函數列的收斂：逐點收斂與均勻收斂

函數列的收斂可被分為兩種類型：逐點收斂（point­wise con­ver­gence）與均勻收斂（uni­form con­ver­gence），本文簡介其定義及其性質。

1　函數列的收斂

我們定義對任意 $x \in \mathbb{R}$ 皆有 $x^0 = 1$（即我們有 $0^0 = 1$）。

1.1　逐點收斂與均勻收斂

設 $D \subseteq \RR$。設每一非負整數 $n$ 皆對應至一函數 $\fn \colon D \to \RR \comma$並設 $F \colon D \to \RR$ 亦為一函數。

此時函數列 $\seqn{\.\fn}$ 收斂至 $F$ 的方式可區分為逐點收斂與均勻收斂，我們定義如下：

• (1) 若對任意正實數 $\epsilon$ 與任意 $x \in D \comma$皆能找到一非負整數 $m \comma$使得對任意非負整數 $n \geq m$ 均有 \[\abs{\fn(x) - F(x)} < \epsilon \comma\] 則我們稱函數列 $\seqn{\.\fn}$ 逐點收斂至 $F \comma$記作 \[\begin{split}(\.\fsub{n})_{n \geq 0} \to F \period\end{split}\] 換言之，$\seqn{\.\fn} \to F$ 若且唯若對任意 $x \in D$ 均有 \[(\.\fsub{n}(x))_{n \geq 0} \to F(x) \period\]

• (2) 若對任意正實數 $\epsilon$，皆能找到一非負整數 $m$，使得對任意 $x \in D$ 與任意非負整數 $n \geq m$ 均有 \[\lvert \fn(x) - F(x) \rvert < \epsilon \comma\] 則我們稱函數列 $\seqn{\.\fn}$ 均勻收斂至 $F$。

注意到均勻收斂是比逐點收斂更強的條件：若函數列均勻收斂則必定逐點收斂。

範例 1　考慮函數列 $\seqn{\.\fn}$，其中 $\fn \colon [-1, 1] \to \RR$ 定義為 \[\begin{split} \rod{3}{0}\fn(x) = (1-\lvert x \rvert)^{n+1} \period \end{split}\] 我們說明 $\seqn{\.\fn}$ 為逐點收斂但並非均勻收斂。

我們有 \[\begin{split}\lim_{n \to \infty}f_{\!n}(0) = \lim_{n \to \infty}1^{n+1} = 1 \semicolon\end{split}\] 當 $x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$ 時，由於 $0 \leq 1 - \lvert x \rvert < 1 \comma$我們有 \[\begin{split} \rule[-1.3ex]{0pt}{3.8ex}\lim_{n \to \infty}f_{\!n}(x) = \lim_{n \to \infty}(1-\lvert x \rvert)^{n+1} = 0 \period \end{split}\]

故 $\seqn{\.\fn}$ 逐點收斂至 $F \colon [-1, 1] \to \RR$，其中 \[ F(x) = \begin{cases} 1 & \when x = 0 \\ 0 & \when x \in [-1, 0) \cup (0, 1] \end{cases} \period \]

然而，由於對任意非負整數 $n$ 皆有 \[ \begin{split} \Biggl\lvert f_{\!n}\biggl(1{\.-\.}\frac{1}{\root{n+1}{2}}\biggr) - F\biggl(1{\.-\.}\frac{1}{\root{n+1}{2}}\biggr) \Biggr\rvert &= \biggl\lvert \frac{1}{2} - 0 \biggr\rvert \\ &=\rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex} \frac{1}{2} \comma \end{split} \] 故 $\seqn{\.\fn}$ 並非均勻收斂。

1.2　柯西判別法

定理 1　設對每個非負整數 $n$ 皆有一函數 $\fn \colon D \to \RR \period$則下列敘述等價：

證明　首先證明 (a) 可推得 (b)。設 $\seqn{\.f_{\!n}}$ 均勻收斂至 $f \colon D \to \RR$。給定任意正實數 $\epsilon$，我們能找到一非負整數 $N$，使得對所有整數 $n \geq N$ 與所有 $x \in D$ 皆有 \[ \begin{split} \rule[-2.3ex]{0pt}{5.8ex}\lvert f_{\!n}(x) - f(x) \rvert < \frac{\epsilon}{2} \period \end{split} \] 於是對任意滿足 $n \geq m \geq N$ 的整數 $n$、$m$ 與任意 $x \in D$，皆有 \[ \begin{split} \lvert f_{\!n}(x) - f_{\!m}(x) \rvert &\leq \lvert f_{\!n}(x) - f(x) \rvert + \lvert f(x) - f_{\!m}(x) \rvert \\ \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}&< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} \\ &= \epsilon \period \end{split} \]

