112 年學測數學 A：試題與參考答案

試題／112 年學測數學 A：試題與參考答案

本文包含 112 學年度學科能力測驗數學 A 考科之試題與參考答案。

為便於各式裝置之使用者閱讀，部分題目之排版有略為調整。實際試題與答案以大考中心公布為準。 $ \gdef\vec#1{\smash{\overrightharpoon{#1}}} \gdef\maru{\mathord{\bigcirc}} \gdef\rod#1#2{\rule[0ex]{0pt}{#1ex}\rule[-#2ex]{0pt}{1ex}} $

試題

考試時間：100 分鐘。

一、單選題（每題 5 分，共 30 分）

  1. 若在計算器中鍵入某正整數 $N \comma$接著連按$\text{「}\sqrt{\hspace{.5em}}\text{」}$鍵（取正平方根）3 次，視窗顯示得到答案為 2，則 $N$ 等於下列哪一個選項？

    1. $2^3$
    2. $2^4$
    3. $2^6$
    4. $2^8$
    5. $2^{12}$

  2. 坐標平面上，以原點 $O$ 為圓心、1 為半徑作圓，分別交坐標軸正向於 $A \jcomma$$B$ 兩點。在第一象限的圓弧上取一點 $C$ 作圓的切線分別交兩軸於點 $D \jcomma$$E \comma$如圖所示。令 $\angle\,OEC = \theta \comma$試選出為 $\tan \theta$ 的選項。

    1. $\overline{OE}$
    2. $\overline{OC}$
    3. $\overline{OD}$
    4. $\overline{CE}$
    5. $\overline{CD}$

  3. 某生推導出兩物理量 $s, t$ 應滿足一等式。為了驗證其理論，他做了實驗得到 15 筆兩物理量的數據 $(s_k, t_k)\textrm{，}$$k = 1, \allowbreak \ldots, \allowbreak 15 \textrm{。}$老師建議他將其中的 $t_k$ 先取對數，在坐標平面上標出對應的點 $(s_k, \log t_k)\textrm{，}$$k = 1, \allowbreak \ldots, \allowbreak 15\textrm{，}$如圖所示；其中第一個數據為橫軸坐標，第二個數據為縱軸坐標。利用迴歸直線分析，某生印證了其理論。試問該生所得 $s, t$ 的關係式最可能為下列哪一選項？

    1. $s=2t$
    2. $s=3t$
    3. $t=10^s$
    4. $t^2=10^s$
    5. $t^3=10^s$

  4. 將數字 1、 2、 3、…、 9 等 9 個數字排成九位數（數字不得重複），使得前 5 位從左至右遞增、且後 5 位從左至右遞減。試問共有幾個滿足條件的九位數？

    1. $\rule[-2.3ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{8!}{4!4!}$
    2. $\rule[-2.3ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{8!}{5!3!}$
    3. $\rule[-2.3ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{9!}{5!4!}$
    4. $\rule[-2.3ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{8!}{5!}$
    5. $\rule[-2.3ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{9!}{5!}$

  5. 已知坐標空間中 $P \jcomma$$Q \jcomma$$R$ 為平面 $2x-3y+5z=\sqrt{7}$ 上不共線三點。令 $\vec{PQ} = (a_1, b_1, c_1) \textrm{，}$$\vec{PR} = (a_2, b_2, c_2) \textrm{。}$試選出下列行列式中絕對值為最大的選項。

    1. $\begin{vmatrix}-1&{\hspace{.42em}1\hspace{.42em}}&{\hspace{.42em}1\hspace{.42em}}\\a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\end{vmatrix}$
    2. $\begin{vmatrix}{\hspace{.42em}1\hspace{.42em}}&-1&{\hspace{.42em}1\hspace{.42em}}\\a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\end{vmatrix}$
    3. $\begin{vmatrix}{\hspace{.42em}1\hspace{.42em}}&{\hspace{.42em}1\hspace{.42em}}&-1\\a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\end{vmatrix}$
    4. $\begin{vmatrix}-1&-1&{\hspace{.42em}1\hspace{.42em}}\\a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\end{vmatrix}$
    5. $\begin{vmatrix}-1&-1&-1\\a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\end{vmatrix}$

