學測數學 A・數學 B 概念一覽

觀念 1（有理數與無理數） 能標示在數線上的數稱為實數。

• 對任意實數 $r \comma$如果能找到整數 $m$ 與正整數 $n$ 使得 $r = \fraction{m}{n} \comma$則我們稱 $r$ 為有理數；否則，我們稱 $r$ 為無理數。

以下介紹常用的性質：

1. 有理數對四則運算的封閉性：若 $a \jcomma b$ 是有理數，則 $a + b \jcomma a - b \jcomma ab$ 均為有理數；當 $b \neq 0$ 時，$\fraction{a}{b}$ 亦為有理數。
2. 有理數在實數中的稠密性：對任意滿足 $a < b$ 的實數 $a \jcomma b \comma$均存在有理數 $r$ 使得 $a < r < b \period$
3. 有限小數和無限循環小數均為有理數，而無限不循環小數為無理數。
4. 若 $n$ 是正整數但不是完全平方數，則 $\sqrt{n}$ 是無理數。
5. 若有理數 $a \jcomma b \jcomma c \jcomma d$ 與無理數 $r$ 滿足 $a + br = c + dr \comma$則 $(a, b) = (c, d) \period$

觀念 2（乘法公式） 

與平方有關的公式：

1. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \period$
2. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \period$
3. $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \period$

與立方有關的公式：

1. $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \period$
2. $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \period$
3. $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \period$
4. $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \period$

觀念 3（根式的計算） 

基本規則：

1. 對任意正實數 $a \jcomma b \comma$有 $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ 與 $\fraction{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}} \period$
2. 對任意實數 $a \comma$有 $\sqrt{a^2} = \abs{a} \period$

有理化分母：假設 $a > b > 0 \period$

1. $\fraction{1}{\sqrt{a}} = \fraction{\sqrt{a}}{a} \period$
2. $\fraction{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \fraction{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} \period$
3. $\fraction{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \fraction{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b} \period$

雙重根式：假設 $a > b > 0 \period$

1. $\sqrt{a + b + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \period$
2. $\sqrt{a + b - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \period$

觀念 4（算幾不等式） 對任意非負實數 $a \jcomma b \comma$下列敘述成立：

1. $\fraction{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \period$
2. 若 $\fraction{a+b}{2} = \sqrt{ab} \comma$則 $a = b \period$

觀念 5（絕對值） 對任意實數 $x \comma$我們定義 \[\begin{split} \abs{x} = \begin{cases} x & \when x \geq 0 \\ -x & \when x < 0 \end{cases} \period \end{split}\]

絕對值的性質：

1. 數線上 $A(a)$ 與 $B(b)$ 兩點間的距離為 $\abs{a \varminus b} \period$
2. $\abs{a} \geq 0$ 必定成立。
3. $\abs{a} = \abs{-a} \period$
4. $\abs{a}\abs{b} = \abs{ab} \semicolon$若 $b \neq 0 \comma$則 $\fraction{\abs{a}}{\abs{b}} = \biggl|\fraction{a}{b}\biggr| \period$
5. $\abs{a}^2 = a^2 \period$

觀念 6（內分點公式） 設 $A(a) \jcomma B(b)$ 為數線上兩點。

• 內分點公式：若數線上有一點 $P(x)$ 在 $\overline{AB}$ 上，且滿足 $\overline{PA}:\overline{PB} = m:n \comma$則 \[\begin{split}x = \fraction{na \varplus mb}{m \varplus n} \period\end{split}\]

觀念 1（多項式） 我們將形如 \[\begin{split}\rod{2.5}{0}f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0\end{split}\] 的式子稱為 $x$ 的多項式；若 $a_n \neq 0 \comma$則 $f(x)$ 的次數為 $n \comma$記作 $\deg f(x) = n \period$

• 若 $f(x) = 0 \comma$則 $f(x)$ 稱為零多項式，不具次數。

備註　以下我們將「零多項式」與「次數不大於 $n$ 的多項式」合稱為「至多 $n$ 次的多項式」。

係數和的求法：

1. $a_0 = f(0) \period$
2. $a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n = f(1) \period$
3. $a_0 - a_1 + a_2 - \cdots + (-1)^na_n = f(-1) \period$
4. 偶數次項和等於 $\fraction{f(1) \varplus f(-1)}{2} \comma$奇數次項和等於 $\fraction{f(1) \varminus f(-1)}{2} \period$

觀念 2（多項式的除法原理） 設 $f(x) \jcomma g(x)$ 均為多項式，其中 $g(x)$ 不為零多項式，且 $\deg g(x) = m \period$

此時會有唯一一組商式 $q(x)$ 與餘式 $r(x)$ 滿足以下條件：

1. $f(x) = g(x)q(x) + r(x) \period$
2. $r(x)$ 是至多 $m - 1$ 次的多項式。

如果要將 $f(x)$ 除以一次因式 $x \varminus k \comma$可以採用綜合除法，如圖 1 所示：

1. 將多項式 $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0$ 的係數寫在第一列；除式為 $x \varminus k$ 時，將 $k$ 記在第一列的最右側。
2. 依序由左而右計算 $b_{n-1} \jcomma {b_{n-2} \jcomma \cdots} \jcomma b_0$ 與 $r \period$
3. 此時 $q(x) = b_{n-1}x^{n-1} + b_{n-2}x^{n-2} + \cdots + b_0$ 即為商式，而 $r$ 即為餘式。

觀念 3（餘式定理與因式定理） 設 $f(x)$ 為一多項式。

• 餘式定理：$f(x)$ 除以 $x \varminus k$ 的餘式為 $f(k) \period$
• 因式定理：$f(x)$ 可以被 $x \varminus k$ 整除的充要條件為 $f(k) = 0\period$

觀念 4（一次函數） 設 $f(x) = ax + b$ 為一次函數，其中 $a \neq 0 \period$

此時圖形 $y = ax + b$ 為一直線，其特徵如下：

1. 斜率為 $a \period$當 $a > 0$ 時，圖形由左而右上升；當 $a < 0$ 時，圖形由左而右下降。
2. 與 $y$ 軸交於 $(0, b) \period$
3. 與 $x$ 軸交於 $\biggl(\fraction{-b}{a}, 0\biggr) \period$

觀念 5（二次函數） 設 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 為二次函數，其中 $a \neq 0 \period$

• 給定二次函數 $f(x) = ax^2 + bx + c \comma$我們可以將其配方為 $f(x) = a(x \varminus h)^2 + k \comma$其中 \[\begin{split}(h, k) = \biggl(\fraction{-b}{2a}, \fraction{4ac-b^2}{4a}\biggr) \period\end{split}\]