接著證明 (b) 可推得 (a)。由於 $\seqn{\.f_{\!n}(x)}$ 對每個 $x \in D$ 而言均為一柯西數列，故 $\seqn{\.f_{\!n}}$ 逐點收斂至一函數 $f \colon D \to \RR$。給定任意 $\epsilon > 0$，設 $N$ 為一非負整數使得 \[ \begin{split} \rule[-2.3ex]{0pt}{5.8ex}\lvert f_{\!n}(x) - f_{\!m}(x) \rvert < \frac{\epsilon}{2} \end{split} \] 對所有滿足 $n \geq m \geq N$ 的整數 $n$、$m$ 與所有 $x \in D$ 均成立。則對任意整數 $n \geq N$ 與任意 $x \in D$，我們皆有 \[ \begin{split} \rule[-2.3ex]{0pt}{5.8ex}\lvert f_{\!n}(x) - f(x) \rvert \leq \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \comma \end{split} \] 故得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

1.3　魏爾施特拉斯判別法

定理 2　設對每個非負整數 $n $ 均有一非負實數 $M_n$ 與一函數 $f_{\!n} \colon D \to \RR$，其中 $D \subseteq \RR$ 且對所有 $x \in D$ 皆有 $\lvert\. f_{\!n}(x) \rvert \leq M_n$。若 $\sum_{n \geq 0}M_n$ 收斂，則 $\sum_{n \geq 0} f_{\!n}$ 均勻收斂。

證明　設 $\epsilon$ 為一任意正實數。由於 $\sum_{n \geq 0}M_n$ 收斂，可知 $\bigl(\sum_{k=0}^nM_k\bigr)_{n \geq 0}$ 為一柯西數列，即我們能找到一個非負整數 $N$ 使得對所有滿足 $n > m \geq N$ 的整數 $n \jcomma m$ 皆有 \[\begin{split} \sum_{k=m+1}^n M_k = \sum_{k=0}^n M_k - \sum_{k=0}^m M_k < \epsilon \period \end{split}\] 此時對所有滿足 $n \geq m \geq N$ 的整數 $n \jcomma m$ 與所有 $x \in D$，我們均有 \[\begin{split} \Biggl|\sum_{k=0}^n \fsub{k}(x) - \sum_{k=0}^m \fsub{k}(x) \Biggr| &= \Biggl|\sum_{k=m+1}^n \fsub{k}(x) \Biggr| \\ &\leq \sum_{k=m+1}^n \lvert \fsub{k}(x) \rvert \\ &\leq \sum_{k=m+1}^n M_k \\[3.2ex] &< \epsilon \comma \end{split}\] 故由定理 1 知 $\sum_{n \geq 0} f_{\!n}$ 均勻收斂。定理得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

2　均勻收斂所保持的性質

2.1　連續性

給定一逐點收斂的連續函數列，其極限不一定連續（如範例 1）。但定理 3 說明條件較強的均勻收斂可使極限保持連續性。

定理 3　設 $a < c < b$，設對每個非負整數 $n$，$\fsub{n} \colon (a, b) \to \mathbb{R}$ 為一函數，並設 $\seqn{\.\fsub{n}}$ 均勻收斂至 $F \colon (a, b) \to \mathbb{R}$。若對每個非負整數 $n$，$\fsub{n}$ 皆在 $c$ 連續，則 $F$ 亦在 $c$ 連續。

