112 年分科數學甲：試題與參考答案

試題／112 年分科數學甲：試題與參考答案

本文包含 112 學年度分科測驗數學甲考科之試題與參考答案。

為便於各式裝置之使用者閱讀，部分題目之排版有略為調整。實際試題與答案以大考中心公布為準。 $ \gdef\vec#1{\smash{\overrightharpoon{#1}}} \gdef\conj#1{\mkern2mu\overline{\mkern-2mu#1}} \gdef\Prob#1{P({#1})} \gdef\EV#1{E({#1})} \gdef\maru{\mathord{\bigcirc}} \gdef\rod#1#2{\rule[0ex]{0pt}{#1ex}\rule[-#2ex]{0pt}{1ex}} \gdef\primedw{\rod{1.25}{0}\smash{{w\mkern1.5mu}'}} $

試題

考試時間：80 分鐘。

一、單選題（每題 6 分，共 18 分）

  1. 坐標平面上，一質點由點 $(-3,-2)$ 出發，沿著向量 $(a,1)$ 的方向移動 5 單位長之後剛好抵達 $x$ 軸，其中 $a$ 為正實數。試問 $a$ 值等於下列哪一個選項？
    1. $\rule[-2.3ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
    2. $2$
    3. $\sqrt{5}$
    4. $\rule[-2.3ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{\sqrt{21}}{2}$
    5. $2\sqrt{6}$
  2. 放射性物質的半衰期 $T$ 定義為「每經過時間 $T \comma$該物質的質量會衰退成原來的一半」。鉛製容器中有 $A \jcomma$$B$ 兩種放射性物質，其半衰期分別為 $T_A \jcomma$$T_B \period$開始記錄時這兩種物質的質量相等，112 天後測量發現物質 $B$ 的質量為物質 $A$ 的質量的四分之一。根據上述，試問 $T_A \jcomma$$T_B$ 滿足下列哪一個關係式？
    1. $\rule[-2.55ex]{0pt}{3.8ex}{-2}+\dfrac{112}{T_A}=\dfrac{112}{T_B}$
    2. $\rule[-2.55ex]{0pt}{3.8ex}2+\dfrac{112}{T_A}=\dfrac{112}{T_B}$
    3. $\rule[-2.55ex]{0pt}{3.8ex}{-2}+\log_2\dfrac{112}{T_A}=\log_2\dfrac{112}{T_B}$
    4. $\rule[-2.55ex]{0pt}{3.8ex}2+\log_2\dfrac{112}{T_A}=\log_2\dfrac{112}{T_B}$
    5. $\rule[-2.55ex]{0pt}{3.8ex}2\log_2\dfrac{112}{T_A}=\log_2\dfrac{112}{T_B}$
  3. 試問極限 \[\begin{split}\rod{4}{0}\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{3}{n^2}\mkern-4mu\times\mkern-4mu\Bigl(&\!\sqrt{\rod{1.8}{0.5}\smash{4n^2\!+\!9\!\times\!1^2}}+\sqrt{\rod{1.8}{0.5}\smash{4n^2\!+\!9\!\times\!2^2}}\\&\mkern24mu+\cdots+\sqrt{\rod{1.8}{0.5}\smash{4n^2\!+\!9\!\times\!(n \varminus 1)^2}}\Bigr)\end{split}\] 的值可用下列哪一個定積分表示？
    1. $\displaystyle\int_0^3 \mkern-5mu\sqrt{\rod{1.8}{0}1+x^2}\,dx$
    2. $\displaystyle\int_0^3 \mkern-5mu\sqrt{\rod{1.8}{0}1+9x^2}\,dx$
    3. $\displaystyle\int_0^3 \mkern-5mu\sqrt{\rod{1.8}{0}4+x^2}\,dx$
    4. $\displaystyle\int_0^3 \mkern-5mu\sqrt{\rod{1.8}{0}4+9x^2}\,dx$
    5. $\displaystyle\int_0^3 \mkern-5mu\sqrt{\rod{1.8}{0}4x^2+9}\,dx$

二、多選題（每題 8 分，共 40 分）

  1. 設 $a,b$ 為實數。已知四個數 $-3 \cm -1 \cm 4 \cm 7$ 皆滿足 $x$ 的不等式 ${\lvert x - a \rvert} \leq b \comma$試選出正確的選項。

    1. $\sqrt{10}$ 也滿足 $x$ 的不等式 ${\lvert x - a \rvert} \leq b$
    2. $3 \cm 1 \cm -4 \cm -7$ 滿足 $x$ 的不等式 ${\lvert x + a \rvert} \leq b$
    3. $\rod{3.6}{2.6}{-\dfrac{3}{2}} \cm \rod{3.6}{2.6}{-\dfrac{1}{2}} \cm 2 \cm \rod{3.6}{2.6}{\dfrac{7}{2}}$ 滿足 $x$ 的不等式 ${\lvert x - a \rvert} \leq \rod{3.6}{0}\dfrac{b}{2}$
    4. $b$ 可能等於 4
    5. $a,b$ 可能相等

