冪級數

本文簡介冪級數（power series）的收斂半徑，及其積分、微分的可能性。

1　冪級數的收斂

1.1　方根審斂法

定理 1（方根審斂法） 設 $\seq{a}{n}{1}$ 為一實數數列，且 \[\begin{split} \Bigl(\!\root{n}{\lvert a_n \rvert}\Bigr){\rod{0}{1.35}}_{\mkern-2mun \geq 1} \to M \comma \end{split}\] $M$ 為非負實數。則下列敘述成立：

證明　首先證明 (a)。設 $r = (M+1)/2$。此時有 $M < r < 1$，且存在一正整數 $N$ 使得 $\!\root{n}{\lvert a_n \rvert} < r$ 對所有正整數 $n \geq N$ 皆成立。由於 $\bigl(\sum_{k=1}^n r^k\bigr)_{n \geq 1}$ 收斂，故由比較審斂法可知 $\bigl(\sum_{k=1}^n a_k\bigr)_{n \geq 1}$ 亦收斂。

接著證明 (b)。此時存在一正整數 $N$ 使得 $\!\root{n}{\lvert a_n \rvert} > 1$ 對所有正整數 $n \geq N$ 皆成立。由於 $\seq{a}{n}{1}$ 並沒有收斂至 0，故 $\bigl(\sum_{k=1}^n a_k\bigr)_{n \geq 1}$ 發散。

1.2　冪級數的收斂半徑

定理 2　設 $\seq{a}{n}{1}$ 為一實數數列滿足 \[\begin{split} \Bigl(\!\root{n}{\lvert a_n \rvert}\Bigr){\rod{0}{1.35}}_{\mkern-2mun \geq 1} \to M \comma \end{split}\] 其中 $M$ 為一正實數。則對任意實數 $x \comma$下列敘述成立：

證明　我們有 \[\begin{split} \Bigl(\!\root{n}{\lvert a_nx^n \rvert}\Bigr){\rod{0}{1.35}}_{\mkern-2mun \geq 1} = \Bigl(\!\root{n}{\lvert a_n \rvert}\,\lvert x \rvert\Bigr){\rod{0}{1.35}}_{\mkern-2mun \geq 1} \to M \lvert x \rvert \period \end{split}\]

若 $\lvert x \rvert < 1/M \comma$則 $M\lvert x \rvert < 1$，故由定理 1（方根審斂法）知 $\bigl(\sum_{k=1}^n a_kx^k\bigr)_{n \geq 1}$ 收斂；若 $\lvert x \rvert > 1/M \comma$則 $M\lvert\. x \rvert > 1$，故由定理 1（方根審斂法）知 $\bigl(\sum_{k=1}^n a_kx^k\bigr)_{n \geq 1}$ 發散。定理得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

2　冪級數的微分與積分

2.1　準備工作

定理 3　設 $R$ 為正實數。設 $\seq{a}{n}{0}$ 為一實數數列使得 $\bigl(\sum_{k=1}^n a_kx^k\bigr)_{n \geq 1}$ 對所有 $x \in (-R, R)$ 皆收斂。設 $0 < r < R \comma$並對每個非負整數 $n$，設 $\fsub{n} \colon (-r, r) \to \RR$ 滿足 \[\begin{split}\fsub{n}(x) = a_0 + \sum_{k=1}^n a_kx^k \comma\end{split}\] 則 $\seqn{\.\fsub{n}}$ 均勻收斂至一連續函數。

證明　由於對任意正整數 $k$ 與任意 $x \in (-r, r)$ 均有 \[ \lvert a_kx^k \rvert < \lvert a_k \rvert r^k \comma \] 且 $\bigl(\sum_{k=1}^n \lvert a_k \rvert r^k\bigr)_{n \geq 1}$ 收斂，故利用魏爾施特拉斯判別法可知 $\seqn{\.\fsub{n}}$ 均勻收斂至一函數 $F$。由於 $\fsub{n}$ 對任意非負整數 $n$ 均連續，故 $F$ 連續。

定理 4　設 $\seqn{a_n}$ 為一實數數列使得 $\bigl(\sum_{k=1}^n a_kx^k\bigr)_{n \geq 1}$ 對所有 $x \in (-R, R)$ 皆收斂，其中 $R$ 為正實數。則 \[\begin{split} \Biggl(\sum_{k=2}^n ka_kx^{k-1}\Biggr)_{\mkern-4mun \geq 2} \end{split}\] 對任意 $x \in (-R, R)$ 皆收斂。

