函數列的收斂：逐點收斂與均勻收斂

函數列的收斂可被分為兩種類型：逐點收斂（point­wise con­ver­gence）與均勻收斂（uni­form con­ver­gence），本文簡介其定義及其性質。

1　函數列的收斂

我們定義對任意 $x\in \mathbb{R}$ 皆有 $x^0=1$（即我們有 $0^0=1$）。

1.1　逐點收斂與均勻收斂

設 $D\subseteq \mathbb{R}$。設每一非負整數 $n$ 皆對應至一函數 $f_n:D\to \mathbb{R}\text{，}$並設 $F:D\to \mathbb{R}$ 亦為一函數。

此時函數列 $(f_n{)}_{n\ge 0}$ 收斂至 $F$ 的方式可區分為逐點收斂與均勻收斂，我們定義如下：

• (1) 若對任意正實數 $ϵ$ 與任意 $x\in D\text{，}$皆能找到一非負整數 $m\text{，}$使得對任意非負整數 $n\ge m$ 均有 $$|f_n(x)-F(x)|<ϵ\text{，}$$ 則我們稱函數列 $(f_n{)}_{n\ge 0}$ 逐點收斂至 $F\text{，}$記作 $$\begin{array}{r}(f_n{)}_{n\ge 0}\to F\text{。}\end{array}$$ 換言之，$(f_n{)}_{n\ge 0}\to F$ 若且唯若對任意 $x\in D$ 均有 $$(f_n(x){)}_{n\ge 0}\to F(x)\text{。}$$

• (2) 若對任意正實數 $ϵ$，皆能找到一非負整數 $m$，使得對任意 $x\in D$ 與任意非負整數 $n\ge m$ 均有 $$|f_n(x)-F(x)|<ϵ\text{，}$$ 則我們稱函數列 $(f_n{)}_{n\ge 0}$ 均勻收斂至 $F$。

注意到均勻收斂是比逐點收斂更強的條件：若函數列均勻收斂則必定逐點收斂。

範例 1　考慮函數列 $(f_n{)}_{n\ge 0}$，其中 $f_n:[-1,1]\to \mathbb{R}$ 定義為 $$\begin{array}{r}{f}_n(x)=(1-|x|{)}^{n+1}\text{。}\end{array}$$ 我們說明 $(f_n{)}_{n\ge 0}$ 為逐點收斂但並非均勻收斂。

我們有 $$\begin{array}{r}\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(0)=\underset{n\to \infty }{\lim }{1}^{n+1}=1\text{；}\end{array}$$ 當 $x\in [-1,0)\cup (0,1]$ 時，由於 $0\le 1-|x|<1\text{，}$我們有 $$\begin{array}{r}\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }(1-|x|{)}^{n+1}=0\text{。}\end{array}$$

故 $(f_n{)}_{n\ge 0}$ 逐點收斂至 $F:[-1,1]\to \mathbb{R}$，其中 $$F(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{當}x=0\\ 0& \text{當}x\in [-1,0)\cup (0,1]\end{array}\text{。}$$

然而，由於對任意非負整數 $n$ 皆有 $$\begin{array}{rl}\left|f_n\right(1-\frac{1}{\sqrt[n+1]{2}})-F(1-\frac{1}{\sqrt[n+1]{2}}\left)\right|& =|\frac{1}{2}-0|\\ & =\frac{1}{2}\text{，}\end{array}$$ 故 $(f_n{)}_{n\ge 0}$ 並非均勻收斂。

1.2　柯西判別法

定理 1　設對每個非負整數 $n$ 皆有一函數 $f_n:D\to \mathbb{R}\text{。}$則下列敘述等價：

證明　首先證明 (a) 可推得 (b)。設 $(f_n{)}_{n\ge 0}$ 均勻收斂至 $f:D\to \mathbb{R}$。給定任意正實數 $ϵ$，我們能找到一非負整數 $N$，使得對所有整數 $n\ge N$ 與所有 $x\in D$ 皆有 $$\begin{array}{r}|f_n(x)-f(x)|<\frac{ϵ}{2}\text{。}\end{array}$$ 於是對任意滿足 $n\ge m\ge N$ 的整數 $n$、$m$ 與任意 $x\in D$，皆有 $$\begin{array}{rl}|f_n(x)-f_m(x)|& \le |f_n(x)-f(x)|+|f(x)-f_m(x)|\\ & <\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}\\ & =ϵ\text{。}\end{array}$$