  2. 考慮實係數多項式 $f(x)=x^4-4x^3-2x^2+ax+b \textrm{。}$已知方程式 $f(x)=0$ 有虛根 $1+2i$（其中 $i = \sqrt{-1}\;\textrm{），}$試選出正確的選項。

    1. $1-2i$ 也是 $f(x)=0$ 的根
    2. $a,b$ 皆為正數
    3. ${f\.}'(2.1) < 0$
    4. 函數 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 有局部極小值
    5. $y=f(x)$ 圖形反曲點的 $x$ 坐標皆大於 0

  3. 設 $a,b,c,d,r,s,t$ 皆為實數，已知坐標空間中三個非零向量 $\vec{u} = (a,b,0) \jcomma$$\vec{v} = (c,d,0)$ 及 $\vec{w} = (r,s,t)$ 滿足內積 ${\vec{w} \cdot \vec{u}} = {\vec{w} \cdot \vec{v}} = 0 \textrm{。}$考慮三階方陣

    $\displaystyle A = \begin{bmatrix}a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ r & s & t\end{bmatrix}$，
    試選出正確的選項。

    1. 若 $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \comma$則行列式 $\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix} \neq 0$
    2. 若 $t \neq 0 \comma$則行列式 $\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix} \neq 0$
    3. 若存在一個向量 $\vec{\primedw}$ 滿足 ${\vec{\primedw} \cdot \vec{u}} = {\vec{\primedw} \cdot \vec{v}} = 0$ 且外積 ${\vec{\primedw} \times \vec{w}} \neq \vec{0} \comma$則行列式 $\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix} \neq 0$
    4. 若對任意三個實數 $e \cm f \cm g \comma$向量 $(e, f, g)$ 都可以表示成 $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ 的線性組合，則行列式 $\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix} \neq 0$
    5. 若行列式 $\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix} \neq 0 \comma$則 $A$ 的行列式不等於 0

  4. 有一個依順時針方向依序標示 $1, 2, \ldots, 12$ 數字的圓形時鐘（如圖所示）。一開始在此時鐘「12」點鐘位置擺設一枚棋子，然後每次投擲一枚均勻銅板，依投擲結果，照以下規則移動這枚棋子的位置：

    • 若出現正面，將棋子從當時位置依順時針方向移動 5 個鐘點。
    • 若出現反面，將棋子從當時位置依逆時針方向移動 5 個鐘點。

    例如：若投擲銅板三次均為正面，則棋子第一次移動到「5」點鐘位置，第二次移動到「10」點鐘位置，第三次移動到「3」點鐘位置。

    對任一正整數 $n \comma$令隨機變數 $X_n$ 代表依上述規則經過 $n$ 次移動後棋子所在的點鐘位置，$\Prob{X_n {\mkern2mu=\mkern2mu} k}$ 代表 $X_n = k$ 的機率（其中 $k = 1 \cm 2 \cm \ldots \cm 12$），且令 $\EV{X_n}$ 代表 $X_n$ 的期望值。試選出正確的選項。

    1. $\EV{\.X_1} = 6$
    2. $\Prob{X_2 {\mkern2mu=\mkern2mu} 12} = \dfrac{1}{4}$
    3. $\Prob{X_8 {\mkern2mu=\mkern2mu} 5} \geq \dfrac{1}{2^8}$
    4. $\Prob{X_8 {\mkern2mu=\mkern2mu} 4} = \Prob{X_8 {\mkern2mu=\mkern2mu} 8}$
    5. $\EV{X_8} \leq 7$

  5. 複數平面上，設 $\conj{\rod{1.3}{0}z}$ 代表複數 $z$ 的共軛複數，且 $i = \sqrt{-1} \textrm{。}$試選出正確的選項。

    1. 若 $z = 2i \comma$則 $z^3 = 4i\conj{\rod{1.3}{0}z}$
    2. 若非零複數 $\alpha$ 滿足 $\alpha^3 = 4i\.\conj{\rod{1.3}{0}\alpha} \comma$則 $\lvert \alpha \rvert = 2$
    3. 若非零複數 $\alpha$ 滿足 $\alpha^3 = 4i\.\conj{\rod{1.3}{0}\alpha}$ 且令 $\beta = i\alpha \comma$則 $\beta^3 = 4i\conj{\rod{1.8}{0}\beta}$
    4. 滿足 $z^3 = 4i\conj{\rod{1.3}{0}z}$ 的所有非零複數 $z$ 中，其主幅角的最小可能值為 $\rod{3.6}{2.6}\dfrac{\pi}{6}$
    5. 恰有 3 個相異非零複數 $z$ 滿足 $z^3 = 4i\conj{\rod{1.3}{0}z}$

