利用冪級數建造函數（二）：正弦與餘弦函數

本文簡介如何以冪級數定義正弦、餘弦函數，並同時定義圓周率 $\pi$ 的值。

$ \gdef\d{\mathrm{d}} \gdef\rod#1#2{\rule[0ex]{0pt}{#1ex}\rule[-#2ex]{0pt}{1ex}} $ 以下我們約定對任意 $x \in \RR$ 皆有 $x^0 = 1$（即我們有 $0^0 = 1$）。

1　正弦與餘弦函數

1.1　定義

設函數 $S \colon \RR \to \RR$ 與 $C \colon \RR \to \RR$ 滿足 \[\begin{split} \rod{4}{0} S(x) = \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} \comma \quad C(x) = 1 + \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} \period \end{split}\] 通常我們稱函數 $S$ 為正弦函數，稱函數 $C$ 為餘弦函數；對任意 $x \in \RR \comma$我們一般記 \[\begin{split} \sin x = S(x) \comma \quad \cos x = C(x) \period \end{split}\]

1.2　性質

定理 1　對任意 $x, y \in \mathbb{R}$，有 \[ \begin{split} S(x+y) &= S(x)C(y) + C(x)S(y) \comma \\ C(x+y) &= C(x)C(y) - S(x)S(y) \period \\ \end{split} \]

證明　我們有 \[\begin{split} S(x)C(y) &= \Biggl(\sum_{n\geq0} \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}\Biggl)\Biggl(1 + \sum_{m\geq1} \frac{(-1)^my^{2m}}{(2m)!}\Biggl) \\ &= \sum_{n\geq0} \Biggl(\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} + \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}\,\frac{(-1)^{n-k}y^{2(n-k)}}{(2(n-k))!}\Biggr) \\ &= \sum_{n\geq0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \Biggl(x^{2n+1} + \sum_{k=0}^{n-1} \binom{2n+1}{2k+1}x^{2k+1}y^{2n-2k}\Biggr) \end{split}\] 與 \[\begin{split} C(x)S(y) &= \Biggl(1 + \sum_{n\geq1} \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}\Biggl)\Biggl(\sum_{m\geq0} \frac{(-1)^my^{2m+1}}{(2m+1)!}\Biggl) \\ &= \sum_{n\geq0}\Biggl(\frac{(-1)^ny^{2n+1}}{(2n+1)!} + \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}\,\frac{(-1)^{n-k}y^{2(n-k)+1}}{(2(n-k)+1)!}\Biggr) \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \Biggl(y^{2n+1} + \sum_{k=1}^n \binom{2n+1}{2k}x^{2k}y^{2n-2k+1}\Biggr) \comma \end{split}\] 因而 \[\begin{split} S(x)C(y) + C(x)S(y) &= \sum_{n\geq0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \Biggl(x^{2n+1}+y^{2n+1}+\sum_{j=1}^{2n} \binom{2n+1}{j} x^jy^{2n+1-j}\Biggr) \\ &= \sum_{n\geq0} \frac{(-1)^n(x+y)^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ &= S(x + y) \period \end{split}\]