  6. 坐標空間中，考慮邊長為 1 的正立方體，固定一頂點 $O \textrm{。}$從 $O$ 以外的七個頂點隨機選取相異兩點，設此兩點為 $P \textrm{、}$$Q \textrm{，}$試問所得的內積 $\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$ 之期望值為下列哪一個選項？

    1. $\rule[-2.3ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{4}{7}$
    2. $\rule[-2.3ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{5}{7}$
    3. $\rule[-2.3ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{6}{7}$
    4. $1$
    5. $\rule[-2.3ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{8}{7}$

二、多選題（每題 5 分，共 30 分）

  1. 某公司有甲、乙兩新進員工，兩人同時間入職且起薪相同。公司承諾給甲、乙兩員工調薪的方式如下：

    • 甲： 工作滿 3 個月，下個月開始月薪增加 200 元；以後再每滿 3 個月皆依此方式調薪。

    • 乙： 工作滿 12 個月，下個月開始月薪增加 1000 元；以後再每滿 12 個月皆依此方式調薪。

    根據以上敘述，試選出正確的選項。

    1. 甲工作滿 8 個月後，第 9 個月的月薪比第 1 個月的月薪增加 600 元
    2. 工作滿一年後，第 13 個月甲的月薪比乙的月薪高
    3. 工作滿 18 個月後，第 19 個月甲的月薪比乙的月薪高
    4. 工作滿 18 個月時，甲總共領到的薪水比乙總共領到的薪水少
    5. 工作滿兩年後，在第 3 年 的 12 個月中，恰有 3 個月甲的月薪比乙的月薪高

  2. 某抽獎遊戲單次中獎機率為 0.1，每次中獎與否皆為獨立事件。對每一正整數 $n \textrm{，}$令 $p_n$ 為玩此遊戲 $n$ 次至少中獎 $1$ 次的機率。試選出正確的選項。

    1. $p_{n+1} > p_n$
    2. $p_3 = 0.3$
    3. $\bigl\langle \mkern1mu p_{\mkern-1mu n} \bigr\rangle$ 為等差數列
    4. 玩此遊戲兩次以上，第一次未中獎且第二次中獎的機率等於 $p_2 - p_1$
    5. 玩此遊戲 $n$ 次且 $n \geq 2$ 時，至少中獎 2 次的機率等於 $2p_{\mkern-1mu n}$

  3. 設 $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ 是首項為 3 且公比為 $3\sqrt{3}$ 的等比數列。試選出滿足不等式 $\log_3 a_1 - \log_3 a_2 + \log_3 a_3 - \log_3 a_4 + \cdots + (-1)^{n+1}\log_3 a_n > 18$ 的項數 $n$ 之可能選項。

    1. 23
    2. 24
    3. 25
    4. 26
    5. 27

  4. 考慮坐標平面上的直線 $L \colon 5y+(2k-4)x-10k=0$（其中 $k$ 為一實數），以及長方形 $OABC \comma$其頂點坐標為 $O(0,0) \textrm{、}$$A(10,0) \textrm{、}$$B(10,6) \textrm{、}$$C(0,6) \textrm{。}$設 $L$ 分別交直線 $OC \textrm{、}$直線 $AB$ 於點 $D \textrm{、}$$E \textrm{。}$試選出正確的選項。

