內積空間中的不等式：柯西―史瓦茲不等式與三角不等式

柯西―史瓦茲不等式（Cauchy–Schwarz in­equal­ity）與三角不等式（tri­an­gle in­equal­ity）是兩個內積空間中常用的不等式。本文簡述其內容與證明。

1　內積空間中的不等式

設 $V$ 為一內積空間，其中 $u$ 與 $v$ 的內積記作 $\langle u, v \rangle$，零向量記作 $0_V$。以下假設內積對前項線性，對後項共軛線性。

1.1　柯西―史瓦茲不等式

定理 1（柯西―史瓦茲不等式） 對任意 $u, v \in V \comma$皆有 $\norm{u}\,\norm{v} \geq \abs{\langle u, v \rangle}$。

證明　我們分兩種狀況討論。

狀況 1：$v = 0_V \period$此時 $\abs{\langle u, v \rangle} = 0 = \norm{u}\,\norm{v} \period$

狀況 2：$v \neq 0_V \period$我們有 \[\begin{split} \rod{4}{0}0 &\leq \biggl\|u - \frac{\langle u, v \rangle}{\lVert v \rVert^2}v \biggr\|^2 \\ &= \biggl\langle u - \frac{\langle u, v \rangle}{\lVert v \rVert^2}v, u - \frac{\langle u, v \rangle}{\lVert v \rVert^2}v\biggr\rangle \\ &= \lVert u \rVert^2 - \frac{\lvert\langle u, v \rangle\rvert^2}{\lVert v \rVert^2} - \frac{\lvert\langle u, v \rangle\rvert^2}{\lVert v \rVert^2} + \frac{\lvert\langle u, v \rangle\rvert^2}{\lVert v \rVert^2} \\ &= \frac{\lVert u \rVert^2 \lVert v \rVert^2 - \langle u, v \rangle^2}{\lVert v \rVert^2} \comma \end{split}\] 故 $\lVert u \rVert^2\lVert v \rVert^2 - \lvert\langle u, v \rangle\rvert^2 \geq 0 \comma$亦即 $\norm{u}\,\norm{v} \geq \abs{\langle u, v \rangle} \period$因此定理得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

備註　若考慮的內積空間為 $\RR^n \comma$則定理 1 等價於對任意實數 $u_0 \cm u_1 \cm \ldots \cm u_{n-1} \cm v_0 \cm v_1 \cm \ldots \cm v_{n-1} \comma$我們有 \[\begin{split}\rod{5}{0}\Biggl(\sum_{i=0}^{n-1} u_i^2\Biggr)\Biggl(\sum_{i=0}^{n-1} v_i^2\Biggr) \geq \Biggl(\sum_{i=0}^{n-1} u_iv_i\Biggr)^{\!\!2} \comma\end{split}\] 此即為實數的柯西―史瓦茲不等式。

類似於定理 1 的證明，我們可以證明如下：由於 \[\begin{split} \rod{5}{0} 0 &\leq \sum_{i=0}^{n-1} \Biggl(u_i \sum_{j=0}^{n-1} v_j^2 - v_i \sum_{j=0}^{n-1} u_jv_j \Biggr)^{\!\!2} \\ &= \sum_{i=0}^{n-1} u_i^2 \Biggl(\sum_{j=0}^{n-1} v_j^2\Biggr)^{\!\!2} - 2 \sum_{i=0}^{n-1} u_iv_i \Biggl(\sum_{j=0}^{n-1} v_j^2\Biggr)\Biggl(\sum_{j=0}^{n-1} u_jv_j\Biggr) + \sum_{i=0}^{n-1} v_i^2 \Biggl(\sum_{j=0}^{n-1} u_jv_j\Biggr)^{\!\!2} \\ &= \Biggl(\sum_{i=0}^{n-1} u_i^2\Biggr)\Biggl(\sum_{i=0}^{n-1} v_i^2\Biggr)^{\!\!2} - \Biggl(\sum_{i=0}^{n-1} u_iv_i\Biggr)^{\!\!2}\Biggl(\sum_{i=0}^{n-1} v_i^2\Biggr) \\ &= \Biggl(\Biggl(\sum_{i=0}^{n-1} u_i^2\Biggr)\Biggl(\sum_{i=0}^{n-1} v_i^2\Biggr) - \Biggl(\sum_{i=0}^{n-1} u_iv_i\Biggr)^{\!\!2}\,\Biggr)\Biggl(\sum_{i=0}^{n-1} v_i^2\Biggr) \comma \end{split}\] 可知在 $v_0 \cm v_1 \cm \ldots \cm v_{n-1}$ 不均為 0 時，即有 \[\begin{split}\rod{5}{0}\Biggl(\sum_{i=0}^{n-1} u_i^2\Biggr)\Biggl(\sum_{i=0}^{n-1} v_i^2\Biggr) \geq \Biggl(\sum_{i=0}^{n-1} u_iv_i\Biggr)^{\!\!2} \semicolon\end{split}\] 而 $v_0 \cm v_1 \cm \ldots \cm v_{n-1}$ 均為 0 時 \[\begin{split}\rod{5}{0}\Biggl(\sum_{i=0}^{n-1} u_i^2\Biggr)\Biggl(\sum_{i=0}^{n-1} v_i^2\Biggr) = 0 = \Biggl(\sum_{i=0}^{n-1} u_iv_i\Biggr)^{\!\!2} \comma\end{split}\] 故得證。

1.2　三角不等式

定理 2（三角不等式） 對任意 $u, v \in V \comma$皆有 $\lVert u \rVert + \lVert v \rVert \geq \lVert u + v \rVert$。

證明　我們有 \[\begin{split} \rod{3.8}{0} (\lVert u \rVert + \lVert v \rVert)^2 &= \lVert u \rVert^2 + 2\,\norm{u}\,\norm{v} + \lVert v \rVert^2 \comma \\ \norm{u + v}^2 &= \norm{u}^2 + 2\Real\,\langle u, v \rangle + \norm{v}^2 \period \end{split}\] 由定理 1（柯西―史瓦茲不等式）可知 $\lVert u \rVert\,\lVert v \rVert - \lvert\langle u, v \rangle\rvert \geq 0\period$另外注意到我們有 $\Real \langle u, v \rangle \leq \lvert\langle u, v \rangle \rvert\period$此時由 \[\begin{split} \rod{3.4}{0} (\lVert u \rVert + \lVert v \rVert)^2 - \lVert u + v \rVert^2 &= 2\,\norm{u}\,\norm{v} - 2\Real\,\langle u, v \rangle \\ &\geq 2\,\norm{u}\,\norm{v} - 2\lvert\langle u, v \rangle\rvert \\ &\geq 0 \end{split}\] 可知 $(\lVert u \rVert + \lVert v \rVert)^2 \geq (\lVert u+v \rVert)^2 \comma$即 $\lVert u \rVert + \lVert v \rVert \geq \lVert u+v \rVert \comma$故定理得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

參考資料