達布積分（四）：積分技巧

本文著重介紹兩個常用的積分技巧：變數變換（sub­sti­tu­tion）與分部積分（in­te­gra­tion by parts）。

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本系列文著重於介紹達布積分的定義、性質，與基本的積分技巧。

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• 〈達布積分（二）：達布積分的性質〉簡介達布積分的性質。
• 〈達布積分（三）：微積分基本定理〉簡介微積分基本定理。
• 〈達布積分（四）：積分技巧〉簡介變數變換與分部積分。

6　積分技巧

6.1　變數變換

定理 11　設 $a \jcomma b$ 為滿足 $a < b$ 的兩實數，設 $h \colon \RR \to \RR$ 為一可微分函數，其中 $h$ 在 $[a, b]$ 上嚴格遞增，且 $h'$ 在 $[a, b]$ 上達布可積。設 $g \colon [h(a), h(b)] \to \RR$ 為有界，並設 $f \colon [a, b] \to \RR$ 滿足 \[f(x) = g(h(x))\.\.h'(x) \period\] 則 $g$ 在 $[h(a), h(b)]$ 上達布可積若且唯若 $f$ 在 $[a, b]$ 上達布可積；當兩者皆在 $[a, b]$ 上達布可積時，有 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\int_a^b f = \int_{h(a)}^{h(b)} g \period \end{split} \]

證明　注意到 $h$ 的反函數 $h^{-1}$ 存在，且 $h^{-1}$ 在 $[h(a), h(b)]$ 上嚴格遞增。對於任意 $P \in \Part(a, b)$ 與 $Q \in \Part(h(a), h(b))$，若 \[\begin{split} P = (p_0, p_1, \ldots, p_n) \comma \quad Q = (q_0, q_1, \ldots, q_m) \comma \end{split}\] 則我們定義 \[ \begin{array}{rcl} h[P] &=& (h(p_0), h(p_1), \ldots, h(p_n)) \comma \\[1ex] h^{-1}[Q] &=& (h^{-1}(q_0), h^{-1}(q_1), \ldots, h^{-1}(q_m)) \period \end{array} \] 設 $\epsilon$ 為一任意正實數。由定理 4，我們能找到 $P_0 \in \Part(a, b)$ 使 $U(h', P_0) - L(h', P_0)$ 成立。設 $P_1, P_2 \in \Part(a, b)$ 滿足 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}U(f, P_1) \leq \upint_a^b f - \epsilon \quad \text{與} \quad L(f, P_2) \geq \lowint_a^b f + \epsilon \comma \end{split} \] 設 $Q_1, Q_2 \in \Part(c, d)$ 滿足 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}U(g, Q_1) \leq \upint_{h(a)}^{h(b)} g - \epsilon \quad \text{與} \quad U(g, Q_2) \geq \lowint_{h(a)}^{h(b)} g + \epsilon \period \end{split} \] 設 \[ \begin{array}{rcl} \rod{3}{0}P &=& P_0 \cup P_1 \cup P_2 \cup h^{-1}[Q_1] \cup h^{-1}[Q_2] \\[1ex] &=& (p_0, p_1, \ldots, p_n) \comma \\[2ex] Q &=& h[P] \\[1ex] &=& (q_0, q_1, \ldots, q_n) \period \end{array} \] 此時 $U(h', P) - L(h', P) < \epsilon$ 成立，且我們有 \[\begin{split} \begin{array}{lcr} U(f, P) &\leq& \displaystyle\upint_a^b f - \epsilon \;\comma \\[3ex] L(f, P) &\geq& \displaystyle\lowint_a^b f + \epsilon \;\comma \\[3ex] U(g, Q) &\leq& \displaystyle\upint_{h(a)}^{h(b)} g - \epsilon \;\comma \\[3ex] L(g, Q) &\geq& \displaystyle\lowint_{h(a)}^{h(b)} g + \epsilon \;\period \end{array} \end{split}\] 利用均值定理，對每個 $i \in \{0, 1, \ldots, n-1\}$ 我們皆選取一個 $r_i \in (p_i, p_{i+1})$ 使得 \[q_{i+1} - q_i = h'(r_i)(p_{i+1} - p_i) \period\] 設 $M = \sup\bigl\{\lvert g(h(x)) \rvert: x \in [a, b]\bigr\}$。若我們對每個 $i \in \{0, 1, \ldots, n-1\}$ 皆任意選取一個 $s_i \in [p_i, p_{i+1}]$，則由於 \[ \begin{split} \sum_{i=0}^{n-1} \lvert h'(r_i) - h'(s_i) \rvert (p_{i+1} - p_i) &\leq U(h', P) - L(h', P) \\ &< \epsilon \comma \end{split} \] 我們有 \[ \begin{split} \Biggl\lvert \sum_{i=0}^{n-1} g(h(s_i))(q_{i+1} - q_i) - f(s_i)(p_{i+1} - p_i) \Biggr\rvert &\leq \Biggl\lvert \sum_{i=0}^{n-1} g(h(s_i))(h'(r_i) - h'(s_i))(p_{i+1} - p_i) \Biggr\rvert \\ &\leq \sum_{i=0}^{n-1} \bigl\lvert g(h(s_i)) \bigr\rvert \cdot \bigl\lvert h'(r_i) - h'(s_i) \bigr\rvert \cdot (p_{i+1} - p_i) \\ &\leq\rule[-1.8ex]{0pt}{4.8ex} M \epsilon \period \end{split} \] 由此可推得 \[ \begin{array}{lclcl} L(f, P) - M\epsilon &\leq& \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} g(h(s_i))(q_{i+1}-q_i) &\leq& U(f, P) + M \epsilon \comma \\[3ex] L(g, Q) - M\epsilon &\leq& \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} f(s_i)(p_{i+1}-p_i) &\leq& U(g, Q) + M \epsilon \comma \end{array} \] 取上、下確界後，我們有 \[ \begin{split} \lvert U(f, P) - U(g, Q) \rvert \leq M\epsilon \quad \text{與} \quad \lvert L(f, P) - L(g, Q) \rvert \leq M\epsilon \period \end{split} \] 因而 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex} \biggl|\upint_a^b f - \upint_{h(a)}^{h(b)} g\,\biggr| &< (M+1)\epsilon \comma \\ \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex} \biggl|\lowint_a^b f - \lowint_{h(a)}^{h(b)} g\,\biggr| &< (M+1)\epsilon \period \end{split} \] 由於一開始的 $\epsilon$ 為任意選取，故 \[\begin{split} \rod{4}{2.8} \upint_a^b f = \upint_{h(a)}^{h(b)} g \comma \quad \lowint_a^b f = \lowint_{h(a)}^{h(b)} g \period \end{split}\] 至此定理得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

