測度空間

筆記／測度空間

本文簡介測度空間。

$ \gdef\Pow{\operatorname{Pow}} \gdef\Sig{\operatorname{Sigma}} \gdef\Borel{\operatorname{Borel}} $

1　希格瑪代數

設 $\Omega$ 為一集合。我們將 $\Omega$ 的冪集合（即 $\Omega$ 的所有子集所構成的集合）記作 $\Pow(\Omega) \period$

1.1　希格瑪代數

對任意 $\Sigma \subseteq \Pow(\Omega) \comma$若下列敘述成立，則我們稱 $\Sigma$ 為 $\Omega$ 上的希格瑪代數：

  1. $\varnothing \in \Sigma \period$
  2. 對任意 $A \in \Sigma \comma$均有 $\Omega \setminus A \in \Sigma \period$
  3. 對任意 $\Sigma$ 中的集合列 $(A_n)_{n \geq 0} \comma$均有 \[\begin{split}\bigcup_{n \geq 0} A_n \in \Sigma \period\end{split}\]

若 $\Sigma$ 為 $\Omega$ 上的希格瑪代數，則我們稱 $(\Omega, \Sigma)$ 為一可測空間。

範例 1　以下是一些基本的可測空間的例子。

  1. 由於 $\Pow(\Omega)$ 是 $\Omega$ 上的一個希格瑪代數，故 $(\Omega, \Pow(\Omega))$ 是一個可測空間。
  2. 由於 $\{\varnothing, \Omega\}$ 是 $\Omega$ 上的一個希格瑪代數，故 $(\Omega \cm \{\varnothing, \Omega\})$ 是一個可測空間。

以下的定理 1 說明對希格瑪代數中的集合進行基本運算（聯集、交集、差集）後，所得到的集合仍會在希格瑪代數中。

定理 1　設 $\Sigma$ 為 $\Omega$ 上的希格瑪代數，則對任意 $A, B \in \Sigma \comma$下列敘述成立：

  1. $A \cup B \in \Sigma \period$
  2. $A \cap B \in \Sigma \period$
  3. $A \setminus B \in \Sigma \period$

證明　首先證明 (a)：考慮集合列 $A, B, \varnothing, \varnothing, \ldots \comma$根據希格瑪代數的定義我們有 \[\begin{split}A \cup B = A \cup B \cup \varnothing \cup \varnothing \cup \cdots \in \Sigma \period\end{split}\]

接著證明 (b)：根據 (a)，我們有 \[\begin{split}A \cap B = \Omega \setminus ((\Omega \setminus A) \cup (\Omega \setminus B)) \in \Sigma \period\end{split}\]

最後證明 (c)：根據 (b)，我們有 \[\begin{split}A \setminus B = A \cap (\Omega \setminus B) \in \Sigma \period\end{split}\]

故定理得證。

1.2　由集合族生成希格瑪代數

設 $\operatorname{Sigma}(\Omega)$ 為所有 $\Omega$ 上的希格瑪代數所構成的集合。（例如我們有 $\Pow(\Omega) \in \Sig(\Omega) \period \rparen$

對任意 $\Phi \subseteq \Pow(\Omega) \comma$我們稱 \[\begin{split} \Sigma^{\.*} = \bigcap\,\bigl\{\Sigma \in \operatorname{Sigma}(\Omega): \Phi \subseteq \Sigma \bigr\} \end{split}\] 為在 $\Omega$ 上由 $\Phi$ 所生成的希格瑪代數。

範例 2　設 $\Omega = \{0, 1, 2\} \period$此時：

  1. 在 $\Omega$ 上由 $\varnothing$ 所生成的希格瑪代數為 \[\begin{split}\bigl\{\varnothing, \{0, 1, 2\}\bigr\} \period\end{split}\]
  2. 在 $\Omega$ 上由 $\{\{0\}\}$ 所生成的希格瑪代數為 \[\begin{split}\bigl\{\varnothing, \{0\}, \{1, 2\}, \{0, 1, 2\}\bigr\} \period\end{split}\]
  3. 在 $\Omega$ 上由 $\{\{0\}, \{1\}\}$ 所生成的希格瑪代數為 \[\begin{split}&\bigl\{\varnothing, \{0\}, \{1\}, \{2\}, \\ &\hspace{1.8em}\{0, 1\}, \{0, 2\}, \{1, 2\}, \{0, 1, 2\}\bigr\} \period\end{split}\]

