利用冪級數建造函數(一):指數與對數函數
本文簡介如何以冪級數定義自然指數函數、自然對數函數。
1 自然指數函數
1.1 定義
由於 \[ \begin{split} \root{n}{n!} > \largeroot{n}{(n/2)^{n/2}} = \sqrt{n/2} \end{split} \] 對任意正偶數 $n$ 皆成立,可知對任意 $x \in \RR$ 均有 \[\begin{split} \Biggl( \frac{\lvert x \rvert}{\root{n}{n!}} \Biggr)_{\mkern-5mu n \geq 1 \mkern-3mu} \to 0 \period \end{split}\] 故由方根審斂法(root test)可知 $\sum_{n \geq 1} x^n/n!$ 對所有 $x \in \RR$ 皆絕對收斂。
我們定義 $E \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 為滿足 \[ E(x) = 1 + \sum_{n \geq 1} \frac{x^n}{n!} \] 的函數,其通常被稱為自然指數函數(natural exponential function)。
1.2 性質
定理 1 對任意 $x, y \in \mathbb{R}$ 皆有 $E(x \varplus y) = E(x)E(y)$。
證明 由於任意 $x \in \mathbb{R}$ 皆使 $\sum_{n \geq 1} x^n/n!$ 絕對收斂,故我們有 \[\begin{split} E(x)E(y) &= \Biggl(1 + \sum_{n \geq 1} \frac{x^n}{n!}\Biggr) \Biggl(1 + \sum_{m \geq 1} \frac{y^m}{m!}\Biggr) \\ &= 1 + \sum_{n \geq 1} \Biggl(\frac{x^n}{n!} + \sum_{k=1}^{n-1}\frac{x^ky^{n-k}}{k!(n \varminus k)!} + \frac{y^n}{n!}\Biggr) \\ &= 1 + \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n!}\Biggl(x^n + \sum_{k=1}^{n-1}\binom{n}{k}x^ky^{n-k} + y^n\Biggr) \\ &= 1 + \sum_{n \geq 1} \frac{(x \varplus y)^n}{n!} \\[3ex] &= E(x \varplus y) \comma \end{split}\] 定理得證。
定理 2 $E \colon \RR \to \RR$ 是可微分函數,有 $E' = E$。
證明 利用冪級數的微分(可參見〈冪級數〉中的定理 6),有 \[ \begin{split} E'(x) &= 1 + \sum_{n \geq 2} \frac{nx^{n-1}}{n!} \\ &= 1 + \sum_{n \geq 2} \frac{x^{n-1}}{(n \varminus 1)!} \\ &= 1 + \sum_{n \geq 1} \frac{x^n}{n!} \\ \rule[-1.3ex]{0pt}{3.8ex}&= E(x) \comma \end{split} \] 定理得證。
定理 3 對任意 $x \in \RR$ 皆有 $E(x) > 0$。
證明 我們有 $E(0) = 1 + \sum_{n \geq 1} 0 = 1 \period$
當 $x > 0$ 時,有 \[\begin{split} E(x) = 1 + \sum_{n \geq 1} \frac{x^n}{n!} > 0 \period \end{split}\]
而當 $x < 0$ 時,由於 $E(x)E(-x) = E(0) = 1$ 與 $E(-x) > 0$ 可得 $E(x) > 0 \period$
定理 4 對任意 $x, y \in \RR$,若 $x < y$,則 $E(x) < E(y)$。
證明 首先注意到 $x > 0$ 時,有 \[\begin{split} E(x) = 1 + \sum_{n \geq 1} \frac{x^n}{n!} > 1 \period \end{split}\] 而 $x < 0$ 時,由於 $E(x)E(-x) = E(0) = 1$ 且 $E(-x) > 1$,故 $E(x) < 1 \period$
若 $0 < x < y$,則 \[ \begin{split} E(y) - E(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{y^n - x^n}{n!} > 0 \comma \end{split} \] 故 $E(x) < E(y)$。若 $x < y < 0$,則由於 $E(-y) < E(-x)$,我們有 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex} E(x) = \frac{1}{E(-x)} < \frac{1}{E(-y)} = E(y) \period \end{split} \] 至此定理得證。
定理 5 對任意正實數 $y$ 皆存在一實數 $x$ 使得 $E(x) = y$。
證明 我們有 \[ \begin{split} E(y) = 1 + y + \sum_{n \geq 2} \frac{y^n}{n!} > y \period \end{split} \] 另一方面,由於 \[ \begin{split} E\biggl(\frac{1}{y}\biggr) = 1 + \frac{1}{y} + \sum_{n \geq 2} \frac{(1/y)^n}{n!} > \frac{1}{y} \comma \end{split} \] 我們有 \[ \begin{split} E\biggl(-\frac{1}{y}\biggr) = \frac{1}{E(1/y)} < \frac{1}{1/y} = y \period \end{split} \] 因而由中間值定理,存在一實數 $x \in (-1/y, y)$ 使得 $E(x) = y \period$
2 自然對數函數
2.1 定義
由定理 4 與 5 可知自然指數函數 $E$ 存在一反函數 $L \colon (0, \infty) \to \RR \period$
我們通常將 $L$ 稱為自然對數函數(natural logarithm function)。
- $e = E(1)$ 則稱為自然對數的底數,或稱為納皮爾常數(Napier’s constant)。
注意到對任意實數 $x$ 皆有 $L(E(x)) = x$;對任意正實數 $y$ 皆有 $E(L(\.y)) = y$。
2.2 性質
定理 6 對任意 $x, y \in (0, \infty)$ 皆有 $L(x) + L(\.y) = L(xy) \period$
證明 我們有 \[ \begin{split} E(L(x) + L(\.y)) &= E(L(x)) \cdot E(L(\.y)) \\ &= xy \\ &= E(L(xy)) \comma \end{split} \] 故 $L(x) + L(\.y) = L(xy) \period$
定理 7 $L \colon (0, \infty) \to \RR$ 是可微分函數,有 $L'(y) = 1/y$。
證明 設 $I \colon \RR \to \RR$,其中 $I(x) = L(E(x)) = x$。由連鎖律,對任意 $x \in \RR$ 皆有 \[ \begin{split} 1 = I'(x) = L'(E(x)) \cdot E'(x) = L'(E(x)) \cdot E(x) \period \end{split} \] 由於對任意 $y \in (0, \infty)$ 皆能找到滿足 $E(x) = y$ 的 $x \in \RR$,我們有 $L'(y) \cdot y = 1$,即 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}L'(y) = \frac{1}{y} \comma \end{split} \] 定理得證。
參考資料
[1] | Walter Rudin. Principles of mathematical analysis. McGraw-Hill, third edition, 1976. |
[2] | Kenneth A. Ross. Elementary analysis: The theory of calculus. Springer, second edition, 2013. |