115 年分科數學甲：試題與參考答案

試題／115 年分科數學甲：試題與參考答案

2026-07-13

本文包含 115 學年度分科測驗數學甲考科之試題與參考答案。

為便於各式裝置之使用者閱讀，部分題目之排版有略為調整。實際試題與答案以大考中心公布為準。

試題

考試時間：80 分鐘。

一、單選題（每題 6 分，共 18 分）

已知圖中「粗灰線」橢圓的方程式為 $\fraction{x^2}{a^2} + \fraction{y^2}{b^2} = 1 \comma$試選出最有可能為圖中「粗黑線」圖形方程式的選項。
1. $\fraction{x^2}{b^2} + \fraction{y^2}{a^2} = 1$
2. $\fraction{x^2}{a^2} - \fraction{y^2}{b^2} = 1$
3. $\fraction{x^2}{a^2} - \fraction{y^2}{b^2} = -1$
4. $\fraction{x^2}{b^2} - \fraction{y^2}{a^2} = 1$
5. $\fraction{x^2}{b^2} - \fraction{y^2}{a^2} = -1$
已知 $a_1, a_2, a_3, \ldots$ 為首項為 1、公比為 $r$ 的無窮等比數列（其中 $r$ 為非零實數），且知兩無窮等比級數 \[\begin{split}a_1 \varplus a_2 \varplus a_3 \varplus \cdots \varplus a_n \varplus \cdots\end{split}\] 與 \[\begin{split}a_1 \varplus a_3 \varplus a_5 \varplus \cdots \varplus a_{2n-1} \varplus \cdots\end{split}\] 皆收斂且其乘積為 1。試選出正確的 $r$ 值。
1. $-\fraction{1}{2}$
2. $\fraction{1 \varminus \sqrt{3}}{2}$
3. $\fraction{1 \varplus \sqrt{3}}{2}$
4. $\fraction{1 \varminus \sqrt{5}}{2}$
5. $\fraction{1 \varplus \sqrt{5}}{2}$
對任意實數 $x \comma$試選出函數 \[\begin{split}f(x) = \sin\biggl(x + \fraction{\pi}{3}\biggr) + \sin x - \sqrt{3}\cos x\end{split}\] 的最大值。
1. 1
2. $\sqrt{2}$
3. $\sqrt{3}$
4. $1 + \sqrt{2}$
5. $1 + \sqrt{3}$

二、多選題（每題 8 分，共 40 分）

箱中有編號分別為 $1, 2, 3$ 的球各 $n_1, n_2, n_3$ 顆（其中 $n_1, n_2, n_3$ 皆為正整數）。隨機抽取一球（每球被抽中的機率相等），所抽出球的編號為 $1, 2, 3$ 的機率分別記為 $p_1, p_2, p_3 \period$試選出正確的選項。
1. 在已知抽出一球且此球不是 1 號球的條件下，則該球為 2 號球的機率為 $\fraction{p_2}{1 \varminus p_1}$
2. 抽出球編號的期望值等於 $2 + p_3 - p_1$
3. 若 $n_1, n_2, n_3$ 為等差數列，則 $p_1, p_2, p_3$ 亦為等差數列
4. 若 $n_1, n_2, n_3$ 為等比數列，則 $p_2 \geq \fraction{1}{3}$
5. 若 $p_k < \fraction{1}{2}$ 對 $k = 1, 2, 3$ 都成立，則 $n_1, n_2, n_3$ 可以構成一個三角形的三個邊長
設 $a$ 為實數，關於複數 $z = \fraction{a \varminus 2i}{1 \varplus 2i}$ 的性質，試選出正確的選項（其中 $i = \sqrt{-1} \comma \conj{z}$ 為 $z$ 的共軛複數）。
1. $z$ 的實部為 $\fraction{a \varminus 4}{5}$
2. 若 $\conj{z} = z \comma$則 $a = 1$
3. $\lvert z \rvert^2 \geq \fraction{4}{5}$
4. 若 $a = 0 \comma$則 $z$ 的主輻角大於 $\pi$
5. 無論 $a$ 值為何，$z$ 都不會落在複數平面上的第一象限
對於實係數多項式 $f(x) \comma$將閉區間 $[a, b]$ 分割成三等分段，取每個分段左端點上的 $f(x)$ 函數值所得到的黎曼和記為 $M_a^b(\.f) \comma$即 \[\begin{split}M_a^b(\.f) = \fraction{b \varminus a}{3}\biggl[f(a) + f\biggl(a \varplus \fraction{b \varminus a}{3}\biggr) + f\biggl(a \varplus \fraction{2(b \varminus a)}{3}\biggr)\biggr] \semicolon\end{split}\]取每個分段右端點上的 $f(x)$ 函數值所得到的黎曼和記為 $N_a^b(\.f) \comma$即 \[\begin{split}N_a^b(\.f) = \fraction{b \varminus a}{3}\biggl[f\biggl(a \varplus \fraction{b \varminus a}{3}\biggr) + f\biggl(a \varplus \fraction{2(b \varminus a)}{3}\biggr) + f(b)\biggr] \period\end{split}\]若已知 $f(x)$ 及其一階與二階導函數在三段開區間的正、負，如下表：