此時圖形 $y = a(x \varminus h)^2 + k$ 為一拋物線，其特徵如下：

1. 當 $a > 0$ 時，圖形開口向上；當 $a < 0$ 時，圖形開口向下。若 $\abs{a}$ 越大，則圖形開口越小。
2. 頂點為 $(h, k) = \biggl(\fraction{-b}{2a}, \fraction{4ac-b^2}{4a}\biggr) \period$
3. 圖形具有對稱軸 $x = h \comma$即 $x = \fraction{-b}{2a} \period$
4. 與 $y$ 軸交於 $(0, c) \period$

利用判別式 $D = b^2 - 4ac$ 可以判斷 $ax^2 + bx + c = 0$ 是否具有實數解：

• 若 $D > 0 \comma$則有 2 個實數解。
• 若 $D = 0 \comma$則有 1 個實數解（為二重根）。
• 若 $D < 0 \comma$則沒有實數解。

觀念 6（廣域特徵與局域特徵） 設 $f(x) = a_nx^n + \cdots + a_1x + a_0 \comma$其中 $a_n \neq 0 \period$

1. 廣域特徵：$y = f(x)$ 圖形的廣域特徵近似於 $y = a_nx^n \period$
2. 局域特徵：假設 $f(x)$ 也可以表示為 \[\begin{split}b_n(x \varminus k)^n + \cdots + b_1(x \varminus k) + b_0 \comma\end{split}\]此時 $y = f(x)$ 在 $x = k$ 附近的一次近似為 $y = b_1(x \varminus k) + b_0 \period$

觀念 7（三次函數） 設 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ 為三次函數，其中 $a \neq 0 \period$

• 給定三次函數 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \comma$我們可以將其配方為 \[\begin{split}\rod{2.5}{0}f(x) = a(x \varminus h)^3 + p(x \varminus h) + k \comma\end{split}\]其中 $h = \fraction{-b}{3a} \period$

此時圖形 $y = a(x \varminus h)^3 + p(x \varminus h) + k$ 的特徵如下：

1. 當 $a > 0$ 時，圖形的廣域特徵是由左而右上升；當 $a < 0$ 時，圖形的廣域特徵是由左而右下降。
2. 對稱中心為 $(h, k) = \biggl(\fraction{-b}{3a}, f\biggl(\fraction{-b}{3a}\biggr)\biggr) \period$
3. 圖形在對稱中心附近的局域特徵近似於直線 $y = p(x \varminus h) + k \comma$其斜率為 $p \period$

觀念 8（多項式不等式） 此處以不等式 \[\begin{split}\rod{2.5}{0}(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 1) \geq 0\end{split}\] 為例，說明解多項式不等式的步驟。

1. 首先將多項式分解為一次因式的乘積：上述不等式可以改寫成 $(x \varminus 2) \allowbreak (x \varminus 1) \allowbreak (x \varminus 1) \allowbreak (x \varplus 1) \geq 0 \period$

   備註　有時多項式在分解時會帶有恆正的二次因式（例如 $x^2 + 4x + 5 = (x \varplus 2)^2 + 1 \rparen \mkern-9mu \comma$可以直接去除；除以正數不會影響不等式。

2. 找出會使左式為 0 的 $x$ 值，將其由小到大排序：有 $-1 \jcomma 1 \jcomma 2 \period$

3. 這些點會把數線分割為四個區間，我們判斷多項式在這些區間的正負：

   1. $x < -1$ 時，左式為正。
   2. $-1 < x < 1$ 時，左式為負。
   3. $1 < x < 2$ 時，左式為負。
   4. $x > 2$ 時，左式為正。

4. 最後注意 $x = -1$ 或 1 或 2 時，會使多項式的值為 0，因此也會使不等式成立。因此不等式的解為 \[\begin{split}x \leq -1\ \textrm{或}\ x = 1\ \textrm{或}\ x \geq 2 \period\end{split}\]

觀念 1（等差與等比數列） 等差與等比數列是兩種常見的數列。

• 等差數列是指後項與前項之差為定值（稱為公差）的數列。

  若等差數列 $\langle a_n \rangle$ 的首項為 $a_1 \jcomma$公差為 $d \comma$則第 $n$ 項為 $a_n = a_1 + (n \varminus 1)d \period$

• 等比數列是指後項與前項之比值為定值（稱為公比）的數列。

  若等比數列 $\langle a_n \rangle$ 的首項為 $a_1 \jcomma$公比為 $r \comma$則第 $n$ 項為 $a_n = a_1r^{n-1} \period$

觀念 2（遞迴式） 數列可以利用遞迴式構造。

一些利用遞迴式構造數列的常見例子：

1. 遞迴式 $\begin{cases}a_1 = a \\ a_n = a_{n-1} + d\ (n \geq 2)\end{cases}$ 對應至首項 $a \jcomma$公差 $d$ 之等差數列 $\langle a_n \rangle \period$
2. 遞迴式 $\begin{cases}a_1 = a \\ a_n = ra_{n-1}\ (n \geq 2)\end{cases}$ 對應至首項 $a \jcomma$公比 $r$ 之等比數列 $\langle a_n \rangle \period$

觀念 3（數學歸納法） 設 $P_n$ 是一個與正整數 $n$ 有關的敘述。

此時 $P_n$ 對所有正整數 $n$ 均成立的充要條件如下：

1. $P_1$ 成立。
2. 對所有正整數 $k \comma$若 $P_k$ 成立，則 $P_{k+1}$ 成立。

觀念 4（等差級數與等比級數） 

1. 等差級數和公式：首項為 $a_1 \jcomma$公差為 $d$ 之等差數列的前 $n$ 項和為 \[\begin{split}S_n &= \fraction{n(a_1 \varplus a_n)}{2} \\ &= \fraction{n[2a_1 + (n \varminus 1)d]}{2} \period\end{split}\]
2. 等比級數和公式：首項為 $a_1 \jcomma$公比為 $r$ 之等比數列的前 $n$ 項和為 \[\begin{split}S_n &= \fraction{a_1(1 - r^n)}{1 - r} \period\end{split}\]

觀念 5（級數和公式） 

常用的級數求和公式：

1. $1 + 2 + \cdots + n = \fraction{n(n \varplus 1)}{2} \period$
2. $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \fraction{n(n \varplus 1)(2n \varplus 1)}{6} \period$
3. $1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \biggl[\fraction{n(n \varplus 1)}{2}\biggr]^2 \period$

觀念 1（百分位數） 設 $X \colon x_1 \cm x_2, \ldots \cm x_n$ 為一組由小到大排序的資料。

利用以下規則可求得資料 $X$ 的第 $q$ 百分位數：

1. 計算 $k = \fraction{qn}{100} \comma$並設 $m$ 為滿足 $m \leq k < m \varplus 1$ 的整數。
2. 若 $k$ 不為整數，則第 $q$ 百分位數即為 $x_{m+1} \semicolon$若 $k$ 為整數（此時 $k = m \rparen \mkern-9mu \comma$則第 $q$ 百分位數為 $\fraction{x_m \varplus x_{m+1}}{2} \period$

