113 年學測數學 A：試題與參考答案

試題／113 年學測數學 A：試題與參考答案

本文包含 113 學年度學科能力測驗數學 A 考科之試題與參考答案。

為便於各式裝置之使用者閱讀，部分題目之排版有略為調整。實際試題與答案以大考中心公布為準。 $ \gdef\vec#1{\smash{\overrightharpoon{#1}}} \gdef\fraction#1#2{\rod{3.6}{2.5}\dfrac{#1}{#2}} \gdef\varminus{{\mkern1mu-\mkern1mu}} \gdef\conj#1{\mkern2mu\overline{\mkern-2mu#1}} \gdef\maru{\mathord{\bigcirc}} \gdef\rod#1#2{\rule[0ex]{0pt}{#1ex}\rule[-#2ex]{0pt}{1ex}} \gdef\Maru{\raisebox{.3ex}{\boxed{\rule[0ex]{0pt}{1ex}\kern8mu}}} $

試題

考試時間：100 分鐘。

一、單選題（每題 5 分，共 30 分）

  1. 研究顯示：服用某藥物後，在使用者體內的藥物殘留量隨時間呈指數型衰退。已知在服用某藥物 2 小時後，體內仍殘留有該藥物的一半劑量，試問下列哪一選項正確？

    1. 服用 $3$ 小時後，體內仍殘留有該藥物的 $\fraction{1}{3}$ 劑量
    2. 服用 $4$ 小時後，體內仍殘留有該藥物的 $\fraction{1}{4}$ 劑量
    3. 服用 $6$ 小時後，體內仍殘留有該藥物的 $\fraction{1}{6}$ 劑量
    4. 服用 $8$ 小時後，體內仍殘留有該藥物的 $\fraction{1}{8}$ 劑量
    5. 服用 $10$ 小時後，體內仍殘留有該藥物的 $\fraction{1}{10}$ 劑量

  2. 如圖，$OABC{-}\allowbreak DEFG$ 為一正方體，試問向量外積 $\vec{A\.D} \times \vec{AG}$ 與下列哪一個向量平行？

    1. $\vec{A\.E}$
    2. $\vec{BE}$
    3. $\vec{CE}$
    4. $\vec{DE}$
    5. $\vec{OE}$

  3. 設 $a \in \{-6 \cm -4 \cm -2 \cm 2 \cm 4 \cm 6\} \comma$已知 $a$ 為實係數三次多項式 $f(x)$ 的最高次項係數，若函數 $y=f(x)$ 的圖形與 $x$ 軸交於三點，且其 $x$ 坐標成首項為 $-7\textrm{、}$公差為 $a$ 的等差數列。試問共有幾個 $a$ 使得 $f(0)>0 \textrm{？}$

    1. 1 個
    2. 2 個
    3. 3 個
    4. 4 個
    5. 5 個

  4. 試問共有多少個實數 $x$ 滿足 ${\sin\biggl(x + \dfrac{\pi}{6}\biggr)} = \sin x + \sin \dfrac{\pi}{6}$ 且 $0 \leq x < 2\.\pi\textrm{？}$

    1. 1 個
    2. 2 個
    3. 3 個
    4. 4 個
    5. 5 個（含）以上

  5. 將 1 到 50 這 50 個正整數平分成甲乙兩組，每組各 25 個數，使得甲組的中位數比乙組的中位數小 1。試問共有幾種分法？

    1. $C^{50}_{25}$
    2. $C^{48}_{24}$
    3. $C^{24}_{12}$
    4. $\bigl(C^{24}_{12}\bigr){}^2$
    5. $C^{48}_{24} \cdot C^{24}_{12}$