區間 $(2,3)$ $(4,5)$ $(6,7)$

$f(x)$ 正負負

$f'(x)$ 負正負

$f''(x)$ 負負正

例如：在開區間 $(2,3)$ 上，滿足 $f(x) > 0 \jcomma f'(x) < 0$ 且 $f''(x) < 0 \period$試選出正確的選項。
1. 在開區間 $(4,5)$ 上，函數 $y = f(x)$ 遞增且圖形凹口向上
2. 在閉區間 $[5,6]$ 上，函數 $y = f(x)$ 的圖形有反曲點
3. $\displaystyle\int_2^3 f(x)\,dx < M_2^3(\.f)$
4. $\displaystyle\int_4^5 f(x)\,dx > N_4^5(\.f)$
5. $\displaystyle\int_6^7 f(x)\,dx > \fraction{1}{2}\bigl(M_6^7(\.f) + N_6^7(\.f)\bigr)$
考慮函數 $f(x) = \log\biggl(\fraction{1 \varplus x}{1 \varminus x}\biggr) \comma$試選出正確的選項。
1. 當 $x < 1$ 時，$f(x)$ 都有意義
2. 當 $f(x)$ 與 $f(-x)$ 都有意義時，$f(-x) = -f(x)$ 成立
3. 若 $f(x) > 0 \comma$則 $x > 0$
4. 存在實數 $a \comma$滿足 $f(a) = -100$
5. 坐標平面上，$y = f(x)$ 的圖形與 $y = 10^{\pfrac{1+x}{1-x}}$ 的圖形對直線 $y = x$ 對稱
坐標平面上兩向量 $\vec{u} \jcomma \vec{v}$ 滿足 $\lvert \vec{u} \varplus \vec{v} \rvert = 2$ 與 $\vec{u} - \vec{v} = (2,2) \period$試選出正確的選項。
1. $\lvert \vec{v} \varplus (1,1) \rvert = 1$
2. $\vec{u} \cdot \vec{v} = -1$
3. $\absvec{v} \leq 2$
4. $\vec{u}$ 不可能與 $\vec{v}$ 平行
5. 若 $\vec{u} \jcomma \vec{v}$ 的夾角為 $\theta \comma$則 $\absvec{u}\,\absvec{v}\sin\theta \leq 2\sqrt{2}$

