常數的近似（一）：圓周率

本文簡介如何以反正切函數計算圓周率的近似值。

1　圓周率的近似

1.1　簡易近似公式

設 \[\begin{split}\rod{4}{0}\alpha = \arctan\frac{1}{2} \quad \textrm{與} \quad \beta = \arctan\frac{1}{3} \period\end{split}\] 由 $0 < \alpha + \beta < \pi/2$ 與 \[\begin{split} \rod{4}{0}\tan(\alpha+\beta) &= \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \\[1.75ex] &= \frac{1/2+1/3}{1-1/6} \\[1.5ex] &= 1 \end{split}\] 可知 $\alpha + \beta = \pi/4 \period$因此 \[\begin{split} \rod{4}{0}\pi &= 4 \biggl(\arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{3} \biggr) \\ &= \sum_{n \geq 0} \frac{4(-1)^n}{2n+1}\biggl(\frac{1}{2^{2n+1}}+\frac{1}{3^{2n+1}} \biggr) \period \end{split}\]

若設 \[\begin{split} \rod{4}{0} a_n &= \frac{4}{2n+1}\biggl(\frac{1}{2^{2n+1}}+\frac{1}{3^{2n+1}} \biggr) \comma \end{split}\] 並設 \[\begin{split} \rod{4}{0} S_n &= \sum_{k=0}^n (-1)^k a_k \comma \end{split}\] 則對任意非負整數 $n$ 均有 $S_{2n+1} < \pi < S_{2n} \period$

1.2　計算近似值

我們可以用上述公式求出圓周率的近似值。首先我們枚舉 $((-1)^na_n)_{n \geq 0}$ 中的一些項，有 \[\begin{split} \rod{4}{0} \begin{alignat*}{4} a_0 &{}={}& \frac{4}{1}\biggl(\frac{1}{2^1} + \frac{1}{3^1}\biggr) ={}& \frac{10}{3} \comma \\[2ex] -a_1 &{}={}& \frac{-4}{3}\biggl(\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3}\biggr) ={}& \frac{-35}{162} \comma \\[2ex] a_2 &{}={}& \frac{4}{5}\biggl(\frac{1}{2^5} + \frac{1}{3^5}\biggr) ={}& \frac{55}{1944} \comma \\[2ex] -a_3 &{}={}& \frac{-4}{7}\biggl(\frac{1}{2^7} + \frac{1}{3^7}\biggr) ={}& \frac{-2315}{489888} \comma \\[2ex] a_4 &{}={}& \frac{4}{9}\biggl(\frac{1}{2^9} + \frac{1}{3^9}\biggr) ={}& \frac{20195}{22674816} \comma \\[2ex] -a_5 &{}={}& \frac{-4}{11}\biggl(\frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{11}}\biggr) ={}& \frac{-179195}{997691904} \period \end{alignat*} \end{split}\] 接著依序加總可得 \[\begin{split} \rod{4}{0} \begin{alignat*}{4} S_0 &{}={}& a_0 ={}& \frac{10}{3} \comma \\[2ex] S_1 &{}={}& S_0 - a_1 ={}& \frac{505}{162} \comma \\[2ex] S_2 &{}={}& S_1 + a_2 ={}& \frac{6115}{1944} \comma \\[2ex] S_3 &{}={}& S_2 - a_3 ={}& \frac{1538665}{489888} \comma \\[2ex] S_4 &{}={}& S_3 + a_4 ={}& \frac{498668825}{158723712} \comma \\[2ex] S_5 &{}={}& S_4 - a_5 ={}& \frac{21940173935}{6983843328} \period \end{alignat*} \end{split}\] 此時由 \[\begin{split} \rod{4}{0} \frac{6283}{2000} < S_5 < \pi < S_4 < \frac{1257}{400} \end{split}\] 可知 $3.1415 < \pi < 3.1425 \comma$故圓周率 $\pi$（四捨五入至小數點後第三位）的近似值為 3.142。