合成函數的微分法則：連鎖律

本文簡介實函數的連鎖律（chain rule），其可用於計算合成函數的微分。

1　連鎖律

定理 1　設 $U \jcomma V$ 均為 $\RR$ 的子集，且不包含任何孤立點。若 $f \colon U \to V$ 與 $g \colon V \to \RR$ 均為可微分函數，則 $g \circ f$ 可微分，有 \[\begin{split} \parenc1{g \circ f}'(x) = g'\parenc1{f(x)}\,f'(x) \period \end{split}\]

證明　我們說明對任意 $a \in U$ 均有 \[\begin{split}\lim_{x \to a} \frac{g\parenc1{f(x)} - g\parenc1{f(a)}}{x - a} = g'\parenc1{f(a)}\,f'(a) \period\end{split}\] 設 $a \in U \comma$並設 $p \colon U \to \RR$ 與 $q \colon V \to \RR$ 滿足 \[\begin{split} p(x) &= \begin{cases} f'(a) & \when x = a \\[1.25ex] \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} & \when x \neq a \end{cases} \comma \\[6ex] q(y) &= \begin{cases} g'\parenc1{f(a)} & \when y = f(a) \\[1.25ex] \dfrac{g(y) - g\parenc1{f(a)}}{y - f(a)} & \when y \neq f(a) \end{cases} \comma \end{split}\] 此時對任意 $x \in U$ 與 $y \in V$ 均有 \[\begin{split} f(x) - f(a) &= (x - a)\,p(x) \comma \\[0.75ex] g\parenc1{y} - g\parenc1{f(a)} &= \parenc1{y - f(a)}\,q\parenc1{y} \comma \end{split}\] 故對任意 $x \in U$ 均有 \[\begin{split} g\parenc1{f(x)} - g\parenc1{f(a)} &= \parenc1{f(x) - f(a)}\,q\parenc1{f(x)} \\[0.5ex] &= (x - a)\,p(x)\,q\parenc1{f(x)} \period \end{split}\]

我們有 \[\begin{split} \lim_{x \to a}\,p(x) = f'(a) \comma \end{split}\] 且由於 $f$ 連續，有 \[\begin{split} \lim_{x \to a}\,q\parenc1{f(x)} = \lim_{y \to f(a)} q(y) = g'\parenc1{f(a)} \period \end{split}\]

因而 \[\begin{split} \lim_{x \to a} \frac{g\parenc1{f(x)} - g\parenc1{f(a)}}{x - a} &= \lim_{x \to a} p(x)\,q\parenc1{f(x)} \\[1.75ex] &= f'(a)\,g'\parenc1{f(a)} \comma \end{split}\] 定理得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

參考資料