另一方面，我們有 \[\begin{split} C(x)C(y) &= \Biggl(1 + \sum_{n\geq1} \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}\Biggl)\Biggl(1 + \sum_{m\geq1} \frac{(-1)^my^{2m}}{(2m)!}\Biggl) \\ &= 1 + \sum_{n\geq1}\Biggl(\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} + \frac{(-1)^ny^{2n}}{(2n)!} + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}\,\frac{(-1)^{n-k}y^{2(n-k)}}{(2(n-k))!}\Biggr) \\ &= 1 + \sum_{n\geq1} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \Biggl(x^{2n}+y^{2n}+\sum_{k=1}^{n-1} \binom{2n}{2k}x^{2k}y^{2n-2k}\Biggr) \end{split}\] 與 \[\begin{split} S(x)S(y) &= \Biggl(\sum_{n\geq0} \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}\Biggl)\Biggl(\sum_{m\geq0} \frac{(-1)^my^{2m+1}}{(2m+1)!}\Biggl) \\ &= \sum_{n\geq0} \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}\,\frac{(-1)^{n-k}y^{2(n-k)+1}}{(2(n-k)+1)!} \\ &= \sum_{n\geq0} \frac{(-1)^n}{(2n+2)!} \sum_{k=0}^n \binom{2n+2}{2k+1}x^{2k+1}y^{2n-2k+1} \\ &= \sum_{n\geq1} \frac{-(-1)^n}{(2n)!} \sum_{k=0}^{n-1} \binom{2n}{2k+1}x^{2k+1}y^{2n-2k-1} \comma \end{split}\] 故 \[\begin{split} C(x)C(y) - S(x)S(y) &= 1 + \sum_{n\geq1} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \Biggl(x^{2n}+y^{2n}+\sum_{j=1}^{2n-1} \binom{2n}{j} x^jy^{2n-j}\Biggr) \\ &= 1 + \sum_{n\geq1} \frac{(-1)^n(x+y)^{2n}}{(2n)!} \\ &= C(x + y) \period \end{split}\]

定理 2　對任意 $x \in \mathbb{R}$，有 $(S(x))^2 + (C(x))^2 = 1$。

證明　我們有 \[\begin{split} (S(x))^2 &= \Biggl(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}\Biggl)\Biggl(\sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^mx^{2m+1}}{(2m+1)!}\Biggl) \\ &= \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}\,\frac{(-1)^{n-k}x^{2(n-k)+1}}{(2(n-k)+1)!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+2}}{(2n+2)!} \sum_{k=0}^n \binom{2n+2}{2k+1} \\ &= \sum_{n=1}^\infty \frac{-(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} \sum_{k=0}^{n-1} \binom{2n}{2k+1} \\ \end{split}\] 與 \[\begin{split} (C(x))^2 &= \Biggl(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}\Biggl)\Biggl(\sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^mx^{2m}}{(2m)!}\Biggl) \\ &= \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}\,\frac{(-1)^{n-k}x^{2(n-k)}}{(2(n-k))!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} \sum_{k=0}^n \binom{2n}{2k} \\ &= 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} \sum_{k=0}^n \binom{2n}{2k} \period \end{split}\] 由於 \[\begin{split}\sum_{k=0}^n \binom{2n}{2k} = 2^{2n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{2n}{2k+1}\end{split}\] 對任意正整數 $n$ 皆成立，故 \[\begin{split} \rule[-1.3ex]{0pt}{3.8ex}(S(x))^2 + (C(x))^2 = 1 \period \end{split}\]

定理 3　$S$ 與 $C$ 在 $\RR$ 上可微分，有 $S' = C$ 與 ${C\.}' = -S$。

證明　利用冪級數的微分（可參見〈冪級數〉中的定理 6），有 \[\begin{split} \rod{4}{0}S'(x) &= \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n(2n+1)x^{2n}}{(2n+1)!} \\ &= \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} \\[3ex] &= C(x) \end{split}\] 與 \[\begin{split} \rod{4}{0}{C\.}'(x) &= \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^n(2n)x^{2n-1}}{(2n)!} \\ &= \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^nx^{2n-1}}{(2n-1)!} \\ &= \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^{n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ \rule[-1.3ex]{0pt}{3.8ex}&= -S(x) \period \end{split}\]

定理 4　存在一正實數 $r$ 使得 $C(r) = 0$，且 $C(x) > 0$ 對所有 $x \in (0, r)$ 皆成立。

證明　設 $R = \bigl\{x \in (0, \infty): C(x) \leq 0\bigr\}$。以下我們說明 $R \neq \varnothing$，並說明 $r = \inf R$ 可使定理成立。