  6. 在同一平面上，相距 7 公里的 $A,B$ 兩砲台，$A$ 在 $B$ 的正東方。某次演習時，$A$ 向西偏北 $\theta$ 方向發射砲彈，$B$ 則向東偏北 $\theta$ 方向發射砲彈，其中 $\theta$ 為銳角，觀測回報兩砲彈皆命中 9 公里外的同一目標 $P \period$接著 $A$ 改向西偏北 $\rule[-2.2ex]{0pt}{3.8ex}\dfrac{\theta}{2}$ 方向發射砲彈，彈著點為 9 公里外的點 $Q \period$試問砲台 $B$ 與彈著點 $Q$ 的距離 $\overline{BQ}$ 為何？

    1. 4 公里
    2. 4.5 公里
    3. 5 公里
    4. 5.5 公里
    5. 6 公里

二、多選題（每題 5 分，共 30 分）

  1. 令坐標平面上滿足 $y = \log x$ 的點 $(x, y)$ 所成圖形為 $\Gamma \comma$試問滿足下列哪些關係式的 $(x,y)$ 所成圖形與 $\Gamma$ 完全相同？

    1. $y + \rod{3.6}{0}\dfrac{1}{2} = \log(5x)$
    2. $2y = \log(x^2)$
    3. $3y = \log(x^3)$
    4. $x = 10^y$
    5. $x^3 = 10^{(\.y^3)}$

  2. 對任一正整數 $n \geq 2 \comma$令 $T_n$ 表示邊長為 $n \cm {n+1} \cm {n+2}$ 的三角形。試選出正確的選項。

    • $\rod{3.6}{0}$（註： $\rod{3.6}{0}\textrm{若}$三角形的三邊長分別為 $a \cm b \cm c \comma$令 $s{\mkern2mu=\mkern2mu}\allowbreak\fraction{a{\.+\.}b{\.+\.}c}{2} \comma$則三角形面積為 $\sqrt{s(s \varminus a)(s \varminus b)(s \varminus c)}\,\rparen$

    1. $T_n$ 皆為銳角三角形
    2. $T_2 \cm T_3 \cm T_4 \cm \ldots \cm T_{10}$ 的周長形成等差數列
    3. $T_n$ 的面積隨 $n$ 增大而增大
    4. $T_5$ 的三高依序形成等差數列
    5. $T_3$ 的最大角大於 $T_2$ 的最大角

  3. 某實驗室蒐集了大量的 $A \jcomma$$B$ 兩相似物種，記錄其身長為 $x$（單位：公分）與體重 $y$（單位：公克），得 $A \jcomma$$B$ 兩物種的平均身長分別為 $\conj{\rule[0ex]{0pt}{1.3ex}x}_A=5.2 \jcomma$$\conj{\rule[0ex]{0pt}{1.3ex}x}_B=6 \comma$標準差分別為 $0.3 \jcomma$$0.1 \period$令 $A \jcomma$$B$ 兩物種的平均體重分別為 $\conj{\rule[0ex]{0pt}{1.3ex}y}_A \jcomma$$\conj{\rule[0ex]{0pt}{1.3ex}y}_B \period$若 $A \jcomma$$B$ 兩物種其體重 $y$ 對身長 $x$ 的迴歸直線分別為 $L_A \colon y=2x-0.6 \jcomma$$L_B \colon y=1.5x+0.4 \comma$相關係數分別為 $0.6 \jcomma$$0.3 \period$今發現一隻身長 $5.6$ 公分、體重 $8.6$ 公克的個體 $P \comma$試選出正確的選項。

    1. $\conj{\rule[0ex]{0pt}{1.3ex}y}_A < \conj{\rule[0ex]{0pt}{1.3ex}y}_B$
    2. $A$ 物種的體重標準差小於 $B$ 物種的體重標準差
    3. 就 $A$ 物種而言，個體 $P$ 的體重與平均體重 $\conj{\rule[0ex]{0pt}{1.3ex}y}_A$ 之差的絕對值大於一個標準差
    4. 點 $(5.6,8.6)$ 到直線 $L_A$ 的距離小於其到直線 $L_B$ 的距離
    5. 點 $(5.6,8.6)$ 與點 $(\conj{\rule[0ex]{0pt}{1.3ex}x}_A,\conj{\rule[0ex]{0pt}{1.3ex}y}_A)$ 的距離小於其到點 $(\conj{\rule[0ex]{0pt}{1.3ex}x}_B,\conj{\rule[0ex]{0pt}{1.3ex}y}_B)$ 的距離