證明　設 $\epsilon$ 為一任意正實數。由於 $\seqn{\.\fsub{n}}$ 均勻收斂至 $F$，我們能找到一個非負整數 $m$ 使得對任意 $x \in (a, b)$ 皆有 \[ \begin{split} \rule[-2.3ex]{0pt}{5.8ex}\lvert f_{\!m}(x) - F(x) \rvert < \frac{\epsilon}{3} \period \end{split} \] 由於 $f_{\!m}$ 在 $c$ 連續，我們能找到 $0 < \delta < \min\{c-a, b-c\}$ 使得對任意 $x \in (c - \delta, c + \delta)$ 皆有 \[ \begin{split} \rule[-2.3ex]{0pt}{5.8ex}\lvert f_{\!m}(x) - f_{\!m}(c) \rvert < \frac{\epsilon}{3} \period \end{split} \] 此時對任意 $x \in (c - \delta, c + \delta)$ 皆有 \[ \begin{split} \lvert F(x) - F(c) \rvert &= \lvert F(x) - f_{\!m}(x) \rvert + \lvert f_{\!m}(x) - f_{\!m}(c) \rvert + \lvert f_{\!m}(c) - F(c) \rvert \\ \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}&< \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} \\ &= \epsilon \comma \end{split} \] 故得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

2.2　達布可積性

定理 4 說明均勻收斂保持達布可積性。

定理 4　設 $a < b$，設對每個非負整數 $n$，$f_{\!n} \colon [a, b] \to \mathbb{R}$ 為一函數，並設 $\seqn{\.f_{\!n}}$ 均勻收斂至 $F \colon [a, b] \to \mathbb{R}$。若對每個非負整數 $n$，$f_{\!n}$ 皆在 $[a, b]$ 上達布可積，則 $F$ 亦在 $[a, b]$ 上達布可積，且 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_{\!n} = \int_a^b F \period \end{split} \]

證明　對所有非負整數 $n$，設 \[M_n = \sup \bigl\{\lvert f_{\!n}(x) - F(x) \rvert: x \in [a, b]\bigr\} \period\] 注意到由於 $\seqn{\.f_{\!n}}$ 均勻收斂至 $F$，可知 $\seqn{M_n}$ 收斂至 $0$。對任意非負整數 $n$，由於 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\int_a^b (\.f_{\!n}(x) - M_n)\,\d{x} &\leq \lowint_a^b F \\ &\leq \upint_a^b F \\ \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}&\leq \int_a^b (\.f_{\!n}(x) + M_n)\,\d{x} \comma \end{split} \] 我們有 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}0 \leq \upint_a^b F - \lowint_a^b F \leq 2\.M_n(b - a) \period \end{split} \] 由於 $\seqn{M_n}$ 收斂至 $0$，由夾擠定理知 $F$ 在 $[a, b]$ 上達布可積。

由於對所有非負整數 $n$ 均有 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\biggl|\int_a^b f_{\!n} - \int_a^b F \biggr| \leq M_n(b - a) \comma \end{split} \] 故 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_{\!n} = \int_a^b F \comma \end{split} \] 定理得$\textrm{證。}\mkern6mu\blacksquare$

範例 2　考慮函數列 $\seqn{\.f_{\!n}}$，其中 $f_{\!n} \colon [-1, 1] \to \mathbb{R}$ 定義為 \[\begin{split} \rule[-1.3ex]{0pt}{3.8ex}f_{\!n}(x) = nx(1-x^2)^n \period \end{split}\] 我們說明此時定積分與極限不可交換（因為 $\seqn{\.f_{\!n}}$ 並非均勻收斂），有 \[\begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\lim_{n \to \infty}\int_0^1 f_{\!n} \neq \int_0^1 \lim_{n \to \infty} f_{\!n} \period \end{split}\]

首先注意到 $\seqn{\.f_{\!n}}$ 逐點收斂至 $F \colon [-1, 1] \to \mathbb{R}$，其中 $F(x) = 0 \period$對任意非負整數 $n$，經計算可得 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\int_0^1 f_{\!n} = n\int_0^1 x(1-x^2)^n\,\d{x} = \frac{n}{2n+2} \comma \end{split} \] 故 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\lim_{n \to \infty}\int_0^1 f_{\!n} = \frac{1}{2} \period \end{split} \] 另一方面，顯然我們有 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\int_0^1 F = 0 \comma \end{split} \] 故此時 \[ \begin{split} \rule[-2.8ex]{0pt}{6.8ex}\lim_{n \to \infty}\int_0^1 f_{\!n} \neq \int_0^1 F = \int_0^1 \lim_{n \to \infty} f_{\!n} \period \end{split} \]

參考資料