卡拉西奧多里擴張定理

筆記／卡拉西奧多里擴張定理

本文簡介測度論中的卡拉西奧多里擴張定理（Carathéodory’s ex­ten­sion the­o­rem）。

$ \gdef\Seq{\operatorname{Seq}} \gdef\Pow{\operatorname{Pow}} \gdef\Sig{\operatorname{Sigma}} \gdef\Cov{\operatorname{Cov}} $

1　外測度

1.1　集合代數

對任意 $\Phi \subseteq \Pow(\Omega) \comma$若下列敘述成立，則我們稱 $\Phi$ 為 $\Omega$ 上的集合代數：

  1. $\varnothing \in \Phi \period$
  2. 對任意 $A \in \Phi \comma$均有 $\Omega \setminus A \in \Phi \period$
  3. 對任意 $\Phi$ 中的集合 $A \jcomma B \comma$均有 $A \cup B \in \Phi \period$

可以注意到 $\Omega$ 上的希格瑪代數均為 $\Omega$ 上的集合代數。

1.2　前測度

設 $\Phi$ 為 $\Omega$ 上的集合代數。對任意 $\mu \colon \Phi \to [0, \infty] \comma$若下列敘述成立，則我們稱 $\mu$ 為 $\Phi$ 上的前測度（pre-measure）：

  1. $\mu(\varnothing) = 0 \period$
  2. 若 $(A_n)_{n \geq 0}$ 是 $\Phi$ 中的集合列，其中的集合兩兩互斥，且 $\bigcup_{n \geq 0} A_n \in \Phi \comma$則 \[\begin{split}\mu\Biggl(\.\bigcup_{n \geq 0} A_n\Biggr) = \sum_{n \geq 0} \mu(A_n) \period\end{split}\]

若 $\Sigma$ 為 $\Omega$ 上的希格瑪代數，則對任意 $\Sigma$ 上的前測度 $\mu \comma$$\mu$ 都是可測空間 $(\Omega, \Sigma)$ 上的測度。

1.3　外測度

設 $\Phi$ 為 $\Omega$ 上的集合代數，並設 $\mu \colon \Phi \to [0, \infty]$ 是 $\Phi$ 上的前測度。

對任意 $A \subseteq \Omega \comma$設 $\Cov_\Phi(A)$ 為所有滿足 $A \subseteq \bigcup_{n \geq 0} B_n$ 的 $\Phi$ 中的集合列 $(B_n)_{n \geq 0}$ 所構成的集合。

我們定義 $\mu$ 所對應的外測度（out­er mea­sure）為函數 $m \colon \Pow(\Omega) \to [0, \infty] \comma$其中 \[\begin{split} m(A) = \inf\Biggl\{\sum_{n \geq 0} \mu(B_n): (B_n)_{n \geq 0} \in \Cov_\Phi(A)\Biggr\} \period \end{split}\]

2　性質

2.1　基本性質

以下的定理 1 說明外測度會具有的基本性質。

定理 1　設 $\Phi$ 為 $\Omega$ 上的集合代數，設 $\mu \colon \Phi \to [0, \infty]$ 是 $\Phi$ 上的前測度，並設 $m \colon \Pow(\Omega) \to [0, \infty]$ 是 $\mu$ 所對應的外測度。則下列敘述成立：

  1. $m(\varnothing) = 0 \period$
  2. 若 $A \subseteq B \subseteq \Omega \comma$則 $m(A) \leq m(B) \period$
  3. 若 $(A_n)_{n \geq 0}$ 是 $\Phi$ 中的集合列，則 \[\begin{split}m\Biggl(\bigcup_{n \geq 0} A_n\Biggr) \leq \sum_{n \geq 0} m(A_n) \period\end{split}\]

證明　由於 $\varnothing \subseteq \bigcup_{n \geq 0} \varnothing \comma$可知 \[\begin{split}m(\varnothing) \leq \sum_{n \geq 0} \mu(\varnothing) = 0 \comma\end{split}\]因而有 $m(\varnothing) = 0 \comma$(a) 成立。

接著說明 (b)：對任意正實數 $\epsilon \comma$均有 $(C_n)_{n \geq 0} \in \Cov_\Phi(B)$ 滿足 \[\begin{split}\sum_{n \geq 0} \mu(C_n) \leq m(B) + \epsilon \comma\end{split}\] 此時由 $A \subseteq B \subseteq \bigcup_{n \geq 0} C_n$ 可知 $m(A) \leq m(B) + \epsilon \period$由於 $\epsilon$ 為任意選取，故 $m(A) \leq m(B) \comma$(b) 成立。

