冪級數

本文簡介冪級數（power series）的收斂半徑，及其積分、微分的可能性。

1　冪級數的收斂

1.1　方根審斂法

定理 1（方根審斂法） 設 $(a_n{)}_{n\ge 1}$ 為一實數數列，且 $$\begin{array}{r}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right){}_{n\ge 1}\to M\text{，}\end{array}$$ $M$ 為非負實數。則下列敘述成立：

證明　首先證明 (a)。設 $r=(M+1)/2$。此時有 $M<r<1$，且存在一正整數 $N$ 使得 $\sqrt[n]{|a_n|}<r$ 對所有正整數 $n\ge N$ 皆成立。由於 $({\sum }_{k=1}^n{r}^k{)}_{n\ge 1}$ 收斂，故由比較審斂法可知 $({\sum }_{k=1}^n{a}_k{)}_{n\ge 1}$ 亦收斂。

接著證明 (b)。此時存在一正整數 $N$ 使得 $\sqrt[n]{|a_n|}>1$ 對所有正整數 $n\ge N$ 皆成立。由於 $(a_n{)}_{n\ge 1}$ 並沒有收斂至 0，故 $({\sum }_{k=1}^n{a}_k{)}_{n\ge 1}$ 發散。

1.2　冪級數的收斂半徑

定理 2　設 $(a_n{)}_{n\ge 1}$ 為一實數數列滿足 $$\begin{array}{r}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right){}_{n\ge 1}\to M\text{，}\end{array}$$ 其中 $M$ 為一正實數。則對任意實數 $x\text{，}$下列敘述成立：

證明　我們有 $$\begin{array}{r}\left(\sqrt[n]{|a_n{x}^n|}\right){}_{n\ge 1}=(\sqrt[n]{|a_n|}|x|){}_{n\ge 1}\to M|x|\text{。}\end{array}$$

若 $|x|<1/M\text{，}$則 $M|x|<1$，故由定理 1（方根審斂法）知 $({\sum }_{k=1}^n{a}_k{x}^k{)}_{n\ge 1}$ 收斂；若 $|x|>1/M\text{，}$則 $M|x|>1$，故由定理 1（方根審斂法）知 $({\sum }_{k=1}^n{a}_k{x}^k{)}_{n\ge 1}$ 發散。定理得證。

2　冪級數的微分與積分

2.1　準備工作

定理 3　設 $R$ 為正實數。設 $(a_n{)}_{n\ge 0}$ 為一實數數列使得 $({\sum }_{k=1}^n{a}_k{x}^k{)}_{n\ge 1}$ 對所有 $x\in (-R,R)$ 皆收斂。設 $0<r<R\text{，}$並對每個非負整數 $n$，設 $f_n:(-r,r)\to \mathbb{R}$ 滿足 $$\begin{array}{r}{f}_n(x)=a_0+\sum _{k=1}^n{a}_k{x}^k\text{，}\end{array}$$ 則 $(f_n{)}_{n\ge 0}$ 均勻收斂至一連續函數。

證明　由於對任意正整數 $k$ 與任意 $x\in (-r,r)$ 均有 $$|a_k{x}^k|<|a_k|r^k\text{，}$$ 且 $({\sum }_{k=1}^n|a_k|r^k{)}_{n\ge 1}$ 收斂，故利用魏爾施特拉斯判別法可知 $(f_n{)}_{n\ge 0}$ 均勻收斂至一函數 $F$。由於 $f_n$ 對任意非負整數 $n$ 均連續，故 $F$ 連續。

定理 4　設 $(a_n{)}_{n\ge 0}$ 為一實數數列使得 $({\sum }_{k=1}^n{a}_k{x}^k{)}_{n\ge 1}$ 對所有 $x\in (-R,R)$ 皆收斂，其中 $R$ 為正實數。則 $$\begin{array}{r}(\sum _{k=2}^{n}k{a}_k{x}^{k-1}{)}_{n\ge 2}\end{array}$$ 對任意 $x\in (-R,R)$ 皆收斂。

證明　當 $x=0$ 時， $$\begin{array}{r}(\sum _{k=2}^{n}k{a}_k{x}^{k-1}{)}_{n\ge 2}=(0{)}_{n\ge 2}\to 0\text{，}\end{array}$$ 故我們考慮 $x\ne 0$ 的狀況即可。由於 $$\begin{array}{r}\left(\sqrt[n]{n}\right){}_{n\ge 1}\to 1\text{，}\end{array}$$ 我們有 $$\begin{array}{rl}\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\sqrt[n]{|n{a}_n{x}^n|}& =|x|\cdot \underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\sqrt[n]{|a_n|}\\ & \le \frac{|x|}{R}\\ & <1\text{，}\end{array}$$ 因而 $({\sum }_{k=1}^{n}k{a}_k{x}^k{)}_{n\ge 1}$ 收斂。由於 $x\ne 0\text{，}$故 $$\begin{array}{r}(\sum _{k=2}^{n}k{a}_k{x}^{k-1}{)}_{n\ge 2}=(\frac{1}{x}\sum _{k=2}^{n}k{a}_k{x}^k{)}_{n\ge 2}\end{array}$$ 收斂。定理得證。