  4. 坐標平面上有一正方形與一正六邊形，正方形在正六邊形的右邊。已知兩正多邊形都有一邊在 $x$ 軸上，且正方形中心 $A$ 與正六邊形中心 $B$ 都在 $x$ 軸的上方，且兩多邊形恰有一個交點 $P \comma$又知正方形的邊長為 $6 \comma$而點 $P$ 到 $x$ 軸的距離為 $2\sqrt{3} \period$試選出正確的選項。

    1. 點 $A$ 到 $x$ 軸的距離大於點 $B$ 到 $x$ 軸的距離
    2. 正六邊形的邊長為 $6$
    3. $\vec{BA} = (7,3-2\sqrt{3})$
    4. $\overline{AP} > \sqrt{10}$
    5. 直線 $AP$ 斜率大於 $-\fraction{1}{\sqrt{3}}$

  5. 考慮二元一次方程組 \[ \begin{cases} ax+6y=6 \\ x+by=1 \end{cases} \comma \] 其係數 $a,b$ 之值分別由投擲一顆公正骰子與一枚均勻硬幣來決定。令 $a$ 值為骰子出現之點數；若硬幣出現正面時 $b$ 值為 1，若硬幣出現反面時 $b$ 值為 2。試選出正確的選項。

    1. 擲出 $a=b$ 的機率為 $\fraction{1}{3}$
    2. 此方程組無解的機率為 $\fraction{1}{12}$
    3. 此方程組有唯一解的機率為 $\fraction{5}{6}$
    4. 硬幣出現反面且此方程組有解的機率為 $\fraction{1}{2}$
    5. 在硬幣出現反面且此方程組有解的條件下，$x$ 值為正的機率為 $\fraction{2}{5}$

  6. 在坐標平面上給定三點 $A(1,0) \jcomma$$B(0,1) \jcomma$$C(-1,0) \comma$令 $\Gamma$ 為 $\triangle\,A\.BC$ 經矩陣 \[ T = \begin{bmatrix}3&0\\a&1\end{bmatrix} \] 變換後的圖形，其中 $a$ 為實數。試選出正確的選項。

    1. 若 $a=0 \comma$則 $\Gamma$ 為等腰直角三角形
    2. $\triangle\,A\.BC$ 的邊上至少有兩點經 $T$ 變換後坐標不變
    3. $\Gamma$ 必有部分落在第四象限
    4. 平面上找得到一個圖形 $\Omega$ 經 $T$ 變換後為 $\triangle\,A\.BC$
    5. $\Gamma$ 的面積為定值