第 25、50、75 百分位數分別稱為第一四分位數、中位數（第二四分位數）、第三四分位數。

觀念 2（算術平均數與幾何平均數） 設 $X \colon x_1 \cm x_2, \ldots \cm x_n$ 為一組資料。

1. $X$ 的算術平均數為 $\fraction{x_1 \varplus x_2 \varplus \cdots \varplus x_n}{n} \period$

   若需要考慮權重，且 $x_i$ 對應的權重為 $w_i \lparen 1 \leq i \leq n \rparen \mkern-9mu \comma$則可以計算加權平均數 \[\begin{split}\fraction{x_1w_1 \varplus x_2w_2 \varplus \cdots \varplus x_nw_n}{w_1 \varplus w_2 \varplus \cdots \varplus w_n} \period\end{split}\]

2. $X$ 的幾何平均數為 $\root{n\!}{\rod{2}{0}x_1x_2 \cdots x_n} \period$

觀念 3（變異數與標準差） 設 $X \colon x_1 \cm x_2, \ldots \cm x_n$ 為一組資料。

1. $X$ 的算術平均數為 \[\begin{split}\mu_X = \fraction{x_1 + \cdots + x_n}{n} \period\end{split}\]
2. $X$ 的變異數為 \[\begin{split}{\sigma_{\!X}}^{\!2} &= \fraction{\rod{2}{0}(x_1 \varminus \mu_X)^2 + \cdots + (x_n \varminus \mu_X)^2}{n} \\ &= \fraction{x_1^2 + \cdots + x_n^2 - n{\mu_{\?X}}^{\!2}}{n} \period\end{split}\]
3. $X$ 的標準差為 \[\begin{split}\sigma_{\!X} &= \sqrt{\fraction{\rod{2}{0}(x_1 \varminus \mu_X)^2 + \cdots + (x_n \varminus \mu_X)^2}{n}} \\ &= \sqrt{\fraction{x_1^2 + \cdots + x_n^2 - n{\mu_{\?X}}^{\!2}}{n}} \period\end{split}\]

若利用 $y_i = ax_i + b \lparen 1 \leq i \leq n \.\rparen\!$得到一組資料 $Y \colon y_1 \cm y_2, \ldots \cm y_n \comma$則會有以下性質：

1. $\mu_Y = a\mu_X + b \period$
2. $\sigma_{\!Y} = \abs{a}\sigma_{\!X} \period$

觀念 4（標準化） 設 $X \colon x_1 \cm x_2, \ldots \cm x_n$ 為一組資料，其中 $\sigma_{\!X} \neq 0 \period$

若利用 $z_i = \fraction{x_i - \mu_X}{\sigma_{\!X}} \lparen 1 \leq i \leq n \.\rparen\!$ 得到一組資料 $Z \colon z_1 \cm z_2, \ldots \cm z_n \comma$則我們稱資料 $Z$ 為經過標準化的資料，具有以下性質：

1. $\mu_Z = 0 \period$
2. $\sigma_{\!Z} = 1 \period$

觀念 5（相關係數） 設 $(X, Y) \colon (x_1, y_1) \cm (x_2, y_2), \ldots \cm (x_n, y_n)$ 為一組二維資料，其中 $\sigma_{\!X}$ 與 $\sigma_{\!Y}$ 均不為 0。

此時我們定義 $X$ 與 $Y$ 的相關係數為 $r_{XY} = \fraction{S_{XY}}{\sqrt{S_{XX}S_{YY}}} \comma$其中 \[\begin{split} \rod{2.5}{0} S_{XX} &= (x_1 \varminus \mu_X)^2 + \cdots + (x_n \varminus \mu_X)^2 \comma \\[1.2ex] S_{YY} &= (\.y_1 \varminus \mu_Y)^2 + \cdots + (\.y_n \varminus \mu_Y)^2 \comma \\[1.2ex] S_{XY} &= (x_1 \varminus \mu_X)(\.y_1 \varminus \mu_Y) \\ &\qquad+ \cdots + (x_n \varminus \mu_X)(\.y_n \varminus \mu_Y) \period \\ \end{split}\]

相關係數 $r_{XY}$ 具有以下性質：

1. $-1 \leq r_{XY} \leq 1$ 恆成立。
2. $\lvert \.r_{XY} \rvert$ 的大小代表 $X$ 與 $Y$ 的相關程度。

若利用 $u_i = ax_i + b$ 與 $v_i = cy_i + d \lparen 1 \leq i \leq n \rparen$得到一組新的資料 $(U, V) \colon (u_1, v_1) \cm (u_2, v_2), \ldots \cm (u_n, v_n) \comma$其中 $a \jcomma c$ 均不為 0，則 $U$ 與 $V$ 的相關係數 $r_{UV}$ 會具有以下性質：

1. 若 $ac > 0 \comma$則 $r_{UV} = r_{XY} \period$
2. 若 $ac < 0 \comma$則 $r_{UV} = -r_{XY} \period$

觀念 6（迴歸直線） 設 $(X, Y) \colon (x_1, y_1) \cm (x_2, y_2), \ldots \cm (x_n, y_n)$ 為一組二維資料，其中 $\sigma_{\!X}$ 與 $\sigma_{\!Y}$ 均不為 0。

若有一條直線方程式 $y = ax + b$ 可以讓殘差平方和 \[\begin{split}\rod{2.5}{0}&[\.y_1 \varminus (ax_1 \varplus b_1)]^2 \\ &\quad + \cdots + [\.y_n \varminus (ax_n \varplus b_n)]^2\end{split}\] 最小，我們就稱 $y = ax + b$ 為 $y$ 對 $x$ 的迴歸直線方程式。

經由推導，可知 $y$ 對 $x$ 的迴歸直線方程式為 \[\begin{split}y - \mu_Y = r_{XY} \cdot \fraction{\sigma_{\!Y}}{\sigma_{\!X}}(x - \mu_X) \comma\end{split}\]或者也可以寫作 \[\begin{split}y - \mu_Y = \fraction{S_{XY}}{S_{XX}}(x - \mu_X) \period\end{split}\]

觀念 1（敘述） 可明確判別真假的句子稱為敘述。

• 例如「3 是質數」為真敘述，而「4 是質數」為假敘述。

有時我們會考慮複合的敘述：

1. 敘述「$P$ 且 $Q$」只在 $P$ 與 $Q$ 都成立時才會成立。
2. 敘述「$P$ 或 $Q$」在 $P$ 與 $Q$ 中至少一敘述成立時就會成立。

我們也會考慮敘述之間的關係：

1. 如果每次敘述 $P$ 成立時敘述 $Q$ 總是成立，則 $P$ 是 $Q$ 的充分條件，$Q$ 是 $P$ 的必要條件。
2. 如果敘述 $Q$ 既是敘述 $P$ 的充分條件也是敘述 $P$ 的必要條件，則我們稱 $Q$ 是 $P$ 的充分必要條件（充要條件）。