2.2　積分

定理 5　設 $(a_n{)}_{n\ge 0}$ 為一實數數列使得 ${\sum }_{n\ge 1}{a}_n{x}^n$ 對所有 $x\in (-R,R)$ 皆收斂，其中 $R$ 為正實數。設 $f:(-R,R)\to \mathbb{R}$ 滿足 $$f(x)=a_0+\sum _{n\ge 1}{a}_n{x}^n\text{，}$$ 則對任意 $c\in (0,R)$，$f$ 在 $[0,c]$ 與 $[-c,0]$ 上皆達布可積，且 $$\begin{array}{rl}{\int }_0^{c}f& =\sum _{n\ge 0}\frac{a_n}{n+1}{c}^{n+1}\text{，}\\ -{\int }_{-c}^{0}f& =\sum _{n\ge 0}\frac{a_n}{n+1}(-c{)}^{n+1}\text{。}\end{array}$$

證明　設 $r=(c+R)/2$。對所有非負整數 $n$，設 $f_n:(-r,r)\to \mathbb{R}$ 與 $g_n:(-r,r)\to \mathbb{R}$ 滿足 $$\begin{array}{rl}{f}_n(x)& =a_0+\sum _{k=1}^n{a}_k{x}^k\text{，}\\ g_n(x)& =\sum _{k=0}^n\frac{a_k}{k+1}{x}^{k+1}\text{，}\end{array}$$ 我們有 $g_n^{\prime }=f_n$。由定理 3 知 $(f_n{)}_{n\ge 0}$ 均勻收斂至 $f{|}_{(-r,r)}$，且 $f$ 連續。故 $f$ 在 $[0,c]$ 與 $[-c,0]$ 上皆達布可積，且有 $$\begin{array}{rl}{\int }_0^{c}f& =\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^c{f}_n\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }(g_n(c)-g_n(0))\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=0}^n\frac{a_k}{k+1}{c}^{k+1}\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{n+1}{c}^{n+1}\end{array}$$ 與 $$\begin{array}{rl}-{\int }_{-c}^{0}f& =\underset{n\to \infty }{\lim }-{\int }_{-c}^0{f}_n\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }(g_n(-c)-g_n(0))\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=0}^n\frac{a_k}{k+1}(-c{)}^{k+1}\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{n+1}(-c{)}^{n+1}\text{。}\end{array}$$

2.3　微分

定理 6　設 $(a_n{)}_{n\ge 0}$ 為一實數數列使得 ${\sum }_{n\ge 1}{a}_n{x}^n$ 對所有 $x\in (-R,R)$ 皆收斂，其中 $R$ 為正實數。設 $f:(-R,R)\to \mathbb{R}$ 滿足 $$f(x)=a_0+\sum _{n\ge 1}{a}_n{x}^n\text{，}$$ 則 $f$ 可微分，有 $$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(x)=a_1+\sum _{n\ge 2}n{a}_n{x}^{n-1}\text{。}\end{array}$$

證明　設 $g:(-R,R)\to \mathbb{R}$，其中 $$\begin{array}{rl}g(x)& =a_1+\sum _{n\ge 2}n{a}_n{x}^{n-1}\\ & =a_1+\sum _{n\ge 1}(n+1)a_{n+1}{x}^n\text{。}\end{array}$$ 定理 4 保證 ${\sum }_{n\ge 2}n{a}_n{x}^{n-1}$ 對所有 $x\in (-R,R)$ 收斂。由定理 5，對任意 $0<c<R$ 我們有 $$\begin{array}{rl}{\int }_0^{c}g& =\sum _{n\ge 0}{a}_{n+1}{c}^{n+1}\\ & =\sum _{n\ge 1}{a}_n{c}^n\\ & =f(c)-a_0\end{array}$$ 與 $$\begin{array}{rl}-{\int }_{-c}^{0}g& =\sum _{n\ge 0}{a}_{n+1}(-c{)}^{n+1}\\ & =\sum _{n\ge 1}{a}_n(-c{)}^n\\ & =f(-c)-a_0\text{，}\end{array}$$ 即對任意 $x\in (-R,R)$ 有 $$\begin{array}{r}f(x)-a_0=\{\begin{array}{ll}-{\int }_x^{0}g& \text{當}-R<x<0\\ 0& \text{當}x=0\\ {\int }_0^{x}g& \text{當}0<x<R\end{array}\text{。}\end{array}$$ 故由〈達布積分（三）：微積分基本定理〉中的微積分第二基本定理可知 $f^{\prime }=g$。

參考資料