1.3　博雷爾代數

對任意滿足 $a < b$ 的實數 $a \jcomma b \comma$我們稱 \[\begin{split}[a, b) = \{x \in \RR: a \leq x < b\}\end{split}\] 為一左閉右開區間。設 $\Phi_0$ 為所有左閉右開區間所構成的集合，此時我們稱在 $\RR$ 上由 $\Phi_0$ 所生成的希格瑪代數為 $\RR$ 上的博雷爾代數，記作 $\Borel(\RR)$。

對任意實數 $c \comma$由於 \[\begin{split}(-\infty, c) &= \bigcup_{n \geq 0} [c - 2^n, c) \comma \\ (c, \infty) &= \bigcup_{n \geq 0} [c + 2^{-n-1}, c + 2^n) \comma\end{split}\] 可知區間 $(-\infty, c)$ 與 $(c, \infty)$ 均在 $\Borel(\RR)$ 中。

因此，對任意滿足 $a < b$ 的實數 $a \jcomma b \comma$由於 \[\begin{split}(a,b) &= (-\infty, b) \cap (a, \infty) \comma \\ [a, b] &= \RR \setminus ((-\infty, a) \cup (b, \infty)) \comma\end{split}\]故開區間 $(a,b)$ 與閉區間 $[a, b]$ 均在 $\Borel(\RR)$ 中。

2　測度空間

2.1　測度

設 $(\Omega, \Sigma)$ 為一可測空間。對任意 $\mu \colon \Sigma \to [0, \infty] \comma$若下列敘述成立，則我們稱 $\mu$ 為 $(\Omega, \Sigma)$ 上的測度：

  1. $\mu(\varnothing) = 0 \period$
  2. 若 $(A_n)_{n \geq 0}$ 是 $\Sigma$ 中的集合列，且對任意相異非負整數 $i \jcomma j$ 均有 $A_i \cap A_j = \varnothing \comma$則 \[\begin{split}\mu\Biggl(\.\bigcup_{n \geq 0} A_n\Biggr) = \sum_{n \geq 0} \mu(A_n) \period\end{split}\]

若 $P$ 為 $(\Omega, \Sigma)$ 上的測度，其滿足 $P(\Omega) = 1 \comma$則我們稱 $P$ 是一個機率測度。

範例 3　設 $\Omega = \{0 \cm 1 \cm 2 \cm \ldots \cm n \varminus 1\} \comma$且 $\Sigma = \Pow(\Omega) \period$

  1. 若 $\mu \colon \Sigma \to [0, \infty]$ 滿足 \[\begin{split}\mu(A) = \lvert A \rvert \comma\end{split}\]則 $\mu$ 是 $(\Omega, \Sigma)$ 上的測度。
  2. 若 $P \colon \Sigma \to [0, 1]$ 滿足 \[\begin{split}P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{n} \comma\end{split}\]則 $P$ 是 $(\Omega, \Sigma)$ 上的機率測度。

範例 4　設 $\Omega$ 為非負整數所構成的集合，且 $\Sigma = \Pow(\Omega) \period$

  1. 若 $\mu \colon \Sigma \to [0, \infty]$ 滿足 \[\begin{split} \mu(A) = \begin{cases} \lvert A \rvert & \when A\ \text{為有限集合} \\ \infty & \when A\ \text{為無限集合} \end{cases} \comma \end{split}\] 則 $\mu$ 是 $(\Omega, \Sigma)$ 上的測度。
  2. 若 $P \colon \Sigma \to [0, 1]$ 滿足 \[\begin{split}P(A) = \sum_{k\in A} \frac{1}{2^{k+1}} \comma\end{split}\]則 $P$ 是 $(\Omega, \Sigma)$ 上的機率測度。

2.2　測度空間

若 $\mu$ 為可測空間 $(\Omega, \Sigma)$ 上的測度，則我們稱 $(\Omega, \Sigma, \mu)$ 為一測度空間。

若 $P$ 為可測空間 $(\Omega, \Sigma)$ 上的機率測度，則我們稱 $(\Omega, \Sigma, P)$ 為一機率空間。

參考資料

  1. Patrick Billingsley. Probability and measure. John Wiley & Sons, third edition, 1995.