範例 4　對於正實數 $a$，我們利用變數變換計算 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\int_0^a x\exp(x^2)\,\d{x} \end{split} \] 之值。

設 $g \colon [0, a^2] \to \RR$ 與 $h \colon \RR \to \RR$ 分別滿足 $g(x) = \exp x$ 與 $h(x) = x^2$。設 $f \colon [0, a] \to \RR$，其中 $f(x) = g(h(x))h'(x) = 2x\exp(x^2)$。則由定理 11，我們有 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\int_0^a x\exp(x^2)\,\d{x} &= \frac{1}{2} \int_0^a f \\ &= \frac{1}{2} \int_0^{a^2} \mkern-2mu g \\ \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}&= \frac{\exp(a^2) - 1}{2} \period \end{split} \]

範例 5　我們利用變數變換計算 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,\d{x} \end{split} \] 之值。

設 $g \colon [0, 1] \to \RR$ 與 $h \colon \RR \to \RR$ 分別滿足 $g(x) = \sqrt{1-x^2}$ 與 $h(x) = \sin x$。設 $f \colon [0, \pi/2] \to \RR$，其中 \[ \begin{split} \rule[-1.8ex]{0pt}{4.8ex} f(x) = g(h(x))\.h'(x) = ({\!}\cos x)^2 = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \period \end{split} \] 則由定理 11，我們有 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,\d{x} &= \int_0^1 g \\ &= \int_0^{\.\pi/2} \mkern-2mu f \\ \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}&= \frac{\pi}{4} \period \end{split} \]

6.2　分部積分

定理 12 說明若兩函數皆達布可積，則其乘積亦達布可積。定理 13 則稱為分部積分，可以在積分不易直接計算時將其轉換為另一個積分。

定理 12　設 $a \jcomma b$ 為滿足 $a < b$ 的兩實數，且 $f \colon [a, b] \to \RR$ 與 $g \colon [a, b] \to \RR$ 均在 $[a, b]$ 上達布可積。此時下列敘述成立：

