達布積分（二）：達布積分的性質

本文著重介紹達布積分的性質。

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本系列文著重於介紹達布積分的定義、性質，與基本的積分技巧。

• 〈達布積分（一）：以上下和逼近求積〉簡介達布積分的定義。
• 〈達布積分（二）：達布積分的性質〉簡介達布積分的性質。
• 〈達布積分（三）：微積分基本定理〉簡介微積分基本定理。
• 〈達布積分（四）：積分技巧〉簡介變數變換與分部積分。

3　達布積分的性質

3.1　達布可積之柯西判別法

定理 4 給出一個達布可積的充要條件，我們會經常利用此定理來判斷函數的達布可積性。

定理 4　設 $a \jcomma b$ 為滿足 $a < b$ 的兩實數，且 $f \colon [a, b] \to \RR$ 為有界函數。則下列敘述等價：

• (a)函數 $f$ 在 $[a, b]$ 上達布可積。

• (b)對任意正實數 $\epsilon$ 皆存在 $P \in \Part(a, b)$ 使得 $\upsum{f}{P} - \lowsum{f}{P} < \epsilon$。

證明　首先證明 (b) 可推得 (a)。對任意 $\epsilon > 0 \comma$設 $P_\epsilon \in \Part(a, b)$ 滿足 $\upsum{f}{P_\epsilon} - \lowsum{f}{P_\epsilon} < \epsilon \period$由 \[\begin{split}0 \leq \upint_a^b f - \lowint_a^b f \leq \inf\,\bigl\{\upsum{f}{P_\epsilon} - \lowsum{f}{P_\epsilon}: \epsilon > 0\bigr\} = 0\end{split}\] 可得 \[\begin{split}\lowint_a^b f = \upint_a^b f \comma\end{split}\] 故 $f$ 在 $[a, b]$ 上達布可積。

接著證明 (a) 可推得 (b)。給定 $\epsilon > 0$，設 $Q, R \in \Part(a, b)$ 滿足 \[\begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex} \lowsum{f}{Q} &> \int_a^b f - \frac{\epsilon}{2} \comma \\ \upsum{f}{R} &< \int_a^b f + \frac{\epsilon}{2} \comma \\ \end{split}\] 並設 $P$ 為 $Q$ 與 $R$ 的共同細分。此時 \[\begin{split} \upsum{f}{P} - \lowsum{f}{P} &\leq \upsum{f}{R} - \lowsum{f}{Q} \\ &< \biggl(\int_a^b f + \frac{\epsilon}{2}\biggr) - \biggl(\int_a^b f - \frac{\epsilon}{2}\biggr) \\ &= \epsilon \end{split}\] 成立，故得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

3.2　線性

定理 5 與 6 說明達布積分具有線性性質。

定理 5　設 $a \jcomma b$ 為滿足 $a < b$ 的兩實數，且 $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ 與 $g \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ 為兩有界函數。若 $f$ 與 $g$ 皆在 $[a, b]$ 上達布可積，則 $f + g$ 亦在 $[a, b]$ 上達布可積，且 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\int_a^b (\mkern2muf + g) = \int_a^b f + \int_a^b g \period \end{split} \]

證明　設 $\epsilon$ 為一任意正實數。設 $Q \in \Part(a, b)$ 與 $R \in \Part(a, b)$ 為滿足 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\upsum{f}{Q} - \lowsum{f}{Q} < \frac{\epsilon}{2} \quad \textrm{與} \quad \upsum{g}{R} - \lowsum{g}{R} < \frac{\epsilon}{2} \end{split} \] 的兩分割，並設 $P$ 為 $Q$ 與 $R$ 的共同細分。由定理 2，我們有 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\upsum{f}{P} - \lowsum{f}{P} \leq \upsum{f}{Q} - \lowsum{f}{Q} &< \frac{\epsilon}{2} \qquad \text{與} \\ \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\upsum{g}{P} - \lowsum{g}{P} \leq \upsum{g}{R} - \lowsum{g}{R} &< \frac{\epsilon}{2} \comma \end{split} \] 故 \[\begin{split} \upsum{f \varplus g}{P} - \lowsum{f \varplus g}{P} &\leq (\upsum{f}{P} + \upsum{g}{P}) - (\lowsum{f}{P} + \lowsum{g}{P}) \\[1ex] &= \upsum{f}{P} - \lowsum{f}{P} + \upsum{g}{P} - \lowsum{g}{P} \\[1ex] &< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} \\[1.5ex] &= \epsilon \period \end{split}\] 由於 $\epsilon$ 為任意選取，由定理 4 知 $f + g$ 在 $[a, b]$ 上達布可積。此外由於 \[\begin{split} \int_a^b (\mkern1.5muf \varplus g) &\leq \upsum{f \varplus g}{P} \\ &\leq \upsum{f}{P} + \upsum{g}{P} \\[1ex] &\leq \lowsum{f}{P} + \frac{\epsilon}{2} + \lowsum{g}{P} + \frac{\epsilon}{2} \\[1.25ex] &\leq \int_a^b f + \int_a^b g + \epsilon \end{split}\] 與 \[\begin{split} \int_a^b (\mkern1.5muf \varplus g) &\geq \lowsum{f \varplus g}{P} \\ &\geq \lowsum{f}{P} + \lowsum{g}{P} \\[1ex] &\geq \upsum{f}{P} - \frac{\epsilon}{2} + \upsum{g}{P} - \frac{\epsilon}{2} \\[1.25ex] &\geq \int_a^b f + \int_a^b g - \epsilon \end{split}\] 對一開始任意選取的 $\epsilon$ 成立，故 \[ \begin{split} \int_a^b (\mkern1.5muf \varplus g) = \int_a^b f + \int_a^b g \period \end{split} \] 至此定理得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