最後說明 (c)：設 $\epsilon$ 為任意正實數。假設對每個非負整數 $n$ 均有 $(B_{n,k})_{k \geq 0} \in \Cov_\Phi(A_n)$ 滿足 \[\begin{split}\sum_{k \geq 0} \mu(B_{n,k}) \leq m(A_n) \varplus \rod{4}{0}\frac{\epsilon}{2^{n+1}} \period\end{split}\] 此時由 $\bigcup_{n \geq 0} A_n \subseteq \bigcup_{n \geq 0} \bigcup_{k \geq 0} B_{n,k}$ 可得 \[\begin{split} m\Biggl(\bigcup_{n \geq 0} A_n\Biggr) &\leq \sum_{n \geq 0} \sum_{k \geq 0} \mu(B_{n,k}) \\ &\leq \sum_{n \geq 0} \biggl(m(A_n) + \frac{\epsilon}{2^{n+1}}\biggr) \\ &= \sum_{n \geq 0} m(A_n) + \epsilon \period \end{split}\] 由於 $\epsilon$ 為任意選取，故我們有 \[\begin{split}m\Biggl(\bigcup_{n \geq 0} A_n\Biggr) \leq \sum_{n \geq 0} m(A_n) \comma\end{split}\] 即 (c) 成立。

1.4　可測集合

設 $\Phi$ 為 $\Omega$ 上的集合代數，設 $\mu \colon \Phi \to [0, \infty]$ 是 $\Phi$ 上的前測度，並設 $m \colon \Pow(\Omega) \to [0, \infty]$ 是 $\mu$ 所對應的外測度。

給定一集合 $A \subseteq \Omega \comma$若對任意 $E \subseteq \Omega$ 均有 \[\begin{split}m(E \cap A) + m(E \setminus A) = m(E) \comma\end{split}\] 則我們稱 $A$ 對外測度 $m$ 可測。

定理 2　設 $\Phi$ 為 $\Omega$ 上的集合代數，設 $\mu \colon \Phi \to [0, \infty]$ 是 $\Phi$ 上的前測度，並設 $m \colon \Pow(\Omega) \to [0, \infty]$ 是 $\mu$ 所對應的外測度。設 $\Sigma$ 為對外測度 $m$ 可測的集合所構成的集合，則下列敘述成立：

  1. 若 $(A_n)_{n \geq 0}$ 是 $\Sigma$ 上的集合列，且對任意相異非負整數 $i \jcomma j$ 均有 $A_i \cap A_j = \varnothing \comma$則對任意 $E \subseteq \Omega$ 均有 \[\begin{split}m\Biggl(E \cap \bigcup_{n \geq 0}A_n\Biggr) = \sum_{n \geq 0} m(E \cap A_n) \period\end{split}\]
  2. $\Sigma$ 是 $\Omega$ 上的希格瑪代數。
  3. $\Phi \subseteq \Sigma \period$
  4. $m(A) = \mu(A)$ 對所有 $A \in \Phi$ 均成立。

證明　首先證明 (a)。我們先以數學歸納法證明 \[\begin{split}m\Biggl(E \cap \bigcup_{n=0}^N A_n\Biggr) = \sum_{n=0}^N m(E \cap A_n)\end{split}\] 對所有非負整數 $N$ 成立：可知在 $N = 0$ 時等號成立；若 \[\begin{split}m\Biggl(E \cap \bigcup_{n=0}^{N-1} A_n\Biggr) = \sum_{n=0}^{N-1} m(E \cap A_n)\end{split}\]對某一正整數 $N$ 成立，則由 $A_N \in \Sigma$ 可得 \[\begin{split}m\Biggl(E \cap \bigcup_{n=0}^N A_n\Biggr) &= m(E \cap A_N) + m\Biggl(E \cap \bigcup_{n=0}^{N-1} A_n\Biggr) \\ &= m(E \cap A_N) + \sum_{n=0}^{N-1} m(E \cap A_n) \\ &= \sum_{n=0}^N m(E \cap A_n) \period\end{split}\]由於對所有非負整數 $N$ 均有 \[\begin{split}m\Biggl(E \cap \bigcup_{n \geq 0} A_n\Biggr) &\geq m\Biggl(E \cap \bigcup_{n=0}^N A_n\Biggr) \\ &= \sum_{n=0}^N m(E \cap A_n) \comma\end{split}\]故取極限可得 \[\begin{split}m\Biggl(E \cap \bigcup_{n \geq 0} A_n\Biggr) \geq \sum_{n \geq 0} m(E \cap A_n) \period\end{split}\] 又由定理 1(c) 可得 \[\begin{split}m\Biggl(E \cap \bigcup_{n \geq 0} A_n\Biggr) &= m\Biggl(\bigcup_{n \geq 0} (E \cap A_n)\Biggr) \\ &\leq \sum_{n \geq 0} m(E \cap A_n) \comma\end{split}\] 故 (a) 得證。

接著證明 (b)。對任意 $E \subseteq \Omega$ 均有 \[\begin{split}m(E \cap \varnothing) + m(E \setminus \varnothing) = m(E)\end{split}\] 故 $\varnothing \in \Sigma \period$

接著假設 $A \in \Sigma \comma$此時對任意 $E \subseteq \Omega$ 均有 \[\begin{split} &m(E \cap (\Omega \setminus A)) + m(E \setminus (\Omega \setminus A)) \\ &= m(E \setminus A) + m(E \cap A) \\ &= m(E) \comma \end{split}\] 故 $\Omega \setminus A \in \Sigma \period$

