代數基本定理
代數基本定理（fundamental theorem of algebra）說明每個至少 1 次的複係數多項式均具有一根；本文簡介其證明。
代數基本定理
準備工作
首先我們證明定理 1 與 2。定理 1 說明至少 1 次的複係數多項式會具有絕對值最小的點；定理 2 則是接續定理 1，說明該最小值事實上就是 0。
我們會基於這兩個定理來證明定理 3（代數基本定理）。
定理 1 設 $n \geq 1$ 為整數，且 $a_0 \cm a_1, \ldots \cm a_{n-1} \in \CC \period$設 $f \colon \CC \to \RR$ 為一函數，其中 \[\begin{split}f(z) = \Biggl| a_0 + \sum_{k=1}^{n-1} a_kz^k + z^n \Biggr| \period\end{split}\]則 $f$ 具有最小值。
證明 設 \[\begin{split}A &= \max\{\lvert a_0 \rvert \cm \lvert a_1 \rvert, \ldots \cm \lvert a_{n-1} \rvert\} \comma \\ R &= \max\{1, \lvert a_0 \rvert + nA\} \period\end{split}\]
定義 $S = \{z \in \CC: \lvert z \rvert \leq R\} \period$我們依序說明：
- 若 $z \in \CC \setminus S \comma$則 $f(z) > f(0) \period$
- 函數 ${f\mkern-1mu}|_S$ 具有最小值。
首先證明 (a)：若 $\lvert z \rvert > R \comma$則由 $R \geq 1$ 與 $R \geq \lvert a_0 \rvert + nA$ 可得 \[\begin{split}f(z) &\geq \lvert z^n \rvert - \Biggl|a_0 + \sum_{k=1}^{n-1} a_kz^k\Biggr| \\ &> R^n - nAR^{n-1} \\ &= R^{n-1}(R - nA) \\ &\geq 1 \cdot \lvert a_0 \rvert \\ &= f(0) \period \end{split}\] 因此 (a) 成立。
由於 $S \subseteq \CC$ 為有界閉集合，故由極值定理可知 ${f\mkern-1mu}|_S$ 具有最小值，(b) 也成立。
由於 $0 \in S \comma$由 (a) 與 (b) 可知 $f$ 具有最小值（即 ${f\mkern-1mu}|_S$ 的最小值）。定理得證。
定理 2 設 $\ell \geq 1$ 與 $m \geq 0$ 為整數，設 $c \cm a_0 \cm a_1, \ldots \cm a_{m-1} \in \CC \comma$並設 $g \colon \CC \to \RR$ 為一函數，其中 \[\begin{split}g(z) = \Biggl|c + z^\ell + \sum_{k=0}^{m-1} a_kz^{\ell+k+1} \Biggr| \period\end{split}\]若 $g$ 在 0 處有最小值，則 $g(0) = 0 \period$
證明 使用反證法。假設 $g(0) \neq 0 \semicolon$由於 $\lvert c \rvert = g(0) \neq 0 \comma$故 $c \neq 0 \period$設 $c = r \exp(i\theta) \comma$其中 $r > 0 \comma$且 $0 \leq \theta < 2\pi \period$
定義 \[\begin{split}M &= \max\,\Biggl\{1, \sum_{k=0}^{m-1} \lvert a_k \rvert \Biggr\} \comma \\[2ex] s &= \min\biggl\{\frac{1}{2M}, \sqrt[\raisebox{0.2ex}{$\scriptstyle \ell$}]{\frac{r}{2}} \biggr\} \comma \\[2ex] \phi &= \frac{\pi + \theta}{\ell} \comma \\[2ex] w &= s \exp(i\pi) \period\end{split}\]
設 $t = s^\ell / r \period$為了導致矛盾，以下我們依序證明：
- $w^\ell = -tc \comma$且 $0 < t < 1 \period$
- $\bigl| \sum_{k=0}^{m-1} a_kw^{k+1} \bigr| \leq 1/2 \period$
- $g(w) < g(0) \period$
