以切表弦

筆記／以切表弦

本文簡介以切表弦公式，也稱為正切半角公式、萬能公式。

$ \gdef\d{\mathrm{d}} $

1　以切表弦

定理 1　對任意實數 $x \comma$若 $\cos x \neq 0 \comma$則 \[\begin{split} \sin (2x) &= \frac{2 \tan x}{1 + (\tan x)^2} \comma \\[2ex] \cos (2x) &= \frac{1 - (\tan x)^2}{1 + (\tan x)^2} \period \end{split}\]

證明　首先注意到我們有 \[\begin{split} \rod{4}{0}\frac{1}{1 + (\tan x)^2} &= \frac{(\cos x)^2}{(\cos x)^2 + (\sin x)^2} \\[2ex] &= (\cos x)^2 \period \end{split}\] 因此，有 \[\begin{split} \sin (2x) &= 2 \sin x \cos x \\ &= 2 \tan x (\cos x)^2 \\ &= \frac{2 \tan x}{1 + (\tan x)^2} \end{split}\] 與 \[\begin{split} \rod{3}{0}\cos (2x) &= (\cos x)^2 - (\sin x)^2 \\ &= (\cos x)^2(1 - (\tan x)^2) \\ &= \frac{1 - (\tan x)^2}{1 + (\tan x)^2} \comma \end{split}\] 定理得證。

2　應用

範例 1　設 $0 < a < \pi \comma$我們嘗試計算 \[\begin{split} \rod{4}{0}\int_0^a \frac{1}{1 + \sin x} \d{x} \period \end{split}\] 設 $h \colon (-\pi, \pi) \to \RR$ 滿足 $h(x) = \tan (x/2) \comma$我們有 \[\begin{split} \rod{4}{0}h'(x) = \frac{1}{2(\cos (x/2))^2} = \frac{(h(x))^2 + 1}{2} \period \end{split}\] 根據定理 1， \[\begin{split} \rod{4}{0}\sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1 + (\tan (x/2))^2} \comma \end{split}\] 因而 \[\begin{split} \rod{4}{0}&\int_0^a (1 + \sin x)^{-1} \d{x} \\[2ex] &= \int_0^a \biggl(1 + \frac{2h(x)}{1+h(x)^2}\biggr)^{\mkern-6mu-1} \d{x} \\[2ex] &= \int_0^a \frac{1+(h(x))^2}{1+2h(x)+(h(x))^2} \d{x} \\[2ex] &= \int_0^{h(a)} \frac{2}{1+2u+u^2} \d{u} \\[2ex] &= \int_0^{h(a)} \frac{2}{(1+u)^2} \d{u} \\[2ex] &= \frac{-2}{1+h(a)} - (-2) \\[2ex] &= \frac{2 \tan(a/2)}{1+\tan(a/2)} \period \\ \end{split}\]

備註　我們也有另外一種作法： \[\begin{split} \rod{4}{0}\int_0^a \frac{1}{1 \varplus \sin x} \d{x} &= \int_0^a \frac{1 - \sin x}{(1 \varplus {\sin x})(1 \varminus {\sin x})} \d{x} \\[2ex] &= \int_0^a \frac{1 - \sin x}{(\cos x)^2} \d{x} \\[2ex] &= \int_0^a \biggl(\frac{1}{(\cos x)^2} - \frac{\tan x}{\cos x}\biggr) \d{x} \\[2ex] &= \tan a - \biggl(\frac{1}{\cos a} - 1\biggr) \\[2ex] &= \frac{\sin a + \cos a - 1}{\cos a} \period \end{split}\] 利用定理 1 可以驗證這兩個結果相等。