三、選填題（每題 5 分，共 25 分）

  1. 某銷售站銷售甲、乙、丙三型手機，甲手機每支利潤 100 元，乙手機每支利潤 400 元，丙手機每支利潤 240 元。上年度甲、乙、丙手機各賣出 $A,B,C$ 支，平均每支利潤為 260 元；且知銷售甲、乙兩型手機共 $A+B$ 支的平均每支利潤為 280 元。則該站上年度售出的三型手機數量比為 ${A:B:C} = {\underline{\maru}:\underline{\maru}:\underline{\maru}} \period$（化為最簡整數比）
  2. 已知 $f(x) \jcomma$$g(x) \jcomma$$h(x)$ 皆為實係數三次多項式，且除以 $x^2-2x+3$ 的餘式分別為 $x+1 \jcomma$$x-3 \jcomma$$-2 \period$若 $xf(x)+ag(x)+bh(x)$ 可以被 $x^2-2x+3$ 整除，其中 $a,b$ 為實數，則 $a = \underline{\maru\maru} \comma b = \underline{\maru} \period$
  3. 某商場舉辦現場報名的摸彩箱抽獎活動，報名截止後，主持人依報名人數置入同數量的摸彩球，其中有 10 顆被標示為幸運獎，其獎項為 5000 元禮券及 8000 元禮券各 5 顆，每顆球被抽中的機率皆相同，抽後不放回。抽獎前，主辦單位依抽獎個數與報名人數，主持人公告中獎機率皆為 $0.4\,\% \period$開始抽獎後，每人依序抽球，每個人只有一次抽獎機會。若前 100 位參加抽獎者，恰有 1 人抽中 5000 元禮券且沒有人抽中 8000 元禮券，則抽獎順序為第 101 號者可獲禮券金額的期望值為 $\underline{\maru\maru}$ 元。
  4. 坐標平面上，已知向量 $\vec{v}$ 在向量 $(2,-3)$ 方向的正射影長比原長少 1，而在向量 $(3,2)$ 方向的正射影長比原長少 2。若 $\vec{v}$ 與兩向量 $(2,-3),(3,2)$ 的夾角皆為銳角，則 $\vec{v}$ 在向量 $(4,7)$ 方向的正射影長為 $\rule[0ex]{0pt}{3.8ex}\underline{\dfrac{\maru\sqrt{\rule[0ex]{0pt}{2ex}\maru}}{\maru}} \period$（化為最簡根式）
  5. 坐標平面上，在以 $O(0,0) \cm A(0,1) \cm B(1,1) \cm C(1,0)$ 為頂點的正方形（含邊界）內，令 $R$ 為滿足下述條件的點 $P(x,y)$ 所成區域：與點 $P(x,y)$ 的距離為 ${\lvert x - y \rvert}$ 之所有點所成圖形完全落在正方形 $O{}A\.BC$（含邊界）內。則區域 $R$ 的面積為 $\rule[0ex]{0pt}{3.8ex}\underline{\dfrac{\maru}{\maru}} \period$（化為最簡分數）

四、混合題或非選擇題（共 15 分）

18–20 題為題組。

坐標空間中，設 $O$ 為原點，$E$ 為平面 ${x-z=4} \period$試回答下列問題。

  1. 若原點 $O$ 在平面 $E$ 上的投影點為 $Q \comma$且向量 $\vec{OQ}$ 與向量 $(1,0,0)$ 的夾角為 $\alpha \comma$則 $\cos\alpha$ 之值為下列哪一選項？（單選題，3 分）
    1. $\rod{3.6}{2.6}{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$
    2. $\rod{3.6}{2.6}{-\dfrac{1}{2}}$
    3. $\rod{3.6}{2.6}\dfrac{1}{2}$
    4. $\rod{3.6}{2.6}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    5. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
  2. 已知空間中一點 $P(a,b,c)$ 滿足向量 $\vec{OP}$ 與向量 $(1,0,0)$ 的夾角 $\theta \leq \rod{3.6}{2.6}\dfrac{\pi}{6} \period$試說明實數 $a \cm b \cm c$ 滿足不等式 $a^2 \geq {3(b^2+c^2)} \period$（非選擇題，4 分）
  3. 承 19 題，已知點 $P$ 在平面 $E$ 上且 ${b=0} \period$試求 $c$ 的最大可能範圍，並求線段 $\overline{OP}$ 的最小可能長度。（非選擇題，8 分）

參考答案

  1. (2)
  2. (5)
  3. (1)
  4. (2)
  5. (4)
  6. (3)
  7. (3)(4)
  8. (2)(3)
  9. (3)
  10. (3)(5)
  11. (2)(3)
  12. (2)(4)(5)
  13. $2:3:5$
  14. $-3$；$3$
  15. $25$
  16. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
  17. $\dfrac{1}{3}$
  18. (4)
  19. 證明略
  20. $c$ 的範圍為 ${2-2\sqrt{3}} \leq c \leq {2+2\sqrt{3}} \semicolon \overline{OP}$ 長的最小值為 $4\sqrt{3}-4$