均值定理

本文簡介均值定理（mean value the­o­rem）。

1　均值定理

定理 1（廣義均值定理） 設 $a \jcomma b$ 為兩實數滿足 $a < b \comma$且 $f \colon [a,b] \to \RR$ 與 $g \colon [a,b] \to \RR$ 均為連續函數。若 $f$ 與 $g$ 皆在 $(a, b)$ 上可微分，則存在 $c \in (a, b)$ 使得 \[\begin{split}f'(c)(g(b) - g(a)) = g'(c)(\.f(b) - f(a)) \period\end{split}\]

證明　設 $h \colon [a,b] \to \RR$，其中 \[\begin{split}h(x) = f(x)(g(b) - g(a)) - g(x)(\.f(b)-f(a)) \period\end{split}\] 則 $h$ 連續，在 $(a,b)$ 上可微分，且有 \[h(a) = f(a)g(b) - g(a)f(b) = h(b)\period\] 我們說明存在 $c \in (a,b)$ 使得 $h'(c) = 0$。考慮以下兩種狀況：

狀況 1：對所有 $x \in (a,b)$ 皆有 $h(x) = h(a)$。則 $h'(c) = 0$ 對任意 $c \in (a,b)$ 皆成立。

狀況 2：存在 $x \in (a,b)$ 使得 $h(x) \neq h(a)$。若存在 $x \in (a,b)$ 使得 $h(x) > h(a)$，則我們能找到一個 $c \in (a,b)$ 使得 $h(c)$ 為 $h$ 在 $[a,b]$ 上的最大值，此時 $h'(c) = 0$。同理，若存在 $x \in (a,b)$ 使得 $h(x) < h(a)$，則我們能找到一個 $c \in (a,b)$ 使得 $h(c)$ 為 $h$ 在 $[a,b]$ 上的最小值，此時也有 $h'(c) = 0$。

由此可知我們能找到 $c \in (a,b)$ 使得 \[f'(c)(g(b) - g(a)) - g'(c)(\.f(b) - f(a)) = h'(c) = 0\] 成立，故定理得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

定理 2（均值定理） 設 $a \jcomma b$ 為兩實數滿足 $a < b \comma$且 $f \colon [a,b] \to \RR$ 為連續函數。若 $f$ 在 $(a, b)$ 上可微分，則存在 $c \in (a, b)$ 使得 \[f'(c)(b-a) = f(b) - f(a) \period\]

證明　設 $g \colon [a,b] \to \RR$ 滿足 $g(x) = x \comma$接著套用定理 1（廣義均值定理）即得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

2　羅必達法則

定理 3 稱為羅必達法則（L'Hospital's rule）。

定理 3（羅必達法則） 設 $I$ 為開區間，且 $f \colon I \to \RR$ 與 $g \colon I \to \RR$ 均為可微分函數，其中 $g'(x) \neq 0$ 對任意 $x \in {I \setminus \{a\}}$ 皆成立，且 \[ \begin{split} \hspace{1.5em} \lim_{x \to a} f(x) = 0 &= \lim_{x \to a} g(x) \period \end{split} \] 若存在實數 $L$ 使得 \[ \begin{split} \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} &= L \comma \end{split} \] 則 \[ \begin{split} \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = L \period \end{split} \]

證明　設 $\epsilon$ 為任意正實數。此時我們能找到正實數 $\delta$ 使得 \[ \biggl| \dfrac{f'(x)}{g'(x)} - L \biggr| < \frac{\epsilon}{2} \] 對所有 $x \in I \cap (a-\delta,a+\delta)$ 成立。

若 $x, y \in I \cap (a-\delta,a+\delta)$ 滿足 $x < y$ 與 $(x-a)(\.y-a) > 0 \comma$則由定理 1（廣義均值定理）我們能找到 $z \in (x,y)$ 使得 \[ \begin{split} \frac{f(x) - f(y)}{g(x) - g(y)} = \frac{f'(z)}{g'(z)} \comma \end{split} \] 故 \[\begin{split} \biggl|\frac{f(x) - f(y)}{g(x) - g(y)}-L\biggr| = \biggl|\frac{f'(z)}{g'(z)}-L\biggr| < \frac{\epsilon}{2} \period \end{split}\] 因而對任意 $x \in I \cap {(a-\delta, a+\delta) \setminus \{a\}}$ 皆有 \[\begin{split} \biggl|\frac{f(x)}{g(x)}-L\biggr| = \lim_{y \to a}\,\biggl|\frac{f(x) - f(y)}{g(x) - g(y)}-L\biggr| \leq \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \comma \end{split}\] 故定理得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

範例 1　利用定理 3（羅必達法則）計算 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} \comma \end{split} \] 可以得到 \[ \begin{split} \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}&= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} \\ \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}&= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} \\ &= \frac{1}{2} \period \end{split} \]

參考資料