伴隨轉換

2025-01-15

本文簡介內積空間中的伴隨轉換（adjoint）。

以下我們設 $U$ 與 $V$ 為體 $F$ 上的內積空間，其中 $F \in \{\RR, \CC\mkern2mu\} \period$$U$ 與 $V$ 中的零向量分別記作 $0_U$ 與 $0_V \period$

我們將 $u_0 \in U$ 與 $u_1 \in U$ 在 $U$ 中的內積記作 $\langle u_0, u_1 \rangle_U \semicolon$將 $v_0 \in V$ 與 $v_1 \in V$ 在 $V$ 中的內積記作 $\langle v_0, v_1 \rangle_V \period$我們假設內積對前項線性，對後項共軛線性。

1　伴隨轉換

1.1　定義

設 $T \colon U \to V$ 為一線性轉換。若有一線性轉換 $T' \colon V \to U$ 對任意 $u \in U$ 與 $v \in V$ 均滿足 \[\begin{split} \langle T(u), v \rangle_V = \langle u, T'(v) \rangle_U \end{split}\] 則我們稱 $T'$ 為 $T$ 的伴隨轉換（adjoint）。

定理 1　若 $T' \colon V \to U$ 為線性轉換 $T \colon U \to V$ 的伴隨轉換，則下列敘述成立：

$T'$ 為線性。
若 $T'' \colon V \to U$ 亦為 $T \colon U \to V$ 的伴隨轉換，則 $T' = T'' \period$

證明　首先證明 (a)。對任意 $v_0, v_1 \in V \comma$由於對任意 $u \in U$ 均有 \[\begin{split} \langle u, T'(v_0 + v_1) \rangle_U &= \langle T(u), v_0 + v_1 \rangle_V \\[.25ex] &= \langle T(u), v_0 \rangle_V + \langle T(u), v_1 \rangle_V \\[.25ex] &= \langle u, T'(v_0) \rangle_U + \langle u, T'(v_1) \rangle_U \\[.25ex] &= \langle u, T'(v_0) + T'(v_1) \rangle_U \comma \end{split}\] 故 $T'(v_0 + v_1) = T'(v_0) + T'(v_1) \period$對任意 $v \in V$ 與 $a \in F \comma$由於對任意 $u \in U$ 均有 \[\begin{split} \langle u, T'(av) \rangle_U &= \langle T(u), av \rangle_V \\[.25ex] &= \conj{\rod{1.2}{0}a}\langle T(u), v \rangle_V \\[.25ex] &= \conj{\rod{1.2}{0}a}\langle u, T'(v) \rangle_U \\[.25ex] &= \langle u, T'(av) \rangle_U \comma \end{split}\] 故 $T'(av) = aT'(v) \period$至此 (a) 得證。

接著證明 (b)。設 $v \in V \comma$由於對任意 $u \in U$ 均有 \[\begin{split} \langle u, T'(v) \rangle_U = \langle T(u), v \rangle_V = \langle u, T''(v) \rangle_U \comma \end{split}\] 我們有 $T'(v) = T''(v) \period$因此 $T' = T'' \comma$(b) 得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

定理 2　若 $U$ 為有限維，則任意線性轉換 $T \colon U \to V$ 皆存在一伴隨轉換。

證明　設 $\dim(U) = n \comma$並設 $\{u_0 \cm u_1 \cm \ldots \cm u_{n-1}\}$ 為 $U$ 的單位正交基底。設 $T' \colon V \to U$ 滿足 \[\begin{split} T'(v) = \sum_{i=0}^{n-1} \langle v, T(u_i) \rangle_V u_i \period \end{split}\] 由於對任意 $u \in U$ 與 $v \in V \comma$我們有 \[\begin{split} \langle u, T'(v) \rangle_U &= \Biggl\langle u, \sum_{i=0}^{n-1} \langle v, T(u_i) \rangle_V u_i \Biggr\rangle_{\mkern-4muU} \\ &= \sum_{i=0}^{n-1} \langle u, u_i \rangle_U\,\langle T(u_i), v \rangle_V \\ &= \Biggl\langle \sum_{i=0}^{n-1} \langle u, u_i \rangle_UT(u_i), v\Biggr\rangle_{\mkern-4muV} \\ &= \Biggl\langle T\Biggl(\sum_{i=0}^{n-1}\langle u, u_i \rangle_Uu_i\Biggr), v\Biggr\rangle_{\mkern-4muV} \\[3.5ex] &= \langle T(u), v \rangle_V \comma \end{split}\] 故 $T'$ 是 $T$ 的伴隨轉換，定理得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

