無窮級數的乘積：柯西乘積

柯西乘積（Cauchy product）是一種計算兩無窮級數乘積的方法。本文簡述柯西乘積收斂的一個充分條件，並分別給出柯西乘積收斂與發散的實例。

1　無窮級數的乘法

1.1　柯西乘積

給定兩個收斂的無窮級數 \[\sum_{n\geq0} a_n \quad \text{與} \quad \sum_{n\geq0} b_n \comma\] 我們稱這兩個級數的柯西乘積為 \[\sum_{n\geq0} \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k} \period\]

1.2　收斂的充分條件

定理 1 說明給定兩收斂級數，若其中任一級數絕對收斂，則兩級數之柯西乘積收斂且等於兩級數和的乘積。

定理 1　若 $\sum_{n\geq0} \lvert a_n \rvert$ 收斂且 $\sum_{n\geq0} b_n$ 收斂，則 \[ \sum_{n\geq0} \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k} = \Biggl(\sum_{n\geq0} a_n\Biggr)\Biggl(\sum_{m\geq0} b_m\Biggr) \period \]

證明　設 $\epsilon$ 為任意正實數。設 $N \geq 0$ 為一整數使得對任意整數 $n > N$ 皆有 \[ \Biggl\lvert\sum_{m \geq n} b_m \Biggr\rvert < \frac{\epsilon}{2\alpha} \comma \] 其中 \[ \alpha = \max \Biggl\{1, \sum_{k \geq 0} \lvert a_k \rvert\Biggr\} \period \]

設 $M \geq 0$ 為一整數使得對任意整數 $n > M$ 皆有 $\lvert a_n \rvert < \epsilon/(2\.N\beta)$，其中 \[ \begin{split} \beta = \max\Biggl(\{1\} \cup \Biggl\{\Biggl\lvert\sum_{m\geq n} b_m\Biggr\rvert: n \in \{1, 2, \ldots, N\}\Biggr\}\Biggr) \period \end{split} \]

由於 \[\begin{split} \sum_{m=0}^n\sum_{k=0}^m a_kb_{m-k} = \sum_{k=0}^n a_k \sum_{m=0}^{n-k} b_m \comma \end{split}\] 可知當 $n \geq N + M$ 時，我們有 \[\begin{split} \Biggl\lvert \sum_{k=0}^n a_k \sum_{m \geq 0} b_m - \sum_{m=0}^n\sum_{k=0}^m a_kb_{m-k} \Biggr\rvert &= \Biggl\lvert \sum_{k=0}^n a_k \sum_{m \geq 0} b_m - \sum_{k=0}^n a_k \sum_{m=0}^{n-k} b_m \Biggr\rvert \\ &= \Biggl\lvert \sum_{k=0}^n a_k \sum_{m \geq n-k+1} b_m \Biggr\rvert \\ &\leq \sum_{k=0}^{n-N} \lvert a_k \rvert \Biggl\lvert\sum_{m \geq n-k+1} b_m \Biggl\rvert + \sum_{k=n-N+1}^n \lvert a_k \rvert \Biggl\lvert \sum_{m \geq n-k+1} b_m \Biggl\rvert \\ &\leq \alpha\biggl(\frac{\epsilon}{2\alpha}\biggr) + \sum_{k=n-N+1}^n \biggl(\frac{\epsilon}{2\.N\beta}\biggr)\beta \\ &= \epsilon \period \end{split}\]

因而 \[ \begin{split} \lim_{n \to \infty}\sum_{m=0}^n \sum_{k=0}^m a_kb_{m-k} &= \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n a_k \sum_{m \geq 0} b_m \\ &= \sum_{n \geq 0} a_n \sum_{m \geq 0} b_m \comma \end{split} \] 故得證。

1.3　一些例子

範例 1　對於非負整數 $n$，我們設 $a_n = b_n = (-1)^n/n!$，並設 \[ c_n = \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k} \period \]

我們有 \[ \sum_{n \geq 0} a_n = \frac{1}{e} = \sum_{m \geq 0} b_m \period \]

由於 $\sum_{n \geq 0} \lvert a_n \rvert$ 收斂至 $e$，由定理 1 可得 \[\sum_{n\geq0} c_n = \Biggl(\sum_{n \geq 0} a_n\Biggr)\Biggl(\sum_{m \geq 0} b_m\Biggr) = \frac{1}{e^2} \period\]

範例 2　對於非負整數 $n$，我們設 $a_n = b_n = (-1)^n/\sqrt{n + 1}$，並設 \[ c_n = \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k} \period \]

由交錯級數審斂法可知 $\sum_{n \geq 0} a_n$ 與 $\sum_{n \geq 0} b_n$ 皆收斂，但兩者皆為條件收斂，故定理 1 無法適用。事實上，由於 \[ \begin{split} \lvert c_n \rvert &= \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}} \\ &\geq \sum_{k=0}^n \frac{1}{(n+2)/2} \\ \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}&= \frac{2n+2}{n+2} \\ &\geq 1 \comma \end{split} \] 故 $\sum_{n \geq 0} c_n$ 發散。

參考資料