證明　首先證明 (a)。設 \[M = \max \bigl\{1,\;\sup\bigl\{\lvert f(x) \rvert: x \in [a, b]\bigr\}\bigr\} \period\] 設 $\epsilon$ 為一任意正實數。由定理 4，我們能找到 $P = (p_0, p_1, \ldots, p_n) \in \Part(a, b)$ 使得 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}U(f, P) - L(f, P) < \frac{\epsilon}{2M} \period \end{split} \] 由於對任意 $x, y \in [a, b]$ 皆有 \[ \begin{split} \rod{3}{1.5}\lvert (f(x))^2 - (f(y))^2 \rvert &= \lvert f(x) + f(y) \rvert \cdot \lvert f(x) - f(y) \rvert \\ \rod{0}{1.5}&\leq (\lvert f(x) \rvert + \lvert f(y) \rvert) \cdot \lvert f(x) - f(y) \rvert \\ &\leq 2M \lvert f(x) - f(y) \rvert \comma \end{split} \] 我們有 \[ \begin{split} \rule[-1.8ex]{0pt}{4.8ex} U(F, P) - L(F, P) \leq 2M(U(f,P) - L(f,P)) < \epsilon \period \end{split} \] 由於 $\epsilon$ 為任意選取，由定理 4 可知 $F$ 在 $[a, b]$ 上達布可積。

接著證明 (b)。設 $F_1 \colon [a, b] \to \RR$ 與 $F_2 \colon [a, b] \to \RR$ 滿足 \[\begin{split} \rule[-1.8ex]{0pt}{4.8ex} F_1(x) &= (f(x) + g(x))^2 \comma \\ F_2(x) &= (f(x) - g(x))^2 \comma \end{split}\] 則我們有 \[\begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}G(x) = \frac{F_1(x) - F_2(x)}{4} \period \end{split}\] 由 (a) 可知 $F_1$ 與 $F_2$ 皆在 $[a, b]$ 上達布可積。因此，$G$ 亦在 $[a, b]$ 上達布可積。至此定理得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

定理 13（分部積分） 設 $I$ 為一開區間，且 $f \colon I \to \RR$ 與 $g \colon I \to \RR$ 皆在 $I$ 上可微分。對任意滿足 $a < b$ 的 $a, b \in I \comma$若 ${f\.}'$ 與 ${g\.}'$ 皆在 $[a, b]$ 上達布可積，則 ${f\.}' \cdot g$ 與 $f \cdot {g\.}'$ 也在 $[a, b]$ 上達布可積，且有 \[\begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\int_a^b (\.{f\.}' \cdot g) = f(b)g(b) - f(a)g(a) - \int_a^b (\.f \cdot {g\.}')\period \end{split}\]

證明　由於 $f$ 與 $g$ 連續，$f$ 與 $g$ 皆在 $[a, b]$ 上達布可積。由定理 12 可知 ${f\.}' \cdot g$ 與 $f \cdot {g\.}'$ 皆在 $[a, b]$ 上達布可積。

此時 $(\.f \cdot g)' = {f\.}' \cdot g + f \cdot {g\.}'$ 亦在 $[a, b]$ 上達布可積，故由定理 9（微積分第一基本定理）可得 \[\begin{split} \rule[-2.8pt]{0pt}{6.8ex}f(b)g(b) - f(a)g(a) = \int_a^b (\.f \cdot g)' = \int_a^b (\.{f\.}' \cdot g) + \int_a^b (\.f \cdot {g\.}') \comma \end{split}\] 因而定理得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

範例 6　對於實數 $a > 1$，我們利用分部積分計算 \[\begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\int_1^a \ln x\,\d{x} \end{split}\] 之值。

定義 $f \colon (0, \infty) \to \RR$ 與 $g \colon (0, \infty) \to \RR$ 滿足 \[\begin{split} f(x) = x \comma \quad g(x) = \ln x \period \end{split}\] 由於此時 ${f\.}'(x) = 1 \comma$且 ${g\.}'(x) = 1/x \comma$故由定理 13（分部積分），我們有 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\int_1^a \ln x\,\d{x} &= \int_1^a (\.{f\.}' \cdot g) \\ &= f(a)g(a) - f(1)g(1) - \int_1^a (\.f \cdot {g\.}'\.) \\ &=\rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex} a \ln a - \int_1^a 1\,\d{x} \\ &=\rule[-1.3ex]{0pt}{3.8ex} a \ln a - a + 1 \period \end{split} \]

參考資料