標為 $(1,2,0) \comma$試求平面 $ABCD$ 的平面方程式。（非選擇題，4 分）
試求平行六面體的體積，並求平行六面體上（含邊界）距點 $A$ 的最長距離。（非選擇題，8 分）

參考答案

(2)
(1)
(1)
(3)
(5)
(2)
(3)(4)
(2)(5)
(1)(2)(4)
(1)(5)
(2)(4)
(2)(4)
$\fraction{9}{10}$
$\fraction{1}{4}$
$\fraction{3}{2}$
$\fraction{3\sqrt{5}}{2}$
$\fraction{3}{11}$
(3)
$x-y-z+1=0$
$10 \semicolon \sqrt{94}$