證明　當 $x = 0$ 時， \[\begin{split} \Biggl(\sum_{k=2}^n ka_kx^{k-1}\Biggr)_{\mkern-4mun \geq 2}\mkern-5mu = (0)_{n \geq 2} \to 0 \comma \end{split}\] 故我們考慮 $x \neq 0$ 的狀況即可。由於 \[\begin{split} \bigl(\!\root{n}{n}\mkern2mu\bigr){\rod{0}{0.6}}_{n \geq 1}\to 1 \comma \end{split}\] 我們有 \[\begin{split} \limsup_{n \to \infty} \root{n}{\lvert na_nx^n\rvert} &= \lvert x \rvert \cdot \limsup_{n \to \infty} \root{n}{\lvert a_n\rvert} \\ &\leq \frac{\lvert x \rvert}{R} \\[2ex] &< 1 \comma \end{split}\] 因而 $\bigl(\sum_{k=1}^n ka_kx^k\bigr)_{n \geq 1}$ 收斂。由於 $x \neq 0 \comma$故 \[\begin{split} \Biggl(\sum_{k=2}^n ka_kx^{k-1}\Biggr)_{\mkern-4mun \geq 2}\mkern-5mu = \Biggl(\frac{1}{x}\sum_{k=2}^n ka_kx^k\Biggr)_{\mkern-4mun \geq 2} \end{split}\] 收斂。定理得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

2.2　積分

定理 5　設 $\seqn{a_n}$ 為一實數數列使得 $\sum_{n\geq1} a_nx^n$ 對所有 $x \in (-R, R)$ 皆收斂，其中 $R$ 為正實數。設 $f \colon (-R,R) \to \RR$ 滿足 \[f(x) = a_0 + \sum_{n\geq1} a_nx^n \comma\] 則對任意 $c \in (0,R)$，$f$ 在 $[0,c]$ 與 $[-c,0]$ 上皆達布可積，且 \[ \begin{split} \int_0^c f &= \sum_{n\geq0} \frac{a_n}{n+1}c^{n+1} \comma \\ -\int_{-c}^0 f &= \sum_{n\geq0} \frac{a_n}{n+1}(-c)^{n+1} \period \end{split} \]

證明　設 $r = (c+R)/2$。對所有非負整數 $n$，設 $\fsub{n} \colon (-r, r) \to \RR$ 與 $g_n \colon (-r, r) \to \RR$ 滿足 \[ \begin{split} \fsub{n}(x) &= a_0 + \sum_{k=1}^n a_kx^k \comma \\ g_n(x) &= \sum_{k=0}^n \frac{a_k}{k+1}x^{k+1} \comma \end{split} \] 我們有 $g_n^{\.\prime} = \fsub{n}$。由定理 3 知 $\seqn{\.\fsub{n}}$ 均勻收斂至 $f|_{(-r,r)}$，且 $f$ 連續。故 $f$ 在 $[0,c]$ 與 $[-c,0]$ 上皆達布可積，且有 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\int_0^c f &= \lim_{n \to \infty} \int_0^c \fsub{n} \\ &= \lim_{n \to \infty} (g_n(c) - g_n(0)) \\ &= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{a_k}{k+1} c^{k+1} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}c^{n+1} \end{split} \] 與 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}-\int_{-c}^0 f &= \lim_{n \to \infty} -\int_{-c}^0 \fsub{n} \\ &= \lim_{n \to \infty} (g_n(-c) - g_n(0)) \\ &= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{a_k}{k+1} (-c)^{k+1} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(-c)^{n+1} \period \end{split} \]

2.3　微分

定理 6　設 $\seqn{a_n}$ 為一實數數列使得 $\sum_{n\geq1} a_nx^n$ 對所有 $x \in (-R, R)$ 皆收斂，其中 $R$ 為正實數。設 $f \colon (-R,R) \to \RR$ 滿足 \[f(x) = a_0 + \sum_{n\geq1} a_nx^n \comma\] 則 $f$ 可微分，有 \[\begin{split} f'(x) = a_1 + \sum_{n\geq2} na_nx^{n-1} \period \end{split}\]

證明　設 $g \colon (-R,R) \to \RR$，其中 \[\begin{split} g(x) &= a_1 + \sum_{n\geq2} na_nx^{n-1} \\ &= a_1 + \sum_{n\geq1} (n+1)a_{n+1}x^n \period \end{split}\] 定理 4 保證 $\sum_{n\geq2} na_nx^{n-1}$ 對所有 $x \in (-R,R)$ 收斂。由定理 5，對任意 $0 < c < R$ 我們有 \[\begin{split} \rod{4}{0} \int_0^c g &= \sum_{n\geq0} a_{n+1}c^{n+1} \\ &= \sum_{n\geq1} a_nc^n \\[3ex] &= f(c) - a_0 \end{split}\] 與 \[\begin{split} \rod{4}{0} {-\int_{-c}^0 g} &= \sum_{n\geq0} a_{n+1}(-c)^{n+1} \\ &= \sum_{n\geq1} a_n(-c)^n \\[3ex] &= f(-c) - a_0 \comma \end{split}\] 即對任意 $x \in (-R,R)$ 有 \[ \begin{split} f(x) - a_0 = \begin{cases} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\displaystyle \,{-\int_x^0 g} & \when {-R} < x < 0 \\[3ex] \,0 & \when x = 0 \\[1ex] \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\displaystyle \int_0^x g & \when 0 < x < R \\ \end{cases} \quad\period \end{split} \] 故由〈達布積分（三）：微積分基本定理〉中的微積分第二基本定理可知 $f' = g$。

參考資料