觀念 2（集合） 我們將由一組物件構成的群體稱為集合，其中這些物件稱為該集合的元素。

若 $x$ 是集合 $S$ 的元素，則記作 $x \in S \semicolon$若 $x$ 不是集合 $S$ 的元素，則記作 $x \notin S \period$集合 $S$ 的元素個數記作 $n(S) \period$

我們可以利用列舉或描述的方式定義一個集合。

• 例如要定義 $S$ 是由 1、2、3 這三個元素所構成的集合，我們可以寫作 $S = \{1, 2, 3\}$ 或 $S = \{x \mid 1 \leq x \leq 3\ \text{且}\ x\ \text{為整數}\} \period$

以下是一些基本概念：

1. 不具有元素的集合稱為空集合，記作 $\varnothing \period$
2. 對任意集合 $A \jcomma B \comma$如果每一個 $A$ 的元素也都是 $B$ 的元素，則我們稱 $A$ 是 $B$ 的子集，記作 $A \subseteq B \period$
3. 常用的集合運算： \[\begin{split} A \cup B = \{x \mid x \in A\ \text{或}\ x \in B\} \comma \\ A \cap B = \{x \mid x \in A\ \text{且}\ x \in B\} \comma \\ A - B = \{x \mid x \in A\ \text{且}\ x \notin B\} \period \end{split}\]
4. 在表示數線上的範圍時，可以使用區間的記號： \[\begin{split} [a, b] &= \{x \mid a \leq x \leq b\} \comma \\ (a, b) &= \{x \mid a < x < b\} \comma \\ [a, b) &= \{x \mid a \leq x < b\} \comma \\ (a, b] &= \{x \mid a < x \leq b\} \comma \\ [a, \infty) &= \{x \mid x \geq a\} \comma \\ (a, \infty) &= \{x \mid x > a\} \comma \\ (-\infty, a] &= \{x \mid x \leq a\} \comma \\ (-\infty, a) &= \{x \mid x < a\} \period \\ \end{split}\]

觀念 3（加法原理與乘法原理） 

1. 加法原理：若完成某任務的方法恰可分成 $k$ 種類別，其中任兩類別均不重複，且第 $i$ 類有 $m_i$ 種完成方法$\lparen 1 \leq i \leq k \rparen \mkern-9mu \comma$則此任務共有 $m_1 + \cdots + m_k$ 種完成方法。
2. 乘法原理：若完成某任務的方法恰可分成 $k$ 個步驟，其中第 $i$ 步驟有 $m_i$ 種完成方法$\lparen 1 \leq i \leq k \rparen \mkern-9mu \comma$則此任務共有 $m_1 \times \cdots \times m_k$ 種完成方法。

觀念 4（取捨原理） 

1. 若 $A \jcomma B$ 為兩集合，則 \[\begin{split}n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \period\end{split}\]
2. 若 $A \jcomma B \jcomma C$ 為三集合，則 \[\begin{split}&\;n(A \cup B \cup C) \\ &= n(A) + n(B) + n(C) \\ &\quad- n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) \\ &\quad+ n(A \cap B \cap C) \period\end{split}\]

觀念 5（階乘、排列與組合） 對任意正整數 $n \comma$我們定義 $n! = n \times (n \varminus 1) \times \cdots \times 1 \period$此外，我們定義 $0! = 1 \period$

相異物件的排列與組合：

1. 從 $n$ 個相異物件中選出 $k$ 個，並排成一列的方法數為 \[\begin{split}P^n_k &= n \times \cdots \times (n \varminus k \varplus 1) \\ &= \fraction{n!}{(n \varminus k)!} \period\end{split}\]

   特別地，將 $n$ 個相異物件排成一列的方法數即為 $P^n_n = n! \period$

2. 從 $n$ 個相異物件中選出 $k$ 個（且不考慮順序）的方法數為 \[\begin{split}C^n_k = \fraction{P^n_k}{k!} = \fraction{n!}{k!(n \varminus k)!} \period\end{split}\]

觀念 6（含有相同物的排列） 假設有 $k$ 種物件，其中第 $i$ 種物件有 $m_i$ 個$\lparen 1 \leq i \leq k \rparen \mkern-9mu \comma$共有 $n = m_1 + m_2 + \cdots + m_k$ 個物件。

若要將這 $n$ 個物件排成一列，則總共有 $\fraction{n!}{m_1! m_2! \cdots m_k!}$ 種排法。

觀念 7（二項式定理） 對任意正整數 $n \comma$

\[\begin{split} (a + b)^n &= C^n_0 a^n + C^n_1a^{n-1}b + \cdots \\ &\hspace{1.15em} {}+ C^n_ka^{n-k}b^k + \cdots + C^n_nb^n \period \end{split}\]

觀念 8（常用的組合數公式） 對任意滿足 $0 \leq k \leq n$ 的整數 $n \jcomma k \comma$下列敘述成立：

1. $C^n_k = C^n_{n-k} \period$
2. $C^n_k + C^n_{k+1} = C^{n+1}_{k+1} \lparen 0 \leq k \leq n \varminus 1 \rparen \mkern-9mu \period$
3. $C^n_0 + C^n_1 + \cdots + C^n_n = 2^n \period$
4. $C^k_k + C^{k+1}_k + \cdots + C^n_k = C^{n+1}_{k+1} \period$

觀念 1（樣本空間與事件） 進行一次試驗時，所有可能結果所構成的集合 $S$ 稱為樣本空間，其中樣本空間的元素則稱為樣本點。樣本空間 $S$ 的每一個子集合均稱為一事件。

1. 樣本空間 $S$ 為全事件；空集合 $\varnothing$ 為空事件。
2. 對任意事件 $A \jcomma B \comma$事件 $A \cup B$ 稱為 $A \jcomma B$ 的和事件，而事件 $A \cap B$ 則稱為 $A \jcomma B$ 的積事件。
3. 對任意事件 $A \comma$事件 $S - A$ 稱為 $A$ 的餘事件。
4. 對任意事件 $A \jcomma B \comma$若 $A \cap B = \varnothing \comma$則 $A \jcomma B$ 為互斥事件。

觀念 2（古典機率） 設 $S$ 為某一試驗的樣本空間（其元素個數有限），而 $A$ 為任一事件。

若此試驗每一種結果發生的機會均等，則事件 $A$ 發生的機率為 $P(A) = \fraction{n(A)}{n(S)} \period$

觀念 3（機率的基本性質） 設 $S$ 為某一試驗的樣本空間，而 $A \jcomma B$ 為任意事件。

此時我們有以下關於機率的基本性質：

1. $P(S) = 1 \comma$且 $P(\varnothing) = 0 \period$
2. $P(S \varminus A) = 1 - P(A) \period$
3. 取捨原理：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \period$