接著證明 (b) 可推得 (a)。由於 $(f_n(x){)}_{n\ge 0}$ 對每個 $x\in D$ 而言均為一柯西數列，故 $(f_n{)}_{n\ge 0}$ 逐點收斂至一函數 $f:D\to \mathbb{R}$。給定任意 $ϵ>0$，設 $N$ 為一非負整數使得 $$\begin{array}{r}|f_n(x)-f_m(x)|<\frac{ϵ}{2}\end{array}$$ 對所有滿足 $n\ge m\ge N$ 的整數 $n$、$m$ 與所有 $x\in D$ 均成立。則對任意整數 $n\ge N$ 與任意 $x\in D$，我們皆有 $$\begin{array}{r}|f_n(x)-f(x)|\le \frac{ϵ}{2}<ϵ\text{，}\end{array}$$ 故得證。

1.3　魏爾施特拉斯判別法

定理 2　設對每個非負整數 $n$ 均有一非負實數 $M_n$ 與一函數 $f_n:D\to \mathbb{R}$，其中 $D\subseteq \mathbb{R}$ 且對所有 $x\in D$ 皆有 $|f_n(x)|\le M_n$。若 ${\sum }_{n\ge 0}{M}_n$ 收斂，則 ${\sum }_{n\ge 0}{f}_n$ 均勻收斂。

證明　設 $ϵ$ 為一任意正實數。由於 ${\sum }_{n\ge 0}{M}_n$ 收斂，可知 $({\sum }_{k=0}^n{M}_k{)}_{n\ge 0}$ 為一柯西數列，即我們能找到一個非負整數 $N$ 使得對所有滿足 $n>m\ge N$ 的整數 $n\text{、}m$ 皆有 $$\begin{array}{r}\sum _{k=m+1}^n{M}_k=\sum _{k=0}^n{M}_k-\sum _{k=0}^m{M}_k<ϵ\text{。}\end{array}$$ 此時對所有滿足 $n\ge m\ge N$ 的整數 $n\text{、}m$ 與所有 $x\in D$，我們均有 $$\begin{array}{rl}|\sum _{k=0}^n{f}_k(x)-\sum _{k=0}^m{f}_k(x)|& =|\sum _{k=m+1}^n{f}_k(x)|\\ & \le \sum _{k=m+1}^n|f_k(x)|\\ & \le \sum _{k=m+1}^n{M}_k\\ & <ϵ\text{，}\end{array}$$ 故由定理 1 知 ${\sum }_{n\ge 0}{f}_n$ 均勻收斂。定理得證。

2　均勻收斂所保持的性質

2.1　連續性

給定一逐點收斂的連續函數列，其極限不一定連續（如範例 1）。但定理 3 說明條件較強的均勻收斂可使極限保持連續性。

定理 3　設 $a<c<b$，設對每個非負整數 $n$，$f_n:(a,b)\to \mathbb{R}$ 為一函數，並設 $(f_n{)}_{n\ge 0}$ 均勻收斂至 $F:(a,b)\to \mathbb{R}$。若對每個非負整數 $n$，$f_n$ 皆在 $c$ 連續，則 $F$ 亦在 $c$ 連續。

