隨機變數

本文簡介隨機變數。

1　術語

1.1　可測函數

設 $(\Omega, \Sigma)$ 與 $(\Omega', \Sigma')$ 為可測空間，並設 $X \colon \Omega \to \Omega'$ 為一函數。

若對所有 $E \in \Sigma'$ 均有 $X^{-1}[E] \in \Sigma \comma$則我們稱 $X$ 對 $(\Sigma, \Sigma')$ 可測。

1.2　實數值隨機變數

設 $\Sigma'$ 為 $\RR$ 上的博雷爾代數。

對任意機率空間 $(\Omega, \Sigma, P) \comma$若 $X \colon \Omega \to \RR$ 對 $(\Sigma, \Sigma')$ 可測，則我們稱 $X$ 為 $(\Omega, \Sigma)$ 上的實數值隨機變數。

1.3　分布

設 $(\Omega, \Sigma, P)$ 是一個機率空間，且 $X$ 為 $(\Omega, \Sigma)$ 上的一個實數值隨機變數。

我們定義 $X$ 相對於機率測度 $P$ 的分布是一個機率測度 $\mu \comma$滿足 \[\begin{split}\mu(E) = P(X^{-1}[E]) \period\end{split}\]

2　例子

以下均假設 $(\Omega, \Sigma, P)$ 是一個機率空間，並設 $X$ 是 $(\Omega, \Sigma)$ 上的一個實數值隨機變數。

範例 1　設 $0 \leq p \leq 1 \period$

假設 $X$ 相對於 $P$ 的分布為 $\mu \comma$其滿足 \[\begin{split} \mu(E) = \iverson{0 \in E} (1-p) + \iverson{1 \in E} p \period \end{split}\] 則我們稱 $X$ 是一個成功率為 $p$ 的伯努利隨機變數。

範例 2　設 $n$ 為正整數，並設 $0 \leq p \leq 1 \period$

假設 $X$ 相對於 $P$ 的分布為 $\mu \comma$其滿足 \[\begin{split} \mu(E) = \sum_{k=0}^n \iverson{k \in E} \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \period \end{split}\] 則我們稱 $X$ 是一個試驗次數為 $n \jcomma$成功率為 $p$ 的二項式隨機變數。

參考資料

1. Patrick Billingsley. Probability and measure. John Wiley & Sons, third edition, 1995.