我們將線性轉換 $T \colon U \to V$ 的伴隨轉換記作 $T^* \period$由定理 1、2 可知 $U$ 為有限維時，線性轉換 $T \colon U \to V$ 的伴隨轉換 $T^* \colon V \to U$ 唯一存在。

1.2　性質

定理 3　若線性轉換 $T \colon U \to V$ 與 $T' \colon U \to V$ 均具有伴隨轉換，則下列敘述成立。

$T^* + (T')^*$ 為 $T + T'$ 的伴隨轉換。
對任意 $a \in F \comma$$\conj{\rod{1.2}{0}a}\.T^*$ 為 $aT$ 的伴隨轉換。

證明　首先證明 (a)。由於對任意 $u \in U$ 與 $v \in V \comma$有 \[\begin{split} \langle (T \varplus T')(u), v \rangle_V &= \langle T(u), v \rangle_V + \langle T'(u), v \rangle_V \\ &= \langle u, T^*(v) \rangle_U + \langle u, (T')^*(v) \rangle_U \\ &= \langle u, T^*(v) \varplus (T')^*(v) \rangle_U \\ &= \langle u, (T^* \varplus (T')^*)(v) \rangle_U \comma \end{split}\] 故 $T^* + (T')^*$ 為 $T + T'$ 的伴隨轉換，(a) 得證。

接著證明 (b)。由於對任意 $u \in U$ 與 $v \in V \comma$有 \[\begin{split} \langle aT(u), v \rangle_V &= a\langle T(u), v \rangle_V \\ &= a\langle u, T^*(v) \rangle_V \\ &= \langle u, \conj{\rod{1.2}{0}a}\.T^*(v) \rangle_V \\ &= \langle u, (\conj{\rod{1.2}{0}a}\.T^*)(v) \rangle_V \comma \end{split}\] 故 $\conj{\rod{1.2}{0}a}\.T^*$ 為 $aT$ 的伴隨轉換，(b) 亦得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

定理 4　若線性轉換 $T \colon U \to V$ 具有伴隨轉換 $T^* \colon V \to U \comma$則 $T$ 亦為 $T^*$ 的伴隨轉換。

證明　對任意 $u, v \in V \comma$我們有 \[\begin{split} \langle T^*(v), u \rangle_U &= \overline{\langle u, T^*(v) \rangle_U} \\ &= \overline{\langle T(u), v \rangle_V} \\ &= \langle v, T(u) \rangle_V \comma \end{split}\] 故 $T$ 為 $T^*$ 的伴隨轉換。定理得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

定理 5　設線性轉換 $T \colon U \to V$ 具有伴隨轉換 $T^* \colon V \to U \comma$則 $(\ran (T^*))^\perp = \ker(T) \period$

證明　首先我們說明 $\ker(T) \subseteq (\ran (T^*))^\perp \period$若 $u \in \ker(T) \comma$則對任意 $v \in V$ 均有 \[\begin{split} \langle u, T^*(v) \rangle_U = \langle T(u), v \rangle_V = \langle 0_V, v \rangle_V = 0 \comma \end{split}\] 故 $\ker(T) \subseteq (\ran (T^*))^\perp \period$

接著我們說明 $(\ran (T^*))^\perp \subseteq \ker(T) \period$若 $u \in (\ran (T^*))^\perp \comma$則由於對所有 $v \in V$ 皆有 \[\begin{split} \langle T(u), v \rangle_V = \langle u, T^*(v) \rangle_U = 0 = \langle 0_V, v \rangle_V \comma \end{split}\] 可知 $T(u) = 0_V \comma$即 $u \in \ker(T) \period$因此 $(\ran (T^*))^\perp \subseteq \ker(T) \comma$定理得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

參考資料

Stephen H. Friedberg, Arnold J. Insel, and Lawrence E. Spence. Linear algebra. Pearson Education, fourth edition, 2014.

伴隨轉換

1 伴隨轉換

1.1 定義

1.2 性質

參考資料

1　伴隨轉換

1.1　定義

1.2　性質