定理 6　設 $a \jcomma b$ 為滿足 $a < b$ 的兩實數，且 $f \colon [a, b] \to \RR$ 為有界函數。若 $f$ 在 $[a, b]$ 上達布可積，且 $c \in \RR \comma$則下列敘述成立：

• (a) 函數 $cf$ 在 $[a, b]$ 上達布可積。

• (b) 我們有 \[\begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\int_a^b cf = c\int_a^b f \period \end{split}\]

證明　我們分三種狀況討論。

狀況 1：$c = 0$。由於對任意 $P \in \Part(a, b)$ 皆有 $\upsum{cf}{P} = 0 = \lowsum{cf}{P}$，可知 \[\begin{split} \upint_a^b cf = 0 = \lowint_a^b cf \comma \end{split}\] 故 $cf$ 在 $[a, b]$ 上達布可積，且 \[\begin{split} \int_a^b cf = 0 = c\int_a^b f \period \end{split}\]

狀況 2：$c > 0$。由於對任意 $P \in \Part(a, b)$ 皆有 \[ \upsum{cf}{P} = c\upsum{f}{P} \quad \textrm{與} \quad \lowsum{cf}{P} = c\lowsum{f}{P} \comma \] 可知 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\upint_a^b cf = c\upint_a^b f \quad \textrm{且} \quad \lowint_a^b cf = c\lowint_a^b f \period \end{split} \] 故 $cf$ 在 $[a, b]$ 上達布可積，且 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\int_a^b cf = c\int_a^b f \period \end{split} \]

狀況 3：$c < 0$。由於對任意 $P \in \Part(a, b)$ 皆有 \[ \upsum{cf}{P} = c\lowsum{f}{P} \quad \textrm{與} \quad \lowsum{cf}{P} = c\upsum{f}{P} \comma \] 我們有 \[\begin{split} \upint_a^b cf &= \inf\,\bigl\{\upsum{cf}{P}: P \in \Part(a, b)\bigr\} \\ &= \inf\,\bigl\{c \cdot \lowsum{f}{P}: P \in \Part(a, b)\bigr\} \\[1ex] &= c \cdot \sup\,\bigl\{\lowsum{f}{P}: P \in \Part(a, b)\bigr\} \\ &= c\lowint_a^b f \end{split}\] 與 \[\begin{split} \lowint_a^b cf &= \sup\,\bigl\{\lowsum{cf}{P}: P \in \Part(a, b)\bigr\} \\ &= \sup\,\bigl\{c \cdot \upsum{f}{P}: P \in \Part(a, b)\bigr\} \\[1ex] &= c \cdot \inf\,\bigl\{\upsum{f}{P}: P \in \Part(a, b)\bigr\} \\ &= c\upint_a^b f \period \end{split}\] 故 $cf$ 在 $[a, b]$ 上達布可積，且 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\int_a^b cf = c\int_a^b f \period \end{split} \] 至此定理得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

3.3　可加性

定理 7 說明達布積分具有可加性。

定理 7　設 $a \jcomma b \jcomma c$ 為滿足 $a < c < b$ 的實數，且 $f \colon [a, b] \to \RR$ 為一有界函數。若 $f$ 在 $[a, c]$ 與 $[c, b]$ 上皆達布可積，則下列敘述成立：

• (a) 函數 $f$ 在 $[a, b]$ 上達布可積。

• (b) 我們有 \[\begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f \period \end{split}\]