觀念 4（期望值） 設一試驗的樣本空間為 $S \comma$且 $S$ 可被劃分為事件 $A_1 \jcomma A_2 \jcomma \cdots \jcomma A_k \period$也就是說，我們假設以下條件成立：

1. $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_k = S \period$
2. $A_1 \jcomma A_2 \jcomma \cdots \jcomma A_k$ 兩兩互斥。

此時若事件 $A_i$ 發生時會對應一數值 $e_i \lparen 1 \leq i \leq k \rparen \mkern-9mu \comma$則該數值的期望值定義為 \[\begin{split}E = e_1P(A_1) + e_2P(A_2) + \cdots + e_kP(A_k) \period\end{split}\]

觀念 5（條件機率） 設 $A \jcomma B$ 為兩事件，其中 $P(A) > 0 \period$此時我們定義在事件 $A$ 發生的條件下，事件 $B$ 發生的機率為 \[\begin{split} P(B \mid A) = \fraction{P(A \cap B)}{P(A)} \period \end{split}\]

由此我們可以得到機率的乘法法則：\[\begin{split}P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) \period\end{split}\]

觀念 6（獨立事件） 對任意事件 $A \jcomma B \comma$若 \[\begin{split}P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \comma\end{split}\]則我們稱 $A \jcomma B$ 兩事件獨立。

對任意事件 $A \jcomma B \jcomma C \comma$若下列條件均成立，則我們稱 $A \jcomma B \jcomma C$ 三事件獨立：

1. $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \period$
2. $P(A \cap C) = P(A) \cdot P(C) \period$
3. $P(B \cap C) = P(B) \cdot P(C) \period$
4. $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) \period$

觀念 7（貝氏定理） 設樣本空間可以分割為 $A \jcomma A'$ 兩事件，且 $B$ 為滿足 $P(B) > 0$ 的一事件，則 \[\begin{split}P(A \mid B) = \fraction{P(A)P(B \mid A)}{P(A)P(B \mid A) + P(A')P(B \mid A')} \period\end{split}\]

觀念 1（直線方程式） 以下是一些直線方程式常見的寫法：

1. 點斜式：經過點 $(x_0, y_0)$ 且斜率為 $m$ 的直線方程式為 \[\begin{split}y \varminus y_0 = m(x \varminus x_0) \period\end{split}\]
2. 斜截式：斜率為 $m$ 且與 $y$ 軸交於 $(0, k)$ 的直線方程式為 \[\begin{split}y = mx + k \period\end{split}\]

此外，直線方程式也可以寫作一般式 \[\begin{split}ax + by + c = 0 \period\end{split}\]

• 其中 $\vec{n} = (a, b)$ 即為該直線的法向量，而 $\vec{v} = (b, -a)$ 則為該直線的方向向量。
• 當 $b \neq 0$ 時，直線的斜率為 $\fraction{-a}{b} \period$

觀念 2（直線的平行與垂直） 設 $L_1 \jcomma L_2$ 為坐標平面上兩條相異直線，且均不為鉛直線；設 $L_1 \jcomma L_2$ 的斜率分別為 $m_1 \jcomma m_2 \period$

1. $L_1$ 與 $L_2$ 平行的充要條件為 $m_1 = m_2 \period$
2. $L_1$ 與 $L_2$ 垂直的充要條件為 $m_1m_2 = -1 \period$

觀念 3（兩直線的關係） 設 \[\begin{split}L_1 \colon a_1x + b_1y &= c_1 \jcomma \\ L_2 \colon a_2x + b_2y &= c_2\end{split}\] 為坐標平面上兩直線。

此時 $L_1 \jcomma L_2$ 兩直線的關係可由聯立方程組 $\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$ 的解的狀況判斷，可區分成以下三種狀況：

1. 方程組恰有一組解：$L_1$ 與 $L_2$ 相交於一點。
2. 方程組無解：$L_1$ 與 $L_2$ 平行。
3. 方程組有無限多組解：$L_1$ 與 $L_2$ 重合。

觀念 4（距離） 

1. 點 $(x_0, y_0)$ 到直線 \[\begin{split}L \colon ax + by + c = 0\end{split}\] 的距離為 $\fraction{\lvert ax_0 \varplus by_0 \varplus c \rvert}{\sqrt{a^2 + b^2}} \period$
2. 兩平行直線 \[\begin{split}L_1 \colon ax + by + c_1 &= 0 \jcomma \\ L_2 \colon ax + by + c_2 &= 0\end{split}\] 之間的距離為 $\fraction{\lvert c_1 - c_2 \rvert}{\sqrt{a^2 + b^2}} \period$

觀念 5（二元一次不等式） 設 $L \colon ax + by + c = 0$ 為一直線，其中 $a > 0 \period$

此時直線 $L$ 會將坐標平面分為左、右兩個（不含邊界的）半平面，我們可以用二元一次不等式表示這兩個半平面：

1. $ax + by + c < 0$ 代表位於 $L$ 左方的半平面（不含邊界）。
2. $ax + by + c > 0$ 代表位於 $L$ 右方的半平面（不含邊界）。
3. $ax + by + c \leq 0$ 代表 $L$ 左方的半平面與 $L$ 的聯集。
4. $ax + by + c \geq 0$ 代表 $L$ 右方的半平面與 $L$ 的聯集。

設 $A(x_1, y_1) \jcomma B(x_2, y_2)$ 為坐標平面上兩點。

1. $A \jcomma B$ 位於直線 $L$ 的同側的充要條件為 \[\begin{split}(ax_1 \varplus by_1 \varplus c)(ax_2 \varplus by_2 \varplus c) > 0 \period\end{split}\]
2. $A \jcomma B$ 位於直線 $L$ 的異側的充要條件為 \[\begin{split}(ax_1 \varplus by_1 \varplus c)(ax_2 \varplus by_2 \varplus c) < 0 \period\end{split}\]

觀念 6（圓方程式） 若圓 $C$ 是以 $(h, k)$ 為圓心、$r$ 為半徑的圓，則圓 $C$ 的標準式為 \[\begin{split}\rod{2.5}{0}(x \varminus h)^2 + (\.y \varminus k)^2 = r^2 \period\end{split}\]

• 利用配方法可以將圓的一般式 \[\begin{split}\rod{2.5}{0}x^2 + y^2 + ax + by + c = 0\end{split}\] 化為標準式 $(x \varminus h)^2 + (\.y \varminus k)^2 = r^2 \comma$其中 \[\begin{split}(h, k) = \biggl(\fraction{-a}{2}, \fraction{-b}{2}\biggr) \comma \; r = \fraction{\sqrt{a^2 \varplus b^2 \varminus 4c}}{2} \period\end{split}\]