三、選填題（每題 6 分，共 18 分）

某甲到菜市場買蓮霧、草莓與葡萄共三種水果，每斤的價格依序為 110、190 與 160 元。已知某甲共買了 11 斤半的水果，共花費 1945 元，且草莓比葡萄多買了 2 斤。設蓮霧、草莓與葡萄依序分別買了 $x \jcomma y$ 與 $z$ 斤，將以上訊息寫成三元一次聯立方程式，再利用高斯消去法化簡得到增廣矩陣 $\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & \fraction{23}{2} \\ 0 & 8 & a & \rod{0}{1.5}68 \\ 0 & 0 & 1 & \rod{0}{1}b \end{array}\right] \comma$則 $a = \underline{\maru} \comma b = \underline{\maru} \period$
坐標平面上，一圓 $C$ 的圓心在 $x$ 軸上，且圓 $C$ 與兩直線 $L_1 \colon y = \fraction{4}{3}x \jcomma L_2 \colon y = -\fraction{3}{4}x$ 皆不相交。設圓 $C$ 上的點到 $L_1$ 之最短距離為 $d_1 \comma$圓 $C$ 上的點到 $L_2$ 之最短距離為 $d_2 \period$若 $d_1$ 是 $d_2$ 的三倍，則過原點 $(0,0)$ 且與圓 $C$ 相切的直線，其斜率為 $\underline{\fraction{\maru\sqrt{\rod{2}{0} \maru}}{\maru}} \period$（化為最簡根式）
某甲參加一遊戲，其規則如下：在第一階段連續投擲一公正骰子五次，設隨機變數 $X$ 為出現點數大於 4 點的次數，若 $X \geq 3$ 才可進入第二階段，否則就淘汰。第二階段仍然連續投擲一公正骰子五次，設隨機變數 $Y$ 為出現偶數點數的次數，若 $Y = X - 1$ 才可獲獎，否則就淘汰。則在某甲獲獎的條件下，$X = 3$ 的機率為 $\underline{\fraction{\maru\maru}{\maru\maru\maru}} \period$（化為最簡分數）

四、混合題或非選擇題（共 24 分）

12–14 題為題組。

設 $p(x), q(x)$ 為實係數多項式，已知 $q(x)$ 為首項係數為 1 的二次式，且滿足 $\bigl[q(x)\bigr]^2 = x\displaystyle\int_1^x p(t)\,dt \period$根據上述，試回答下列問題。

試證明 $q(0) = q(1) \period$（非選擇題，2 分）
試求 $p(x) \period$（非選擇題，4 分）
試求多項式函數 $\displaystyle\int_1^x \bigl(p(t) - q(t)\bigr)\,dt$ 在閉區間 $\biggl[\fraction{1}{2}, 3\biggr]$ 上的最大值與最小值。（非選擇題，6 分）

15–17 題為題組。

考慮坐標空間中兩平面 $E_1 \colon x + y + 2z = 2 \jcomma E_2 \colon 2x - y + z = 1 \comma$並設其交線為 $L \period$根據上述，試回答下列問題。

點 $(1,0,0)$ 到 $E_1$ 的距離為 $\underline{\fraction{\sqrt{\rod{2}{0} \maru}}{\maru}} \period$（化為最簡根式）（選填題，2 分）
設另一平面 $E_3$ 與 $L$ 平行且包含直線 \[\begin{split}\begin{cases}x = 3 + t\\ y = -2 - t\\ z = 2 + 3t\end{cases} \comma\end{split}\]$t$ 為實數，試求平面 $E_3$ 的方程式。（非選擇題，4 分）
承 16，設另一平面 $E$ 與三平面 $E_1, E_2, E_3$ 皆垂直，且設 $E$ 分別與 $E_1 \jcomma E_2 \jcomma E_3$ 的三條交線在 $E$ 上所圍出的三角形為 $\Gamma \period$試證明 $\Gamma$ 為正三角形並求 $\Gamma$ 的邊長。（非選擇題，6 分）

參考答案

(4)
(4)
(3)
(1)(2)(3)(5)
(1)(3)(4)(5)
(2)(3)
(2)(3)(4)
(1)(2)(5)
$5 \semicolon 4$
$\fraction{\pm \sqrt{3}}{3}$
$\fraction{80}{101}$
證明略
$3x^2 - 4x + 1$
最大值為 $\fraction{22}{3} \comma$最小值為 0
$\fraction{\sqrt{6}}{6}$
$x - 2y - z = 5$
證明略；邊長為 $2\sqrt{2}$

區間	$(2,3)$	$(4,5)$	$(6,7)$
$f(x)$	正	負	負
$f'(x)$	負	正	負
$f''(x)$	負	負	正