達布積分（一）：以上下和逼近求積

達布積分（Darboux integral）是數學分析中一種定義積分的方法。本文簡介其定義，並示範如何利用上下和計算達布積分。

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本系列文著重於介紹達布積分的定義、性質，與基本的積分技巧。

• 〈達布積分（一）：以上下和逼近求積〉簡介達布積分的定義。
• 〈達布積分（二）：達布積分的性質〉簡介達布積分的性質。
• 〈達布積分（三）：微積分基本定理〉簡介微積分基本定理。
• 〈達布積分（四）：積分技巧〉簡介變數變換與分部積分。

1　達布積分

1.1　分割

設 $a$、$b$ 為兩實數，其中 $a < b$。

我們將滿足 \[a = p_0 < p_1 < \cdots < p_n = b\] 的一組實數 $(p_0, p_1, \ldots, p_n)$ 稱為 $[a, b]$ 的分割，並以 $\Part(a, b)$ 表示所有 $[a, b]$ 的分割所構成的集合。

1.2　上和與下和

設 $f \colon D \to \mathbb{R}$ 為一函數，其中 $[a, b] \subseteq D \subseteq \mathbb{R}$，且 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界（即存在非負實數 $M$ 使得 $\lvert f(x) \rvert \leq M$ 對所有 $x \in [a, b]$ 皆成立）。

對任意一個 $[a, b]$ 的分割 $P = (p_0, p_1, \ldots, p_n)$，我們設 $S_i = \bigl\{f(x): x \in [p_i, p_{i+1}]\bigr\}$，並定義 \[ \begin{split} U(\.f, P) &= \sum_{i=0}^{n-1} (p_{i+1}-p_i) \sup S_i \comma \\ L(\.f, P) &= \sum_{i=0}^{n-1} (p_{i+1}-p_i) \inf S_i \comma \end{split} \] $U(\.f, P)$ 與 $L(\.f, P)$ 分別稱為 $f$ 對於 $P$ 的上和與下和。

由於 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界，因此 $U(\.f, P)$ 與 $L(\.f, P)$ 對任意 $P \in \mathrm{Part}(a, b)$ 皆存在。

注意到若 $M = \sup \bigl\{\lvert f(x) \rvert: x \in [a, b]\bigr\}$，則我們有 \[-M(b-a) \leq L(\.f, P) \leq U(\.f, P) \leq M(b-a) \period\]

1.3　達布積分

設 $P \in \mathrm{Part}(a, b)$。我們將 \[\begin{split}\rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\upint_a^b f = \inf\bigl\{U(\.f, P): P \in \Part(a, b)\bigr\}\end{split}\] 與 \[\begin{split}\rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\lowint_a^b f = \sup\bigl\{L(\.f, P): P \in \Part(a, b)\bigr\}\end{split}\] 分別稱為 $f$ 對於 $[a, b]$ 的上積分與下積分。

若存在實數 $I$ 使得 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\upint_a^b f = I = \lowint_a^b f \comma \end{split} \] 則我們稱 $f$ 在 $[a, b]$ 上達布可積，並定義此時的 $I$ 值為 $f$ 對於 $[a, b]$ 的達布積分，記作 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\int_a^b f \comma \end{split} \] 或者也可記作 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\int_a^b f(t)\,\d{t} \period \end{split} \]

2　細分及其性質

2.1　細分

對任意分割 $P = (p_0, p_1, \ldots, p_n)$，我們定義 $\ran P = \{p_0, p_1, \ldots, p_n\}$。

給定 $P \in \Part(a, b)$，我們將滿足 $\ran P \subseteq \ran Q$ 的 $Q \in \Part(a, b)$ 稱為 $P$ 的細分。

定理 1　設 $a \jcomma b$ 為滿足 $a < b$ 的兩實數，且 $f \colon [a, b] \to \RR$ 為有界函數。若 $P \in \Part(a, b) \comma$且 $Q$ 為 $P$ 之細分，則 $L(\.f, P) \leq L(\.f, Q)$ 且 $U(\.f, P) \geq U(\.f, Q) \period$

證明　設 $Q = (q_0, q_1, \ldots, q_n)$。由於 $Q$ 是 $P$ 的細分，故存在一組整數 $(k_0, k_1, \ldots, k_m)$ 使得 $P = (q_{k_0}, q_{k_1}, \ldots, q_{k_m})$。首先我們有 \[ \begin{split} L(\.f, P) &= \sum_{i=0}^{m-1} (q_{k_{i+1}}-q_{k_i}) \inf\bigl\{f(x): x \in [q_{k_i}, q_{k_{i+1}}]\bigr\} \\ &= \sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=k_i}^{k_{i+1}-1} (q_{j+1}-q_j) \inf\bigl\{f(x): x \in [q_{k_i}, q_{k_{i+1}}]\bigr\} \\ &\leq \sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=k_i}^{k_{i+1}-1} (q_{j+1}-q_j) \inf\bigl\{f(x): x \in [q_j, q_{j+1}]\bigr\} \\ &= \sum_{j=0}^{n-1} (q_{j+1}-q_j) \inf\bigl\{f(x): x \in [q_j, c_{q+1}]\bigr\} \\ &= L(\.f, Q) \period \end{split} \] 接著由 $L(-f, P) \leq L(-f, Q)$ 可得 $U(\.f, P) = -L(-f, P) \geq -L(-f, Q) = U(\.f, Q)$，故定理得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