觀念 7（點、直線與圓的關係） 設圓 $C$ 的圓心為 $O(h, k) \comma$半徑為 $r \period$

設坐標平面上有一點 $P(x_0, y_0) \comma$則點 $P$ 與圓 $C$ 的關係有以下三種狀況：

1. 點 $P$ 在圓內：對應的條件為 $\overline{OP} < r \comma$即 $(x \varminus h)^2 + (\.y \varminus k)^2 < r^2 \period$
2. 點 $P$ 在圓上：對應的條件為 $\overline{OP} = r \comma$即 $(x \varminus h)^2 + (\.y \varminus k)^2 = r^2 \period$
3. 點 $P$ 在圓外：對應的條件為 $\overline{OP} > r \comma$即 $(x \varminus h)^2 + (\.y \varminus k)^2 > r^2 \period$

設坐標平面上有一直線 $L \comma$其中圓心 $O(h, k)$ 到直線 $L$ 的距離設作 $d \comma$則直線 $L$ 與圓 $C$ 的關係有以下三種狀況：

1. 直線 $L$ 與圓交於兩點：對應的條件為 ${d < r} \period$
2. 直線 $L$ 與圓相切：對應的條件為 ${d = r} \period$
3. 直線 $L$ 與圓不相交：對應的條件為 ${d > r} \period$

觀念 1（廣義角） 設 $O$ 為一點，並設 $A \jcomma B$ 兩點均與 $O$ 不重合。

假設將射線 $OA$ 以 $O$ 點為中心逆時針或順時針旋轉一角度後即會得到射線 $OB \comma$則我們分別將射線 $OA \jcomma$射線 $OB$ 稱為該旋轉角的始邊、終邊，並有以下約定：

1. 若逆時針旋轉，則旋轉角為正角；若順時針旋轉，則旋轉角為負角。
2. 如果旋轉角的始邊為 $x$ 軸正向且旋轉中心為原點，則該旋轉角為標準位置角。此時依照終邊所在的位置，可定義該角度是否為軸上角或象限角。
3. 如果兩個角度相差 $360^\circ$ 的整數倍，則互為同界角。

觀念 2（三角函數） 設 $\theta$ 為標準位置角，其終邊經過一點 $(a, b) \comma$其中 $a \jcomma b$ 不均為 0。

我們有以下定義：

1. $\sin \theta = \fraction{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \period$
2. $\cos \theta = \fraction{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \period$
3. $\tan \theta = \fraction{b}{a} \lparen \when a \neq 0 \rparen \mkern-9mu \period$

對任意標準位置角 $\theta \comma$點 $P(\cos \theta, \sin \theta)$ 會位在 $\theta$ 的終邊上，且點 $P$ 到原點的距離為 1。

觀念 3（極坐標） 坐標平面上，設 $O$ 為原點，並設 $P$ 為與 $O$ 相異的點。

若 $\overline{OP} = r \comma$且以射線 $OP$ 為終邊的一個標準位置角為 $\theta \comma$則我們定義 $P$ 點的極坐標為 $[r, \theta] \period$

極坐標與直角坐標的轉換：

1. 若 $P$ 點的極坐標為 $[r, \theta] \comma$則 $P$ 點的直角坐標為 $(r \cos \theta, r \sin \theta) \period$
2. 若 $P$ 點的直角坐標為 $(x, y) \comma$則 $P$ 點的極坐標為 $[r, \theta] \comma$其中 $r = \sqrt{x^2 \varplus y^2} \comma$且 \[\begin{split}\cos \theta = \fraction{x}{r} \comma \quad \sin\theta = \fraction{y}{r} \period\end{split}\]

觀念 4（三角函數的基本性質） 以下是常用的三角函數基本性質：

1. 平方關係：$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \period$
2. 商數關係：當 $\cos \theta \neq 0$ 時，\[\begin{split}\tan \theta = \fraction{\sin \theta}{\cos \theta} \period\end{split}\]

觀念 5（換角公式） 以下是常用的換角公式： \[\begin{split} \begin{alignat*}{2} \sin(-\theta) ={}&& -\sin\theta &\comma \\ \cos(-\theta) ={}&& \cos\theta &\comma \\[1.5ex] \sin(180^\circ \varminus \theta) ={}&& \sin\theta &\comma \\ \cos(180^\circ \varminus \theta) ={}&& -\cos\theta &\comma \\[1.5ex] \sin(180^\circ \varplus \theta) ={}&& -\sin\theta &\comma \\ \cos(180^\circ \varplus \theta) ={}&& -\cos\theta &\comma \\[1.5ex] \sin(90^\circ \varminus \theta) ={}&& \cos\theta &\comma \\ \cos(90^\circ \varminus \theta) ={}&& \sin\theta &\comma \\[1.5ex] \sin(90^\circ \varplus \theta) ={}&& \cos\theta &\comma \\ \cos(90^\circ \varplus \theta) ={}&& -\sin\theta &\period \end{alignat*} \end{split}\]

觀念 6（直線的斜角） 設 $L$ 為坐標平面上一直線。

1. 若 $L$ 不為鉛直線，且 $L$ 的斜率為 $m \comma$則我們將滿足 \[\begin{split}\tan \theta = m\end{split}\] 的角度 $\theta$ 稱為 $L$ 的斜角，其中 $-90^\circ < \theta < 90^\circ \period$
2. 若 $L$ 是鉛直線，則我們定義 $L$ 的斜角為 $90^\circ \period$

觀念 7（基本面積公式） 設 $\triangle\.ABC$ 中，$\overline{BC} = a \comma \overline{AC} = b \comma \overline{AB} = c \comma$則 \[\begin{split}\triangle\.ABC\ \textrm{面積} = \fraction{1}{2}ab \sin C \period\end{split}\]

觀念 8（正弦定理） 設 $\triangle\.ABC$ 中，$\overline{BC} = a \comma \overline{AC} = b \comma \overline{AB} = c \comma$並設 $\triangle\.ABC$ 的外接圓半徑為 $R \semicolon$則我們有 \[\begin{split} \fraction{a}{\sin A} = \fraction{b}{\sin B} = \fraction{c}{\sin C} = 2R \period \end{split}\]

觀念 9（餘弦定理） 設 $\triangle\.ABC$ 中，$\overline{BC} = a \comma \overline{AC} = b \comma \overline{AB} = c \comma$則我們有 \[\begin{split} \rod{2.5}{0}a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\.A \comma \end{split}\] 亦即 \[\begin{split} \cos A = \fraction{b^2 \varplus c^2 \varminus a^2}{2bc} \period \end{split}\]

利用餘弦定理，我們可以得到以下推論：

1. $\triangle\.ABC$ 中，$\angle\.A$ 是銳角的充要條件是 \[\begin{split}\rod{2.5}{0}b^2 + c^2 > a^2 \semicolon\end{split}\]$\angle\.A$ 是鈍角的充要條件是 \[\begin{split}\rod{2.5}{0}b^2 + c^2 < a^2 \period\end{split}\]
2. 中線定理：若 $D$ 是 $\overline{BC}$ 中點，則 \[\begin{split}\rod{3}{0}\overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = 2\,\overline{AD}^2 + 2\,\overline{BD}^2 \period\end{split}\]

