中間值定理

本文簡介中間值定理（in­ter­me­di­ate value the­o­rem）。

1　中間值定理

定理 1（中間值定理） 設 $a \jcomma b$ 為滿足 $a < b$ 的兩實數，且 $f \colon [a, b] \to \RR$ 為一連續函數。若實數 $u$ 滿足 \[(\.f(a) - u)(\.f(b) - u) < 0 \comma\] 則存在 $c \in (a, b)$ 使得 $f(c) = u$。

證明　我們分成兩種狀況討論。

狀況 1：$f(a) < f(b)$，即 $f(a) < u < f(b)$。設 \[\begin{split}S = \bigl\{x \in [a, b]: f(x) < u\bigr\} \period\end{split}\] 由於 $a \in S \comma$有 $S \neq \varnothing \period$我們設 $c = \sup S \comma$此時 $c \in [a, b] \period$

接著我們建構兩數列 $\seq{p_n}$ 與 $\seq{q_n}$ 如下：

• (1)對每個非負整數 $n \comma$由於 $c$ 是 $S$ 的最小上界，我們能找到 $p_n > c - 2^{-n}$ 滿足 $p_n \in S \period$

• (2)對每個非負整數 $n \comma$設 $q_n = c + \min\bigl\{2^{-n}, b - c\bigr\} \period$注意到此時由於 $b \notin S$ 且 $c + 2^{-n} \notin S \comma$有 $q_n \notin S \period$

此時對所有非負整數 $n$ 均有 \[\begin{split} \rod{4}{0}c - \frac{1}{2^n} \leq p_n \leq c \leq q_n \leq c + \frac{1}{2^n} \comma \end{split}\] 故由夾擠定理可得 \[\begin{split} \lim_{n \to \infty} p_n = c = \lim_{n \to \infty} q_n \period \end{split}\] 由於 $f$ 連續，有 \[\begin{split} \lim_{n \to \infty} f(p_n) = f(c) = \lim_{n \to \infty} f(q_n) \period \end{split}\] 由於對所有非負整數 $n$ 均有 $f(p_n) \leq u \leq f(q_n) \comma$有 \[\begin{split} \lim_{n \to \infty} f(p_n) \leq u \leq \lim_{n \to \infty} f(q_n) \comma \end{split}\] 因而 $f(c) = u$。由於 $f(a) \neq u \neq f(b) \comma$故 $c \in (a, b) \period$

狀況 2：$f(a) > f(b)$，即 $f(a) > u > f(b)$。此時 \[-f(a) < -u < -f(b) \comma\] 故對 $-f$ 套用狀況 1 即能找到 $c \in (a, b)$ 滿足 $-f(c) = -u$，即 $f(c) = u$。至此定理得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

參考資料