勒貝格積分

本文簡介勒貝格積分。

勒貝格積分

設 $(\Omega, \Sigma, \mu)$ 為一測度空間。

博雷爾代數

對任意 $S \subseteq [-\infty, \infty] \comma$ 我們將由 \[\begin{split}\bigl\{[-\infty, \infty] \cap S\bigr\} \cup \bigl\{[-\infty, a) \cap S: a \in \RR \bigr\}\end{split}\] 所生成的希格瑪代數稱作 $S$ 上的博雷爾代數，記作 $\Bor(S) \period$

廣義非負函數

設 $g \colon \Omega \to [0, \infty]$ 對 $(\Sigma, \Bor([0, \infty]))$ 可測。

若 $B_0 \cm B_1, \ldots \cm B_{n-1} \in \Sigma$ 滿足以下條件，則我們稱 $(B_0 \cm B_1, \ldots \cm B_{n-1})$ 為一組 $\Omega$ 在 $\Sigma$ 上的分割：

1. 對任意相異的 $i, j \in \{0 \cm 1, \ldots, n \varminus 1\}$ 均有 $B_i \cap B_j = \varnothing \period$
2. $B_0 \cup B_1 \cup \cdots \cup B_{n-1} = \Omega \period$

我們將所有 $\Omega$ 在 $\Sigma$ 上的分割所構成的集合記作 $\Part(\Omega, \Sigma) \period$

對任意分割 $B = (B_0 \cm B_1, \ldots \cm B_{n-1}) \comma$設 \[\begin{split}L(\.g, \mu, B) = \sum_{i=0}^{n-1} \mu(B_i) \cdot \inf\big\{g(\omega): \omega \in B_i\bigr\} \period\end{split}\]

此時我們定義 \[\begin{split}\int g\,\d{\mu} = \sup\big\{L(\.g, \mu, B): B \in \Part(\Omega, \Sigma)\bigr\} \period\end{split}\]

若 $\int g\,\d{\mu} < \infty \comma$則我們稱 $g$ 在測度空間 $(\Omega, \Sigma, \mu)$ 上勒貝格可積。

廣義實數函數

設 $f \colon \Omega \to [-\infty, \infty]$ 對 $(\Sigma, \Bor([-\infty, \infty]))$ 可測，且我們設 $f_{\!+}, f_{\!-} \colon \Omega \to [0, \infty]$ 為滿足 \[\begin{split} f_{\!+}(\omega) &= \max\,\{\.\.f(\omega), 0\} \jcomma \\ f_{\!-}(\omega) &= \max\,\{{-f(\omega)}, 0\} \end{split}\] 的函數。此時有 $f = f_{\!+} - f_{\!-} \period$

若 $f_{\!+}$ 與 $f_{\!-}$ 之中至少有一個在 $(\Omega, \Sigma, \mu)$ 上勒貝格可積，則我們定義 \[\begin{split}\int f\,\d{\mu} = \int f_{\!+}\,\d{\mu} - \int f_{\!-}\,\d{\mu} \period\end{split}\]

若 $f_{\!+}$ 與 $f_{\!-}$ 均在 $(\Omega, \Sigma, \mu)$ 上勒貝格可積，則我們稱 $f$ 在 $(\Omega, \Sigma, \mu)$ 上勒貝格可積。

參考資料

1. Patrick Billingsley. Probability and measure. John Wiley & Sons, third edition, 1995.