2.2　共同細分

給定 $P \in \Part(a, b)$ 與 $Q \in \Part(a, b)$，我們將滿足 $\ran R = \ran P \cup \ran Q$ 的分割 $R$ 稱為 $P$ 與 $Q$ 的共同細分。

例如 \[\begin{split} P = \biggl(0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1\biggr) \qquad \text{與} \qquad Q = \biggl(0, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1\biggr) \end{split}\] 的共同細分即為 \[\begin{split} R = \biggl(0, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1\biggr) \period \end{split}\]

定理 2　設 $a \jcomma b$ 為滿足 $a < b$ 的兩實數，且 $f \colon [a, b] \to \RR$ 為有界函數。則對任意 $P, Q \in \Part(a, b) \comma$有 $L(\.f, P) \leq U(\.f, Q)$。

證明　設 $R$ 為 $P$ 與 $Q$ 之共同細分。此時由定理 1，我們有 $L(\.f, P) \leq L(\.f, R) \leq U(\.f, R) \leq U(\.f, Q) \period\;\blacksquare$

定理 3　設 $a \jcomma b$ 為滿足 $a < b$ 的兩實數，且 $f \colon D \to \mathbb{R}$ 為一函數，其中 $[a, b] \subseteq D \subseteq \mathbb{R}$，且 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界。則我們有 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\lowint_a^b f \leq \upint_a^b f \period \end{split} \]

證明　由定理 2 可知對任意 $P, Q \in \Part(a, b)$，我們皆有 $L(\.f, P) \leq U(\.f, Q)$。故 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\lowint_a^b f &= \sup\bigl\{L(\.f, P): P \in \Part(a, b)\bigr\} \\ &\leq U(\.f, Q) \end{split} \] 對所有 $Q \in \Part(a, b)$ 皆成立。此時我們有 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\lowint_a^b f &\leq \inf\bigl\{U(\.f, Q): Q \in \Part(a, b)\bigr\} \\ &= \upint_a^b f \comma \end{split} \] 故得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

範例 1　設 $f \colon [0, 1] \to \RR$ 滿足 $f(x) = x^2$，我們嘗試計算 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex} \int_0^1 f \period \end{split} \]

首先，對每個正整數 $n$，我們定義分割 \[\quad {P\?\?}_n = \biggl(0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \ldots, \frac{n-1}{n}, 1\biggr) \period\]

接著計算 $L(\.f, {P\?\?}_n)$ 與 $U(\.f, {P\?\?}_n)$：我們有 \[ \begin{split} L(\.f, {P\?\?}_n) &= \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\sum_{i=0}^{n-1} \biggl(\frac{i+1}{n} - \frac{i}{n}\biggr)\biggl(\frac{i}{n}\biggr)^{\!\!2} \\ &= \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\sum_{i=0}^{n-1} \frac{i^2}{n^3} \\ &= \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\frac{1}{n^3}\sum_{i=0}^{n-1} (i(i-1) + i) \\ &= \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\frac{1}{n^3}\biggl(\frac{n(n-1)(n-2)}{3} + \frac{n(n-1)}{2}\biggr) \\ &= \rule[-2.3ex]{0pt}{5.8ex}\frac{1}{3} - \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2} \end{split} \] 與 \[ \begin{split} U(\.f, {P\?\?}_n) &= \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\sum_{i=0}^{n-1} \biggl(\frac{i+1}{n} - \frac{i}{n}\biggr)\biggl(\frac{i+1}{n}\biggr)^{\!\!2} \\ &= \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}0 + \sum_{i=0}^{n-1} \frac{(i+1)^2}{n^3} \\ &= \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\sum_{i=0}^{n-1} \frac{i^2}{n^3} + \frac{1}{n} \\ &= \rule[-2.3ex]{0pt}{5.8ex}\frac{1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2} \period \end{split} \] 於是我們有 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\upint_0^1 f \leq \inf\,\bigl\{U(\.f, {P\?\?}_n): n \in \{1, 2, \ldots\}\bigr\} &= \frac{1}{3} \comma \\ \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\lowint_0^1 f \geq \sup\,\bigl\{L(\.f, {P\?\?}_n): n \in \{1, 2, \ldots\}\bigr\} &= \frac{1}{3} \period \end{split} \] 此時由定理 3 可得 \[ \begin{split} \quad \frac{1}{3} \leq \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\lowint_0^1 f \leq \upint_0^1 f \leq \frac{1}{3} \comma \end{split} \] 故 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\int_0^1 f = \frac{1}{3} \period \end{split} \]

範例 2　設 $g \colon [0, 1] \to \RR$ 滿足 \[ g(x) = \begin{cases} 1 & \when x \in [0, 1] \cap \mathbb{Q} \\ 0 & \when x \in [0, 1] \setminus \mathbb{Q} \end{cases} \comma \] 我們說明 $g$ 在 $[0, 1]$ 上並非達布可積。

由於對任意 $P \in \operatorname{Part}(0, 1)$ 皆有 $U(\.g, P) = 1$ 與 $L(\.g, P) = 0$，可知 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\upint_0^1 g = 1 \comma \qquad \lowint_0^1 g = 0 \period \end{split} \] 故 $g$ 在 $[0, 1]$ 上非達布可積。

繼續閱讀

關於達布積分的性質，見〈達布積分（二）：達布積分的性質〉。

參考資料