達布積分（三）：微積分基本定理

本文簡介微積分基本定理。

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本系列文著重於介紹達布積分的定義、性質，與基本的積分技巧。

• 〈達布積分（一）：以上下和逼近求積〉簡介達布積分的定義。
• 〈達布積分（二）：達布積分的性質〉簡介達布積分的性質。
• 〈達布積分（三）：微積分基本定理〉簡介微積分基本定理。
• 〈達布積分（四）：積分技巧〉簡介變數變換與分部積分。

5　微積分基本定理

定理 9（微積分第一基本定理）與定理 10（微積分第二基本定理）合稱微積分基本定理。

5.1　第一基本定理

定理 9 說明我們可以利用反導函數（an­tideriva­tive）來計算達布積分。

定理 9（微積分第一基本定理） 設 $A \jcomma B$ 為滿足 $A < B$ 的兩實數，且 $g \colon (\.A,B) \to \RR$ 為一可微分函數。對任意 $A < a < b < B$，若 ${g\.}'$ 在 $[a, b]$ 上達布可積，則 \[\begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\int_a^b {g\.}' = g(b) - g(a) \period \end{split}\]

證明　我們只需要說明 \[\begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\biggl\lvert\int_a^b g' - (\.g(b) - g(a)) \biggr\rvert < \epsilon \end{split}\] 對任意正實數 $\epsilon$ 皆成立即可。設 $\epsilon$ 為一任意正實數，由定理 4 可知存在 $P = (p_0, p_1, \ldots, p_n) \in \Part(a, b)$ 使得 $U(\.{g\.}', P) - L(\.{g\.}', P) < \epsilon$。由均值定理，可知對每一個 $i \in \{0, 1, \ldots, n-1\}$ 皆能找到一個 $q_i \in (p_i, p_{i+1})$ 使得 \[\begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex} g'(q_i) = \frac{g(p_{i+1}) - g(p_i)}{p_{i+1} - p_i} \period \end{split}\] 由於 \[\begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}g(b) - g(a) &= \sum_{i=0}^{n-1} (\.g(p_{i+1}) - g(p_i)) \\ &= \sum_{i=0}^{n-1} {g\.}'(q_i)(p_{i+1} - p_i) \comma \end{split}\] 我們有 $L(\.{g\.}', P) \leq g(b) - g(a) \leq U(\.{g\.}', P)$，且由 \[\begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}L(\.{g\.}', P) \leq \int_a^b {g\.}' \leq U(\.{g\.}', P) \end{split}\] 可知 \[\begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\biggl\lvert\int_a^b {g\.}' - (g(b) - g(a)) \biggr\rvert \leq U(\.{g\.}', P) - L(\.{g\.}', P) < \epsilon \comma \end{split}\] 故得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

範例 3　設 $f \colon \RR \setminus \{0\} \to \RR$，$f(x) = 1/x^2$。對於 $a > 1$，我們嘗試計算 \[\begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex} \int_1^a f = \int_1^a \frac{1}{x^2}\,\d{x} \end{split}\] 之值。

注意到若我們設 $g \colon \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}$，$g(x) = -1/x$，則我們有 $g' = f$。因而由定理 9（微積分第一基本定理），有 \[\begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\int_1^a f &= \int_1^a g' \\ \rule[-1.3ex]{0pt}{3.8ex}&= g(a) - g(1) \\ \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}&= \biggl(\kern-3mu-\frac{1}{a}\biggr) - (-1) \\ \rule[-2.3ex]{0pt}{5.8ex}&= \frac{a-1}{a} \period \end{split}\]

5.2　第二基本定理

定理 10 說明我們可以利用達布積分製造反導函數。

定理 10（微積分第二基本定理） 設 $A \jcomma B$ 為滿足 $A < B$ 的兩實數，且 $f \colon (\.A,B) \to \RR$ 在所有滿足 $A < a < b < B$ 的閉區間 $[a, b]$ 上均達布可積。設 $c \in (\.A, B)$，並定義 $g \colon (\.A,B) \to \RR$ 滿足 \[\begin{split} g(x) = \begin{cases} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\displaystyle \,{-\kern-2mu\int_x^c f} & \when x \in (\.A,c) \\[4ex] \,0 & \when x = c \\[2ex] \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\displaystyle \int_c^x f & \when x \in (c,B) \\ \end{cases} \quad\period \end{split}\] 此時下列敘述成立：

• (a)函數 $g$ 在 $(\.A,B)$ 上連續。

• (b)對任意 $u \in (\.A,B) \comma$若 $f$ 在 $u$ 連續，則 $g$ 在 $u$ 可微分，且 ${g\.}'(u) = f(u)$。

證明　首先證明 (a)。我們說明 $g$ 在任意滿足 $A < a < b < B$ 的區間 $[a, b]$ 上皆均勻連續。設 $M$ 為一正實數使得 $\lvert\. f(x) \rvert \leq M$ 對所有 $x \in [a, b]$ 皆成立。設 $\epsilon > 0$，則對所有滿足 $0 < q - p <\epsilon/M$ 的 $p, q \in [a, b]$ 皆有 \[\begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\lvert\. g(q) - g(p) \rvert = \biggl\lvert \int_p^q f \biggr\rvert \leq M(q-p) < \epsilon \comma \end{split}\] 即 $g$ 在 $[a, b]$ 上均勻連續。由於 $a, b$ 為任意選取，可知 $g$ 在 $(A, B)$ 上連續。

接著證明 (b)。給定正實數 $\epsilon$，由連續性知存在 $0 < \delta < \min\{u - A, B - u\}$ 使得對所有 $h \in (-\delta, \delta)$ 皆有 $\lvert\. f(u + h) - f(u) \rvert < \epsilon$。對任意 $0 < h < \delta$，有 \[\begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\biggl\lvert\frac{g(u + h) - g(u)}{h} - f(u)\biggr\rvert &= \biggl\lvert \frac{1}{h} \int_u^{u+h} f(t)\,\d{t} - f(u)\biggr\rvert \\ &= \biggl\lvert\frac{1}{h} \int_u^{u+h} (f(t) - f(u))\,\d{t}\biggr\rvert \\ \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}&< \frac{1}{h}(h\epsilon) \\ &=\epsilon \end{split}\] 與 \[\begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\biggl\lvert\frac{g(u - h) - g(u)}{h} - f(u)\biggr\rvert &= \biggl\lvert\frac{-1}{h} \int_{u-h}^u f(t)\,\d{t} - f(u)\biggr\rvert \\ &= \biggl\lvert\frac{-1}{h} \int_{u-h}^u (f(t) - f(u))\,\d{t}\biggr\rvert \\ \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}&< \frac{1}{h}(h\epsilon) \\ &= \epsilon \comma \end{split}\] 故 $g$ 在 $u$ 可微分，且 ${g\.}'(u) = f(u) \period\;\blacksquare$

繼續閱讀

關於變數變換與分部積分，見〈達布積分（四）：積分技巧〉。

參考資料