觀念 10（海龍公式） 設 $\triangle\.ABC$ 中，$\overline{BC} = a \comma \overline{AC} = b \comma \overline{AB} = c \comma$並設 \[\begin{split}s = \fraction{a + b + c}{2} \comma\end{split}\]則 $ \triangle\.ABC\ \textrm{面積} = \sqrt{s(s \varminus a)(s \varminus b)(s \varminus c)} \period $

觀念 11（弧度量） 單位圓中，我們定義弧長 $s$ 所對應的圓心角為 $s$ 弳。

由於 $\pi\ \textrm{弳} = 180^\circ \comma$我們可以得到：

• $\fraction{\pi}{180}\ \textrm{弳} = 1^\circ \period$
• $1\ \textrm{弳} = \biggl(\fraction{180}{\pi}\biggr)^{\mkern-2mu\circ} \period$

若有一扇形的半徑為 $r \comma$且圓心角為 $\theta$ 弳，則：

1. 扇形的弧長為 $r\theta \period$
2. 扇形的面積為 $\fraction{1}{2}r^2\theta \period$

觀念 12（三角函數的圖形） 以下列出正弦、餘弦、正切函數圖形的性質。

正弦函數 $y = \sin x$ 圖形的性質：

1. 定義域為 $\RR \comma$值域為 $[-1, 1] \period$
2. 週期為 $2\pi \comma$振幅為 1。
3. 對稱於原點。一般而言，對稱軸為 $x = \fraction{\pi}{2} + k\pi \comma$對稱中心為 $(k\pi, 0) \comma$其中 $k$ 為整數。

餘弦函數 $y = \cos x$ 圖形的性質：

1. 定義域為 $\RR \comma$值域為 $[-1, 1] \period$
2. 週期為 $2\pi \comma$振幅為 1。
3. 對稱於 $y$ 軸。一般而言，對稱軸為 $x = k\pi \comma$對稱中心為 $\biggl(\fraction{\pi}{2} \varplus k\pi, 0\biggr) \comma$其中 $k$ 為整數。

正切函數 $y = \tan x$ 圖形的性質：

1. 定義域為 $\RR - \biggl\{\fraction{\pi}{2} + k\pi \biggm| k\ \textrm{為整數}\biggr\} \comma$值域為 $\RR \period$
2. 週期為 $\pi \period$
3. 對稱於原點。一般而言，對稱中心為 $(k\pi, 0) \comma$其中 $k$ 為整數。

觀念 13（和差角公式）  \[\begin{split} \sin(\alpha + \beta) &= \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \comma \\ \sin(\alpha - \beta) &= \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta \semicolon \\[1.5ex] \cos(\alpha + \beta) &= \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \comma \\ \cos(\alpha - \beta) &= \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \semicolon \\[1.5ex] \tan(\alpha + \beta) &= \rod{4}{0}\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \comma \\ \tan(\alpha - \beta) &= \rod{4}{0}\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} \period \end{split}\]

觀念 14（二倍角公式）  \[\begin{split} \sin 2\theta &= 2 \sin\theta \cos\theta \comma \\[1.5ex] \cos 2\theta &= \cos^2\theta - \sin^2\theta \\ &= 2\cos^2\theta - 1 \\ &= 1 - 2\sin^2\theta \comma \\[1.5ex] \tan 2\theta &= \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} \period \end{split}\]

觀念 15（半角公式）  \[\begin{split} \biggl|\sin \fraction{\theta}{2}\biggr| &= \sqrt{\fraction{1 - \cos\theta}{2}} \comma \\ \biggl|\cos \fraction{\theta}{2}\biggr| &= \sqrt{\fraction{1 + \cos\theta}{2}} \comma \\ \biggl|\tan \fraction{\theta}{2}\biggr| &= \sqrt{\fraction{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} \period \end{split}\]

觀念 16（疊合公式） 給定非零實數 $a \jcomma b \comma$我們有 \[\begin{split} a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (x+\theta) \comma \end{split}\] 其中 $\theta$ 是滿足 \[\begin{split} \rod{4}{0}\cos\theta = \frac{a}{\sqrt{\rod{2}{0}a^2+b^2}} \jcomma \sin\theta = \frac{b}{\sqrt{\rod{2}{0}a^2+b^2}} \end{split}\] 的一個角度。

• 函數 $f(x) = a \sin x + b \cos x$ 的週期為 $2\pi \comma$振幅為 $\sqrt{\rod{2}{0}a^2 + b^2} \period$

觀念 1（整數指數） 設 $a$ 為一實數。

1. 對任意正整數 $n \comma$\[\begin{split}a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n\ \text{個}} \period\end{split}\]
2. 若 $a \neq 0 \comma$則 $a^0 = 1 \period$
3. 若 $a \neq 0 \comma$則對正整數 $n \comma$$a^{-n} = \fraction{1}{a^n} \period$

觀念 2（有理數與實數指數） 設 $a$ 為一正實數。

1. 對任意正整數 $n$ 與整數 $m \comma$我們定義 \[\begin{split}a^{\pfrac{m}{n}} = \root{n}{a^m} \period\end{split}\]
2. 對任意實數 $r \comma$我們可以找到一個趨近於 $r$ 的有理數數列 \[\begin{split}\langle r_n \rangle \colon r_1 \cm r_2 \cm r_3, \ldots \comma\end{split}\]此時我們將 $a^r$ 定義為 \[\begin{split}\langle a^{\.r_n} \rangle \colon a^{\.r_1} \cm a^{\.r_2} \cm a^{\.r_3}, \ldots\end{split}\] 所趨近的值。

觀念 3（指數律） 對任意正實數 $a \jcomma b$ 與實數 $r \jcomma s \comma$我們有下列性質：

1. $a^ra^s = a^{r+s} \period$
2. $\fraction{a^r}{a^s} = a^{r-s} \period$
3. $(a^r)^s = a^{rs} \period$
4. $a^rb^{\.r} = (ab)^r \period$
5. $\fraction{a^r}{b^{\.r}} = \biggl(\fraction{a}{b}\biggr)^{\mkern-3mur} \period$

觀念 4（指數函數的圖形） 以下列出指數函數 $y = a^x$ 圖形的性質（其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1 \rparen \mkern-9mu \jcolon$

1. 定義域為 $\RR \comma$值域為 $(0, \infty) \period$
2. 若 $a > 1 \comma$則圖形由左而右逐漸上升；若 $0 < a < 1 \comma$則圖形由左而右逐漸下降。
3. 圖形凹口向上：連接圖形上相異兩點的線段會位於圖形上方。
4. 漸近線為 $x$ 軸。