接著假設 $(A_n)_{n \geq 0}$ 是 $\Sigma$ 中的集合列，設 $B = \bigcup_{n \geq 0} A_n \comma$我們說明對任意 $E \subseteq \Omega$ 均有 $m(E) = m(E \cap B) + m(E \setminus B) \period$設 $B_0 = \Omega \setminus B \comma$並對所有非負整數 $n \comma$設 $B_{n+1} = A_n \setminus \bigcup_{k=0}^{n-1} A_k \period$由 $B = \bigcup_{n \geq 1} B_n$ 與定理 1(c) 可知 \[\begin{split} m(E) &\leq m(E \setminus B) + m(E \cap B) \\ &= m(E \cap B_0) + m\Biggl(E \cap \bigcup_{n \geq 1} B_n\Biggr) \\ &= m(E \cap B_0) + m\Biggl(\bigcup_{n \geq 1} (E \cap B_n)\Biggr) \\ &\leq m(E \cap B_0) + \sum_{n \geq 1} m(E \cap B_n) \\ &= \sum_{n \geq 0} m(E \cap B_n) \period \end{split}\] 另一方面，套用 (a) 可得 \[\begin{split}\sum_{n \geq 0} m(E \cap B_n) = m(E) \comma\end{split}\]故上述不等號皆為等號，即 $m(E) = m(E \setminus B) + m(E \cap B)$ 成立，因而 $B \in \Sigma \period$至此 (b) 得證。

接著說明 (c) 成立：我們說明對所有 $A \in \Phi$ 均有 $A \in \Sigma \period$設 $E \subseteq \Omega \period$對任意正實數 $\epsilon \comma$設 $(B_n)_{n \geq 0}$ 為 $\Phi$ 中的集合列使 \[\begin{split}E \subseteq \bigcup_{n \geq 0} B_n \quad \text{與} \quad \sum_{n \geq 0} \mu(B_n) \leq m(E) + \epsilon\end{split}\] 成立。此時有 \[\begin{split} &m(E \cap A) + m(E \setminus A) \\ &\leq m\Biggl(\bigcup_{n \geq 0}(B_n \cap A)\Biggr) + m\Biggl(\bigcup_{n \geq 0}(B_n \setminus A)\Biggr) \\ &\leq \sum_{n \geq 0} \mu(B_n \cap A) + \sum_{n \geq 0} \mu(B_n \setminus A) \\ &= \sum_{n \geq 0} \mu(B_n) \\ &\leq m(E) + \epsilon \comma \end{split}\] 由 $\epsilon$ 的任意性可知 $m(E \cap A) + m(E \setminus A) \leq m(E) \comma$故 $A \in \Sigma \period$

最後說明 (d)：對任意 $A \in \Phi \comma$根據定義可得 $m(A) \leq \mu(A) \semicolon$若有 $\Phi$ 中的集合列 $(B_n)_{n \geq 0}$ 使 $A \subseteq \bigcup_{n \geq 0} B_n \comma$則 \[\begin{split} \mu(A) &= \mu\Biggl(\bigcup_{n \geq 0} (A \cap B_n)\Biggr) \\ &\leq \sum_{n \geq 0} \mu(A \cap B_n) \\ &\leq \sum_{n \geq 0} \mu(B_n) \comma \\ \end{split}\] 故我們也有 $\mu(A) \leq m(A) \period$至此 (d) 得證。

2.2　卡拉西奧多里擴張定理

定理 3（卡拉西奧多里擴張定理） 設 $\Phi$ 為 $\Omega$ 上的集合代數，設 $\mu \colon \Phi \to [0, \infty]$ 是 $\Phi$ 上的前測度，並設 $m \colon \Pow(\Omega) \to [0, \infty]$ 是 $\mu$ 所對應的外測度。若 $\Sigma$ 是在 $\Omega$ 上由 $\Phi$ 所生成的希格瑪代數，則 $m|_{\Sigma}$ 是 $(\Omega, \Sigma)$ 上的測度，且 $m|_{\Phi} = \mu \period$

證明　設 $\Delta$ 為對外測度 $m$ 可測的集合所構成的集合。根據定理 2，我們有 $\Phi \subseteq \Sigma \subseteq \Delta \comma$且 $m|_\Phi = \mu \period$

注意到 $m|_\Delta$ 是 $(\Omega, \Delta)$ 上的測度：我們有 $m(\varnothing) = 0 \comma$且由定理 2(a) 可知若 $(A_n)_{n \geq 0}$ 是 $\Delta$ 上的集合列，且對任意相異非負整數 $i \jcomma j$ 均有 $A_i \cap A_j = \varnothing \comma$則有 \[\begin{split}m\Biggl(\bigcup_{n \geq 0}A_n\Biggr) = \sum_{n \geq 0} m(A_n) \period\end{split}\]

因而 $m|_{\Sigma}$ 是 $(\Omega, \Sigma)$ 上的測度。

參考資料

  1. Patrick Billingsley. Probability and measure. John Wiley & Sons, third edition, 1995.