三、選填題（每題 6 分，共 18 分）

  1. 已知平面上直角 $\triangle\,ABC$ 三邊長 $\overline{AB} = \sqrt{7} \jcomma$$\overline{AC} = \sqrt{3} \jcomma$$\overline{BC} = 2 \textrm{。}$若分別以 $\overline{AB}$ 與 $\overline{AC}$ 為底邊在 $\triangle\,ABC$ 的外部作頂角等於 $120^\circ$ 的等腰三角形 $\triangle\,MAB$ 與 $\triangle\,NAC \textrm{，}$則 $\overline{MN}^{\kern1.5mu2} = \rule[0ex]{0pt}{3.8ex}\underline{\dfrac{\maru\maru}{\maru}}\text{。}$（化為最簡分數）

  2. 坐標空間中有方向向量為 $(1,-2,2)$ 的直線 $L \jcomma$平面 $E_1:2x+3y+6z=10$ 與平面 $E_2:2x+3y+6z=-4 \textrm{。}$則 $L$ 被 $E_1 \jcomma$$E_2$ 所截線段的長度為 $\rule[0ex]{0pt}{3.8ex}\underline{\dfrac{\maru\maru}{\maru}}\text{。}$（化為最簡分數）

  3. 百貨公司舉辦父親節抽牌送獎品活動，規則如下：主辦單位準備編號 1、2、…、9 的牌卡十張，其中編號 8 的牌卡有兩張，其他編號的牌卡均只有一張。從這十張牌隨機抽出四張，且抽出不放回，依抽出順序由左至右排列成一個四位數。若排成的四位數滿足下列任一個條件，就可獲得獎品：

    1. 此四位數大於 6400
    2. 此四位數含有兩個數字 8

    例如：若抽出四張牌編號依序為 5、8、2、8，則此四位數為 5828，可獲得獎品。依上述規則，共有 $\underline{\maru\maru\maru\maru}$ 個抽出排成的四位數可獲得獎品。

四、混合題或非選擇題（共 24 分）

12–14 題為題組。

　　設 $a,b$ 為實數，並設 $O$ 為坐標平面的原點。已知二次函數 $f(x) = ax^2$ 的圖形與圓 $\Omega: x^2+y^2-3y+b=0$ 皆通過點 $P\biggl(1,\dfrac{1}{2}\biggr)\textrm{，}$並令點 $C$ 為 $\Omega$ 的圓心。根據上述，試回答下列問題。

  1. 試求向量 $\vec{CO}$ 與 $\vec{CP}$ 夾角的餘弦值。（非選擇題，2 分）
  2. 試證明 $y=f(x)$ 圖形與 $\Omega$ 在 $P$ 點有共同的切線。（非選擇題，4 分）
  3. 試求 $y=f(x)$ 圖形上方與 $\Omega$ 下半圓弧所圍區域的面積。（非選擇題，6 分）

15–17 題為題組。

　　坐標平面上，設 $\Gamma$ 為中心在原點且長軸落在 $y$ 軸上的橢圓。已知對原點逆時針旋轉 $\theta$ 角（其中 $0 < \theta < \pi\;\textrm{）}$的線性變換將 $\Gamma$ 變換到新橢圓

${\Gamma\.}': 40x^2 + 4\sqrt{5}xy + 41y^2 = 180$，
點 $\biggl(-\dfrac{5}{3}\rule[-2.8ex]{0pt}{0ex}, \dfrac{2\sqrt{5}}{3}\biggr)$ 為 ${\Gamma\.}'$ 上離原點最遠的兩點之一。根據上述，試回答下列問題。

  1. 橢圓 ${\Gamma\.}'$ 的長軸長為 $\underline{\maru\sqrt{\rule[0ex]{0pt}{2ex}\maru}} \period$（化為最簡根式）（選填題，2 分）
  2. 試求 ${\Gamma\.}'$ 短軸所在的直線方程式與短軸長。（非選擇題，4 分）
  3. 已知在 $\Gamma$ 上的一點 $P$ 經由此旋轉後得到的點 ${P\.\.}'$ 落在 $x$ 軸上，且 ${P\.\.}'$ 點的 $x$ 坐標大於 0。試求 $P$ 點的坐標。（非選擇題，6 分）

參考答案

  1. (4)
  2. (2)
  3. (3)
  4. (1)(2)
  5. (1)(3)
  6. (1)(4)(5)
  7. (1)(4)
  8. (2)(3)
  9. $\rod{3.6}{2}\dfrac{13}{3}$
  10. $\rod{3.6}{2}\dfrac{21}{4}$
  11. $1554$
  12. $\rod{3.6}{2}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
  13. 證明略
  14. $\rod{3.6}{2}\dfrac{5}{3} - \dfrac{\pi}{2}$
  15. $2\sqrt{5}$
  16. 短軸方程式為 $y=\rod{3.6}{0}\dfrac{\sqrt{5}}{2}x \textrm{；}$短軸長為 4
  17. $\biggl(\sqrt{2}, -\dfrac{\sqrt{10}}{2}\biggr)$