首先假設 $R = \varnothing$。此時對所有 $x > 0$ 皆有 $S'(x) = C(x) > 0$，故 $S(x) > S(1)$ 對所有 $x > 1$ 均成立。由此可得 \[\begin{split} 3 \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}&= S(1) \cdot \frac{3}{S(1)} \\ \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}&= \int_1^{1+3/S(1)} S(1)\,\d{x} \\ &\leq \int_1^{1+3/S(1)} S(x)\,\d{x} \\ \rule[-1.3ex]{0pt}{3.8ex}&= C(1) - C\biggl(1+\frac{3}{S(1)}\biggr) \\ &\leq 1 - (-1) \\ \rule[-1.3ex]{0pt}{3.8ex}&= 2\comma \end{split}\] 導致矛盾。故 $R \neq \varnothing$。

接著我們設 $r = \inf R$。若 $C(r) > 0$，則由於 $C$ 連續，我們能找到 $\epsilon > 0$ 使得 $C(x) > 0$ 對所有 $x \in (r-\epsilon, r+\epsilon)$ 均成立，即 $r + \epsilon$ 亦為 $R$ 的下界，矛盾。

若 $C(r) < 0$，則由中間值定理知存在 $s \in (0, r)$ 使得 $C(s) = 0$，即 $r$ 並非 $R$ 的下界，矛盾。

因此 $C(r) = 0$。由於 $C(0) = 1 \neq 0$，故 $r \neq 0$，即 $r > 0$。由於 $r$ 是 $R$ 的下界，故 $C(x) > 0$ 對所有 $x \in (0, r)$ 皆成立。

2　圓周率

2.1　定義

由定理 4 可知存在一個最小的正實數 $r$ 使得 $C(r) = 0$。我們定義 $\pi = 2r$，稱其為圓周率。

定理 5　我們有 $S(\pi/2) = 1$ 與 $C(\pi/2) = 0$。

證明　由圓周率之定義立刻可得 $C(\pi/2) = 0$。由於 $S'(x) = C(x) > 0$ 對所有 $x \in (0, \pi/2)$ 均成立，故 $S(\pi/2) > S(0) = 0$。由定理 2 可得 \[\begin{split}\rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\biggl(S\biggl(\frac{\pi}{2}\biggr)\biggr)^{\!\!2} = 1 - \biggl(C\biggl(\frac{\pi}{2}\biggr)\biggr)^{\!\!2} = 1 \comma\end{split}\] 故 $S(\pi/2) = 1$。

2.2　性質

定理 6 說明 $S$ 與 $C$ 皆為週期函數，具有週期 $2\pi$。

定理 6　對任意 $x \in \mathbb{R}$ 皆有 $S(x+2\pi) = S(x)$ 與 $C(x+2\pi) = C(x)$。

證明　我們有 \[\begin{split} S(\pi) &= S\biggl(\frac{\pi}{2}\biggr)C\biggl(\frac{\pi}{2}\biggr) + C\biggl(\frac{\pi}{2}\biggr)S\biggl(\frac{\pi}{2}\biggr) = 0 \comma \\ C(\pi) &= C\biggl(\frac{\pi}{2}\biggr)C\biggl(\frac{\pi}{2}\biggr) - S\biggl(\frac{\pi}{2}\biggr)S\biggl(\frac{\pi}{2}\biggr) = -1 \comma \\ \rule[-1.3ex]{0pt}{3.8ex}S(2\pi) &= S(\pi)C(\pi) + C(\pi)S(\pi) = 0 \comma \\ \rule[-1.3ex]{0pt}{3.8ex}C(2\pi) &= C(\pi)C(\pi) - S(\pi)S(\pi) = 1 \period \end{split}\] 因此 \[\begin{split} S(x+2\pi) &= S(x)C(2\pi) + C(x)S(2\pi) = S(x) \comma \\ C(x+2\pi) &= C(x)C(2\pi) - S(x)S(2\pi) = C(x) \period \end{split}\]

參考資料