證明　設 $ϵ$ 為一任意正實數。由於 $(f_n{)}_{n\ge 0}$ 均勻收斂至 $F$，我們能找到一個非負整數 $m$ 使得對任意 $x\in (a,b)$ 皆有 $$\begin{array}{r}|f_m(x)-F(x)|<\frac{ϵ}{3}\text{。}\end{array}$$ 由於 $f_m$ 在 $c$ 連續，我們能找到 $0<\delta <\min \{c-a,b-c\}$ 使得對任意 $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ 皆有 $$\begin{array}{r}|f_m(x)-f_m(c)|<\frac{ϵ}{3}\text{。}\end{array}$$ 此時對任意 $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ 皆有 $$\begin{array}{rl}|F(x)-F(c)|& =|F(x)-f_m(x)|+|f_m(x)-f_m(c)|+|f_m(c)-F(c)|\\ & <\frac{ϵ}{3}+\frac{ϵ}{3}+\frac{ϵ}{3}\\ & =ϵ\text{，}\end{array}$$ 故得證。

2.2　達布可積性

定理 4 說明均勻收斂保持達布可積性。

定理 4　設 $a<b$，設對每個非負整數 $n$，$f_n:[a,b]\to \mathbb{R}$ 為一函數，並設 $(f_n{)}_{n\ge 0}$ 均勻收斂至 $F:[a,b]\to \mathbb{R}$。若對每個非負整數 $n$，$f_n$ 皆在 $[a,b]$ 上達布可積，則 $F$ 亦在 $[a,b]$ 上達布可積，且 $$\begin{array}{r}\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^b{f}_n={\int }_a^{b}F\text{。}\end{array}$$

證明　對所有非負整數 $n$，設 $$M_n=\sup \{|f_n(x)-F(x)|:x\in [a,b]\}\text{。}$$ 注意到由於 $(f_n{)}_{n\ge 0}$ 均勻收斂至 $F$，可知 $(M_n{)}_{n\ge 0}$ 收斂至 $0$。對任意非負整數 $n$，由於 $$\begin{array}{rl}{\int }_a^b(f_n(x)-M_n)\mathrm{d}x& \le \underline{}{\int }_a^{b}F\\ & \le \overline{}{\int }_a^{b}F\\ & \\ & \le {\int }_a^b(f_n(x)+M_n)\mathrm{d}x\text{，}\end{array}$$ 我們有 $$\begin{array}{r}0\le \overline{}{\int }_a^{b}F-\underline{}{\int }_a^{b}F\le 2M_n(b-a)\text{。}\end{array}$$ 由於 $(M_n{)}_{n\ge 0}$ 收斂至 $0$，由夾擠定理知 $F$ 在 $[a,b]$ 上達布可積。

由於對所有非負整數 $n$ 均有 $$\begin{array}{r}|{\int }_a^b{f}_n-{\int }_a^{b}F|\le M_n(b-a)\text{，}\end{array}$$ 故 $$\begin{array}{r}\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^b{f}_n={\int }_a^{b}F\text{，}\end{array}$$ 定理得證。

範例 2　考慮函數列 $(f_n{)}_{n\ge 0}$，其中 $f_n:[-1,1]\to \mathbb{R}$ 定義為 $$\begin{array}{r}{f}_n(x)=nx(1-x^2{)}^n\text{。}\end{array}$$ 我們說明此時定積分與極限不可交換（因為 $(f_n{)}_{n\ge 0}$ 並非均勻收斂），有 $$\begin{array}{r}\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{f}_n\ne {\int }_0^1\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n\text{。}\end{array}$$

首先注意到 $(f_n{)}_{n\ge 0}$ 逐點收斂至 $F:[-1,1]\to \mathbb{R}$，其中 $F(x)=0\text{。}$對任意非負整數 $n$，經計算可得 $$\begin{array}{r}{\int }_0^1{f}_n=n{\int }_0^{1}x(1-x^2{)}^n\mathrm{d}x=\frac{n}{2n+2}\text{，}\end{array}$$ 故 $$\begin{array}{r}\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{f}_n=\frac{1}{2}\text{。}\end{array}$$ 另一方面，顯然我們有 $$\begin{array}{r}{\int }_0^{1}F=0\text{，}\end{array}$$ 故此時 $$\begin{array}{r}\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{f}_n\ne {\int }_0^{1}F={\int }_0^1\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n\text{。}\end{array}$$

參考資料