隨機變數

本文簡介隨機變數的基本概念。

1　術語

1.1　可測函數

設 $(\Omega, \Sigma)$ 與 $(\Omega', \Sigma')$ 為可測空間，並設 $X \colon \Omega \to \Omega'$ 為一函數。

若對所有 $A \in \Sigma'$ 均有 $X^{-1}[A] \in \Sigma \comma$則我們稱 $X$ 對 $(\Sigma, \Sigma')$ 可測。

1.2　實數值隨機變數

設 $\Borel(\RR)$ 為 $\RR$ 上的博雷爾代數。

對任意機率空間 $(\Omega, \Sigma, P) \comma$若 $X \colon \Omega \to \RR$ 對 $(\Sigma, \Borel(\RR))$ 可測，則我們稱 $X$ 為 $(\Omega, \Sigma)$ 上的實數值隨機變數。

1.3　分布

設 $(\Omega, \Sigma, P)$ 是一個機率空間，且 $X$ 為 $(\Omega, \Sigma)$ 上的一個實數值隨機變數。

我們定義 $X$ 相對於機率測度 $P$ 的分布是一個機率測度 $\mu \comma$滿足 \[\begin{split}\mu(A) = P(X^{-1}[A]) \period\end{split}\]

2　例子

以下均假設 $(\Omega, \Sigma, P)$ 是一個機率空間，並設 $X$ 是 $(\Omega, \Sigma)$ 上的一個實數值隨機變數。

對任意條件 $\phi \comma$設 \[\begin{split}\iverson{\phi} = \begin{cases} 1 & \when \phi\ \text{成立} \\ 0 & \when \phi\ \text{不成立} \end{cases} \period\end{split}\]

對任意實數 $a$ 與正實數 $n \comma$設 $a \bmod n = a - n \lfloor a / n \rfloor \period$

2.1　伯努利隨機變數

設 $0 \leq p \leq 1 \period$

假設 $X$ 相對於 $P$ 的分布為 $\mu \comma$其對任意 $A \in \Sigma$ 滿足 \[\begin{split} \mu(A) = \iverson{0 \in A} (1-p) + \iverson{1 \in A} p \period \end{split}\] 則我們稱 $X$ 是一個成功率為 $p$ 的伯努利隨機變數。

範例 1　考慮 $\Omega = [0, 1) \comma \Sigma = \Borel(\Omega) \comma$且 $P$ 為 $(\Omega, \Sigma)$ 上的勒貝格測度，則由 \[\begin{split}X(\omega) = \iverson{2\omega \geq 1}\end{split}\] 所定義的 $X \colon \Omega \to \RR$ 即為成功率 $1/2$ 的伯努利隨機變數。

2.2　二項隨機變數

設 $n$ 為正整數，並設 $0 \leq p \leq 1 \period$

假設 $X$ 相對於 $P$ 的分布為 $\mu \comma$其對任意 $A \in \Sigma$ 滿足 \[\begin{split} \mu(A) = \sum_{k=0}^n \iverson{k \in A} \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \period \end{split}\] 則我們稱 $X$ 是一個試驗次數為 $n \jcomma$成功率為 $p$ 的二項隨機變數。

範例 2　考慮 $\Omega = [0, 1) \comma \Sigma = \Borel(\Omega) \comma$且 $P$ 為 $(\Omega, \Sigma)$ 上的勒貝格測度，則由 \[\begin{split}X(\omega) = \sum_{k=0}^{n-1} \iverson{(2^{k+1} \omega \bmod 2) \geq 1}\end{split}\] 所定義的 $X \colon \Omega \to \RR$ 即為試驗次數 $n \jcomma$成功率 $1/2$ 的二項隨機變數。

參考資料

1. Patrick Billingsley. Probability and measure. John Wiley & Sons, third edition, 1995.