    1. 當 $k=4$ 時，直線 $L$ 通過點 $A$
    2. 若直線 $L$ 通過點 $C \comma$則 $L$ 的斜率為 $\rod{3.6}{2.6}{-\dfrac{5}{2}}$
    3. 若點 $D$ 在線段 $\overline{OC}$ 上，則 $0 \leq k \leq 3$
    4. 若 $\rod{3.6}{2.6}k = \dfrac{1}{2} \comma$則線段 $\overline{DE}$ 在長方形 $OABC$ 內部（含邊界）
    5. 若線段 $\overline{DE}$ 在長方形 $OABC$ 內部（含邊界），則 $L$ 的斜率可能為 $\rod{3.6}{2.6}\dfrac{3}{10}$

  5. 坐標平面上，設 $A \jcomma$$B$ 分別表示以原點為中心，順時針、逆時針旋轉 $90^\circ$ 的旋轉矩陣。設 $C \jcomma$$D$ 分別表示以直線 $x=y \jcomma$$x=-y$ 為鏡射軸的鏡射矩陣。試選出正確的選項。

    1. $A \jcomma$$C$ 將點 $(1,0)$ 映射到同一點
    2. $A = -B$
    3. $C = D^{-1}$
    4. $AB = CD$
    5. $AC = BD$

  6. 令 $f(x) = \sin x + \sqrt{3} \cos x \comma$試選出正確的選項。

    1. 鉛直線 $x = \rod{3.6}{1.6}\dfrac{\pi}{6}$ 為 $y = f(x)$ 圖形的對稱軸
    2. 若鉛直線 $x=a$ 和 $x=b$ 均為 $y=f(x)$ 圖形的對稱軸，則 $f(a) = f(b)$
    3. 在區間 $[0,2\pi)$ 中僅有一個實數 $x$ 滿足 $f(x)=\sqrt{3}$
    4. 在區間 $[0,2\pi)$ 中滿足 $f(x)=\rod{3.6}{1.6}\dfrac{1}{2}$ 的所有實數 $x$ 之和不超過 $2\pi$
    5. $y=f(x)$ 的圖形可由 $y=4\sin^2 \dfrac{x}{2}\rod{3.6}{2.6}$ 的圖形經適當（左右、上下）平移得到

三、選填題（每題 5 分，共 25 分）

  1. 某間新開幕飲料專賣店推出果汁、奶茶、咖啡三種飲料，前 3 天各種飲料的銷售數量（單位：杯）與收入總金額（單位：元）如下表，例如第一天果汁、奶茶、咖啡的銷售量分別為 60 杯、80 杯與 50 杯，收入總金額為 12900 元。已知同一種飲料每天的售價皆相同，則咖啡每杯的售價為 $\underline{\bigcirc\bigcirc}$ 元。

    果汁$\hspace{-0.5em}\lparen\textrm{杯}\rparen\hspace{-0.5em}$奶茶$\hspace{-0.5em}\lparen\textrm{杯}\rparen\hspace{-0.5em}$咖啡$\hspace{-0.5em}\lparen\textrm{杯}\rparen\hspace{-0.5em}$收入總金額$\hspace{-0.5em}\lparen\textrm{元}\rparen\hspace{-0.5em}$
    第 1 天60805012900
    第 2 天3040306850
    第 3 天50704010800

  2. 設 $a, b$ 為實數（其中 $a>0\,\rparen\mkern-9mu\comma$若多項式 $ax^2+{(2a+b)x}-12$ 除以 $x^2+{(2-a)x}-2a$ 所得餘式為 6，則數對 $(a, b) = \underline{(\bigcirc, \bigcirc \bigcirc)} \period$

  3. 設 $O \jcomma A \jcomma B$ 為坐標平面上不共線三點，其中向量 $\vec{OA}$ 垂直 $\vec{OB} \period$若 $C \jcomma D$ 兩點在直線 $AB$ 上，滿足 $\vec{OC} = \rod{3.6}{2.6}\dfrac{3}{5}\,\vec{OA} + \rod{3.6}{2.6}\dfrac{2}{5}\,\vec{OB} \jcomma$$3\,\overline{AD} = 8\,\overline{BD} \comma$且 $\vec{OC}$ 垂直 $\vec{OD} \textrm{，}$則 $\rod{3.6}{2.6}\dfrac{\,\raisebox{-.2ex}{$\overline{OB}$}\,}{\raisebox{-.2ex}{$\overline{OA}$}} = \underline{\dfrac{\maru}{\maru}}\textrm{。}$（化為最簡分數）