首先證明 (a)：我們有 \[\begin{split}w^\ell &= s^\ell \exp(i\.\ell\phi) \\ &= s^\ell \exp(i(\pi \varplus \theta)) \\ &= -s^\ell \exp(i\theta) \\ &= -t \cdot r \exp(i\theta) \\ &= -tc \period\end{split}\]
另外由定義可得 $t > 0$ 與 $t \leq (r/2)(1/r) = 1/2 \comma$故 (a) 成立。
(b) 則由 \[\begin{split}\Biggl| \sum_{k=0}^{m-1} a_kw^{k+1} \Biggr| &\leq \sum_{k=0}^{m-1} \lvert a_k \rvert s^{k+1} \\ &\leq s\sum_{k=0}^{m-1} \lvert a_k \rvert \\[3ex] &\leq sM \\[1ex] &\leq \frac{1}{2}\end{split}\] 得證。
最後證明 (c)：由 (a) 與 (b)，我們有 \[\begin{split}g(w) &= \Biggl|c + w^\ell + \sum_{k=0}^{m-1} a_kw^{\ell+k+1} \Biggr| \\ &\leq \lvert c + w^\ell \rvert + \lvert w^\ell \rvert \Biggl|\sum_{k=0}^{m-1} a_kw^{k+1} \Biggr| \\ &\leq \lvert c(1 - t) \rvert + \frac{s^\ell}{2} \\[1.5ex] &= r(1-t) + \frac{rt}{2} \\[1.5ex] &= r\biggl(1-\frac{t}{2}\biggr) \\ &< r \\[1ex] &= g(0) \comma\end{split}\]故 (c) 成立。
此時我們可以注意到 (c) 和 $g$ 在 0 處有最小值矛盾。因而必須有 $g(0) = 0 \comma$定理得證。
代數基本定理
定理 3（代數基本定理） 設 $n \geq 1$ 為整數，且 $a_0 \cm a_1, \ldots \cm a_{n-1} \in \CC \period$則存在 $w \in \CC$ 使得 \[\begin{split}a_0 + \sum_{k=1}^{n-1} a_kw^k + w^n = 0 \period\end{split}\]
證明 設 \[\begin{split}f(z) = \Biggl| a_0 + \sum_{k=1}^{n-1} a_kz^k + z^n \Biggr| \comma\end{split}\]我們只需要證明 $f$ 有可能取值為 0 即可。
根據定理 1，$f$ 具有最小值；設 $w \in \CC$ 使得 $f$ 在 $w$ 具有最小值。
定義 $b_0 \cm b_1, \ldots \cm b_{n-1} \in \CC \comma$使得 \[\begin{split}&b_0 + \sum_{k=1}^{n-1} b_kz^k + z^n \\ &= a_0 + \sum_{k=1}^{n-1} a_k(z \varminus w)^k + (z \varminus w)^n\end{split}\]對所有 $z \in \CC$ 成立，並定義 $b_n = 1 \period$
設 $\ell$ 為 $\{1 \cm 2,\ldots, n\}$ 中滿足 $b_\ell \neq 0$ 的最小可能值。設 $g \colon \CC \to \RR$ 滿足 \[\begin{split}g(z) = \frac{1}{\lvert b_\ell \rvert} f(z-w) \semicolon\end{split}\]我們有 \[\begin{split} g(z) &= \frac{1}{\lvert b_\ell \rvert}\Biggl| a_0 + \sum_{k=1}^{n-1} a_k(z \varminus w)^k + (z \varminus w)^n \Biggr| \\ &= \Biggl|\frac{1}{b_\ell}\Biggl(b_0 + \sum_{k=1}^n b_kz^k\Biggr)\Biggr| \\ &= \Biggl|\frac{b_0}{b_\ell} + z^\ell + \sum_{j=0}^{n-\ell-1} \frac{b_{\ell+j+1}}{b_\ell}z^{\ell+j+1} \Biggr| \period \end{split}\]
由於 $f$ 在 $w$ 處有最小值，故 $g$ 在 0 處有最小值。由定理 2 可得 $g(0) = 0 \comma$即 $f(w) = 0 \comma$因而定理得證。