證明　由定理 4 可知欲證明 (a)，我們只需要證明對任意 $\epsilon > 0$ 皆存在 $P \in \Part(a, b)$ 使得 $U(f, P) - L(f, P) < \epsilon$ 即可。設 $\epsilon$ 為一任意正實數，設 \[\begin{split}Q = (q_0, q_1, \ldots, q_m) \quad \textrm{與} \quad R = (r_0, r_1, \ldots, r_\ell)\end{split}\] 分別為 $[a,c] \jcomma [c, b]$ 上的分割，其滿足 \[\begin{split} \rule[-1.8ex]{0pt}{4.8ex}\upsum{f}{Q} - \lowsum{f}{Q} < \frac{\epsilon}{2} \quad \textrm{與} \quad \upsum{f}{R} - \lowsum{f}{R} < \frac{\epsilon}{2} \period \end{split}\] 設 $P = (p_0, p_1, \ldots, p_n)$ 為 $[a,b]$ 上的分割，其滿足 \[\begin{split}\{p_0, p_1, \ldots, p_n\} = \{q_0, q_1, \ldots, q_m, r_0, r_1, \ldots, r_\ell\} \period\end{split}\] 則我們有 \[\begin{split} \upsum{f}{P} - \lowsum{f}{P} &= (\upsum{f}{Q} + \upsum{f}{R}) - (\lowsum{f}{Q} + \lowsum{f}{R}) \\[0.8ex] &= \upsum{f}{Q} - \lowsum{f}{Q} + \upsum{f}{R} - \lowsum{f}{R} \\[0.8ex] &< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} \\[1.8ex] &= \epsilon \comma \end{split}\] 故 (a) 得證。此時由於 \[\begin{split} \int_a^b f &\leq \upsum{f}{P} \\ &= \upsum{f}{Q} + \upsum{f}{R} \\[0.8ex] &< \lowsum{f}{Q} + \frac{\epsilon}{2} + \lowsum{f}{R} + \frac{\epsilon}{2} \\ &\leq \int_a^c f + \int_c^b f + \epsilon \end{split}\] 與 \[\begin{split} \int_a^b f &\geq \lowsum{f}{P} \\ &= \lowsum{f}{Q} + \lowsum{f}{R} \\[0.8ex] &> \upsum{f}{Q} - \frac{\epsilon}{2} + \upsum{f}{R} - \frac{\epsilon}{2} \\ &\geq \int_a^c f + \int_c^b f - \epsilon \end{split}\] 對任意選取的 $\epsilon > 0$ 皆成立，(b) 亦得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

4　一些達布可積的函數

4.1　連續函數

由定理 8 可知連續函數（包含多項式函數、指數函數、正弦與餘弦函數等）均為達布可積。

定理 8　設 $a \jcomma b$ 為滿足 $a < b$ 的兩實數，且 $f \colon (\.A, B) \to \RR$ 為一連續函數。則 $f$ 在所有滿足 $A < a < b < B$ 的閉區間 $[a, b]$ 上皆達布可積。

證明　由定理 4 可知，我們只須說明對任意正實數 $\epsilon$ 均存在 $P \in \Part(a, b)$ 使 $\upsum{f}{P} - \lowsum{f}{P} < \epsilon$ 成立即可。

設 $\epsilon$ 為一任意正實數。由於 $f$ 在 $[a, b]$ 上每一點皆連續，故 $f$ 在 $[a, b]$ 上均勻連續，亦即我們能找到一個 $\delta > 0$ 使得對所有滿足 $\lvert x - y \rvert < \delta$ 的 $x, y \in [a, b]$ 皆有 \[\begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\lvert f(x) - f(y) \rvert < \frac{\epsilon}{b-a} \period \end{split}\] 設 $P = (p_0, p_1, \ldots, p_n)$ 為 $[a,b]$ 上的分割，其滿足 \[\begin{split} \max\,\bigl\{p_{i+1} - p_i: i \in \{0, 1, \ldots, n\varminus1\}\bigr\} < \delta \comma \end{split}\] 並定義 $S_i = \smash{\bigl\{f(x): x \in [p_i, p_{i+1}]\bigr\}}$，其中 $i \in \{0, 1, \ldots, n-1\}$。則我們有 \[\begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\upsum{f}{P} - \lowsum{f}{P} &= \sum_{i=0}^{n-1} (p_{i+1}-p_i)(\max S_i - \min S_i) \\ &< \sum_{i=0}^{n-1} (p_{i+1}-p_i)\frac{\epsilon}{b-a} \\ &= \rule[-1.8ex]{0pt}{4.8ex}\epsilon \comma \end{split}\] 故得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

繼續閱讀

關於微積分基本定理，見〈達布積分（三）：微積分基本定理〉。

參考資料