  4. 令 $E:x+z=2$ 為坐標空間中過三點 $A(2,-1,0) \jcomma B(0,1,2) \jcomma C(-2,1,4)$ 的平面。另有一點 $P$ 在平面 $z=1$ 上且其於 $E$ 之投影點與 $A \jcomma$$B \jcomma$$C$ 三點等距離。則點 $P$ 與平面 $E$ 的距離為 $\underline{\bigcirc\sqrt{\rule[0ex]{0pt}{2ex}\bigcirc}} \period$（化為最簡根式）

  5. 坐標空間中有兩不相交直線 \[\begin{split} L_1 &: \begin{cases} x=1+t\\ y=1-t\\ z=2+t \end{cases} \mkern9mu\comma t\ \textrm{為實數} \jcomma \\ L_2 &: \begin{cases} x=2+2s\\ y=5+s\\ z=6-s \end{cases} \comma s\ \textrm{為實數} \comma \\ \end{split}\] 另一直線 $L_3$ 與 $L_1 \jcomma$$L_2$ 皆相交且垂直。若 $P \jcomma$$Q$ 兩點分別在 $L_1 \jcomma$$L_2$ 上且與 $L_3$ 之距離皆為 3，則 $P \jcomma$$Q$ 兩點的距離為 $\underline{\bigcirc\sqrt{\rule[0ex]{0pt}{2ex}\bigcirc}} \period$（化為最簡根式）

四、混合題或非選擇題（共 15 分）

18–20 題為題組。

坐標平面上 $O$ 為原點，給定 $A(1,0) \jcomma$ $B(-2,0)$ 兩點。另有兩點 $P \jcomma$$Q$ 在上半平面，且滿足 $\overline{AP} = \overline{OA} \textrm{、}$$\overline{BQ} = \overline{OB} \textrm{、}$$\angle\,POQ$ 為直角，如圖所示。令 $\angle\,AOP = \theta \textrm{。}$根據上述，試回答下列問題。

  1. 線段 $\overline{OP}$ 長為下列哪一選項？（單選題，3 分）
    1. $\sin\theta$
    2. $\cos\theta$
    3. $2\sin\theta$
    4. $2\cos\theta$
    5. $\cos 2\theta$
  2. 若 $\sin\theta = \dfrac{3}{5} \comma$試求點 $Q$ 的坐標，並說明 $\vec{BQ} = 2\,\vec{AP} \period$（非選擇題，6 分）
  3. 承 19 題，試求點 $A$ 到直線 $BQ$ 的距離，並求四邊形 $PABQ$ 的面積。（非選擇題，6 分）

參考答案

  1. (4)
  2. (5)
  3. (4)
  4. (1)
  5. (2)
  6. (3)
  7. (3)(5)
  8. (1)(4)
  9. (3)(5)
  10. (1)(3)(5)
  11. (2)(5)
  12. (1)(5)
  13. 80
  14. $(3, -9)$
  15. $\rod{3.6}{2.6}\dfrac{3}{4}$
  16. $2\sqrt{2}$
  17. $5\sqrt{2}$
  18. (4)
  19. $Q$ 點坐標為 $\biggl(-\dfrac{36}{25},\dfrac{48}{25}\biggr)$；證明略
  20. 點 $A$ 到直線 $BQ$ 的距離為 $\rod{3.6}{2.6}\dfrac{72}{25} \textrm{；}$四邊形 $PABQ$ 的面積為 $\rod{3.6}{0}\dfrac{108}{25}$