利用冪級數建造函數（一）：指數與對數函數

本文簡介如何以冪級數定義自然指數函數、自然對數函數。

$ \gdef\comma{\raisebox{-.35ex}{，}} \gdef\period{\raisebox{-.2ex}{。}} \gdef\RR{\mathbb{R}} \gdef\root#1#2{\sqrt[\scriptstyle#1]{#2}} \gdef\largeroot#1#2{\sqrt[\raisebox{.5ex}{$\scriptstyle #1$}]{#2}} $ 以下我們約定對任意 $x \in \mathbb{R}$ 皆有 $x^0 = 1$（即我們有 $0^0 = 1$）。

1　自然指數函數

1.1　定義

由於 \[ \begin{split} \root{n}{n!} > \largeroot{n}{\biggl(\frac{n}{2}\biggr)^{\!\!n/2}} = \sqrt{\frac{n}{2}} \comma \end{split} \] 對任意正偶數 $n$ 皆成立，可知對任意 $x \in \RR$ 皆有 \[ \begin{split} \lim_{n \to \infty} \largeroot{n}{\biggl|\frac{x^n}{n!}\biggr|} = \lim_{n \to \infty} \frac{\lvert x \rvert}{\root{n}{n!}} = 0 \period \end{split} \] 故由方根審斂法（root test）可知 $\sum_{n=0}^\infty x^n/n!$ 對所有 $x \in \RR$ 皆絕對收斂。

我們定義 $E \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 為滿足 \[ E(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \] 的函數，其通常被稱為自然指數函數（nat­u­ral ex­po­nen­tial func­tion）。

1.2　性質

定理 1　對任意 $x, y \in \mathbb{R}$ 皆有 $E(x + y) = E(x)E(y)$。

證明　由於任意 $x \in \mathbb{R}$ 皆使 $\sum_{n=0}^\infty x^n/n!$ 絕對收斂，故我們有 \[ \begin{split} E(x)E(y) &= \Biggl(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\Biggr) \Biggl(\sum_{n=0}^\infty \frac{y^m}{m!}\Biggr) \\ &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\,\frac{y^{n-k}}{(n-k)!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{x^ky^{n-k}}{n!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(x+y)^n}{n!} \\ \rule[-1.3ex]{0pt}{3.8ex}&= E(x+y) \period \end{split} \]

定理 2　$E$ 在 $\RR$ 上可微分，有 $E' = E$。

證明　利用冪級數的微分（可參見〈冪級數〉中的定理 6），有 \[ \begin{split} E'(x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{nx^{n-1}}{n!} \\ &= \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \\ \rule[-1.3ex]{0pt}{3.8ex}&= E(x) \period \end{split} \]

定理 3　對任意 $x \in \RR$ 皆有 $E(x) > 0$。

證明　我們有 \[ \begin{split} E(0) = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{0^n}{n!} =1 \period \end{split} \]

當 $x > 0$ 時，有 \[ \begin{split} E(x) = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} > 0 \period \end{split} \]

當 $x < 0$ 時，由於 $E(x)E(-x) = E(0) = 1$ 且 $E(-x) > 0$，故 $E(x) > 0$。

定理 4　對任意 $x, y \in \RR$，若 $x < y$，則 $E(x) < E(y)$。

證明　首先注意到 $x > 0$ 時，有 \[ \begin{split} E(x) = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} > 1 \period \end{split} \] 而 $x < 0$ 時，由於 $E(x)E(-x) = E(0) = 1$ 且 $E(-x) > 1$，故 $E(x) < 1$。

若 $0 < x < y$，則 \[ \begin{split} E(y) - E(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{y^n - x^n}{n!} > 0 \comma \end{split} \] 故 $E(x) < E(y)$。若 $x < y < 0$，則由於 $E(-y) < E(-x)$，我們有 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex} E(x) = \frac{1}{E(-x)} < \frac{1}{E(-y)} = E(y) \period \end{split} \] 至此定理得證。

定理 5　對任意正實數 $y$ 皆存在一實數 $x$ 使得 $E(x) = y$。

證明　我們有 \[ \begin{split} E(y) = 1 + y + \sum_{n=2}^\infty \frac{y^n}{n!} > y \period \end{split} \] 另一方面，由於 \[ \begin{split} E\biggl(\frac{1}{y}\biggr) = 1 + \frac{1}{y} + \sum_{n=2}^\infty \frac{(1/y)^n}{n!} > \frac{1}{y} \comma \end{split} \] 我們有 \[ \begin{split} E\biggl(-\frac{1}{y}\biggr) = \frac{1}{E(1/y)} < \frac{1}{1/y} = y \period \end{split} \] 因而由中間值定理，存在一實數 $x \in (-1/y, y)$ 使得 $E(x) = y$。

2　自然對數函數

2.1　定義

由定理 4 與 5 可知 $E$ 存在一反函數，我們將其記為 $L \colon (0, \infty) \to \RR$。

我們通常將 $L$ 稱為自然對數函數（nat­u­ral log­a­rithm func­tion）。而 $e = E(1)$ 則稱為自然對數的底數，或稱為納皮爾常數（Napier’s con­stant）。

注意到對任意實數 $x$ 皆有 $L(E(x)) = x$；對任意正實數 $y$ 皆有 $E(L(y)) = y$。

2.2　性質

定理 6　對任意 $x, y \in (0, \infty)$ 皆有 $L(x) + L(y) = L(xy)$。

證明　我們有 \[ \begin{split} E(L(x) + L(y)) &= E(L(x)) \cdot E(L(y)) \\ &= xy \\ &= E(L(xy)) \comma \end{split} \] 故 $L(x) + L(y) = L(xy)$。

定理 7　$L$ 在 $(0, \infty)$ 上可微分，有 $L'(y) = 1/y$。

證明　設 $I \colon \RR \to \RR$，其中 $I(x) = L(E(x)) = x$。由連鎖律，對任意 $x \in \RR$ 皆有 \[ \begin{split} 1 = I'(x) = L'(E(x)) \cdot E'(x) = L'(E(x)) \cdot E(x) \period \end{split} \] 由於對任意 $y \in (0, \infty)$ 皆能找到滿足 $E(x) = y$ 的 $x \in \RR$，我們有 $L'(y) \cdot y = 1$，即 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}L'(y) = \frac{1}{y} \period \end{split} \]

參考資料