觀念 5（函數圖形的平移與伸縮） 設 $y = f(x)$ 為一函數。

1. 將 $y = f(x)$ 的圖形向右平移 $h$ 單位，會得到 $y = f(x \varminus h)$ 的圖形。
2. 將 $y = f(x)$ 的圖形向上平移 $k$ 單位，會得到 $y = f(x) + k$ 的圖形。
3. 將 $y = f(x)$ 的圖形以 $y$ 軸為中心水平伸縮 $a$ 倍，會得到 $y = f\biggl(\fraction{x}{a}\biggr)$ 的圖形。
4. 將 $y = f(x)$ 的圖形以 $x$ 軸為中心鉛直伸縮 $a$ 倍，會得到 $y = af(x)$ 的圖形。

觀念 6（對數） 設 $a > 0$ 且 $a \neq 1 \period$

對任意正實數 $b \comma$均能找到實數 $r$ 使得 $a^r = b \comma$此時我們定義 \[\begin{split}\log_ab = r \period\end{split}\]

此外，以 10 為底的對數稱為常用對數，我們有 \[\begin{split}\log b = \log_{10} b \period\end{split}\]

觀念 7（對數律） 對任意正實數 $b \jcomma c$ 與實數 $r \comma$我們有下列性質：

1. $\log(bc) = \log b + \log c \period$
2. $\log \fraction{b}{c} = \log b - \log c \period$
3. $\log b^{\.r} = r \log b \period$

觀念 8（換底公式） 對任意正實數 $a \jcomma b \comma$若 $a \neq 1 \comma$則我們有 \[\begin{split}\log_a b = \fraction{\log b}{\log a} \period\end{split}\]

觀念 9（對數函數的圖形） 以下列出對數函數 $y = \log_ax$ 圖形的性質（其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1 \rparen \mkern-9mu \jcolon$

1. 定義域為 $(0, \infty) \comma$值域為 $\RR \period$

2. 若 $a > 1 \comma$則圖形由左而右逐漸上升，且凹口向下；

   若 $0 < a < 1 \comma$則圖形由左而右逐漸下降，且凹口向上。

3. 漸近線為 $y$ 軸。

此外，$y = \log_ax$ 與 $y = a^x$ 的圖形對稱於直線 $y = x \period$

觀念 10（首數與尾數） 設 $M$ 為一正實數。此時我們可以將 $\log M$ 表示為 \[\begin{split} \log M = n + r \comma \end{split}\] 其中 $n$ 為整數且 $0 \leq r < 1 \period$我們稱 $n$ 為 $\log M$ 的首數，$r$ 為 $\log M$ 的尾數。

1. 若我們設 $a = 10^r \comma$則可以得到 \[\begin{split} M = a \times 10^n \comma \end{split}\] 其中 $1 \leq a < 10\period$這種表示法即為 $M$ 的科學記號表示法。
2. 若 $M \geq 1 \comma$則 $M$ 的整數部分為 $n \varplus 1$ 位數。
3. 若 $M < 1 \comma$則 $M$ 自小數點後第 $\lvert n \rvert$ 位開始不為 0。

備註　常用對數值： \[\begin{split} \log 2 \approx 0.3010 \comma \log 3 \approx 0.4771 \comma \\[.5ex] \log 4 \approx 0.6020 \comma \log 5 \approx 0.6990 \comma \\[.5ex] \log 6 \approx 0.7781 \comma \log 7 \approx 0.8451 \comma \\[.5ex] \log 8 \approx 0.9030 \comma \log 9 \approx 0.9542 \period \end{split}\]

觀念 1（平面向量的坐標表示） 給定坐標平面上 $A(a_1, a_2) \jcomma B(b_1, b_2)$ 兩點，我們定義 \[\begin{split} \vec{AB} = (b_1 \varminus a_1, b_2 \varminus a_2) \end{split}\] 為平面上由 $A$ 至 $B$ 的向量。

• 向量 $\vec{0} = (0,0)$ 稱作零向量。
• 設 $O(0, 0)$ 為原點，則對坐標平面上任一點 $A \comma$向量 $\vec{OA}$ 均會等於 $A$ 點坐標。
• 向量 $\vec{v} = (v_1, v_2)$ 的長度定義為 \[\begin{split}\lvert \vec{v} \rvert = \sqrt{v_1^{\mkern6mu2} + v_2^{\mkern6mu2}} \period\end{split}\]

觀念 2（平面向量的運算） 給定向量 $\vec{a} = (a_1, a_2) $ 與 $\vec{b} = (b_1,b_2) \comma$我們定義：

1. $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 \varplus b_1 \cm a_2 \varplus b_2) \period$
2. $\vec{a} - \vec{b} = (a_1 \varminus b_1 \cm a_2 \varminus b_2) \period$
3. $-\vec{a} = (-a_1 \cm -a_2) \period$
4. $r\vec{a} = (ra_1\cm ra_2) \comma$其中 $r$ 為實數。

對平面上任意三點 $A \jcomma B \jcomma C \comma$下列性質成立：

1. $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \period$
2. $\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{BC} \period$

觀念 3（線性組合） 設 $\vec{a} \jcomma \vec{b}$ 為坐標平面上不平行的兩非零向量。

此時對任意向量 $\vec{c} \comma$均能找到兩實數 $s \jcomma t$ 使得 \[\begin{split}\vec{c} = s\,\vec{a} + t\,\vec{b}\end{split}\]且這種表示法具唯一性。上述表示法即為將 $\vec{c}$ 表示為 $\vec{a} \jcomma \vec{b}$ 的線性組合。

設 $P \jcomma A \jcomma B$ 為坐標平面上不共線三點，並設 $C$ 為坐標平面上一點，其中 $\vec{PC} = s\,\vec{PA} + t\,\vec{PB} \period$此時：

1. $C$ 點在直線 $AB$ 上的充要條件為 $s + t = 1 \period$
2. $C$ 點在 $\overline{AB}$ 上（包含端點）的充要條件為 $s + t = 1$ 且 $s \geq 0$ 且 $t \geq 0 \period$
3. $C$ 點在 $\triangle\.PAB$ 內部或邊界上的充要條件為 $s + t \leq 1$ 且 $s \geq 0$ 且 $t \geq 0 \period$

觀念 4（分點公式） 設 $A \jcomma B$ 為坐標平面上相異兩點，且 $C$ 點在 $\overline{AB}$ 上，滿足 $\overline{AC} : \overline{BC} = m : n \period$則對坐標平面上任一點 $P \comma$均有 \[\begin{split} \vec{PC} = \fraction{n}{m \varplus n}\,\vec{PA} + \fraction{m}{m \varplus n}\,\vec{PB} \period \end{split}\]

觀念 5（平面向量的內積） 設 $\vec{a} \jcomma \vec{b}$ 為兩平面向量。我們將 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 的內積記作 $\vec{a} \cdot \vec{b} \comma$並定義如下：

1. 若 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 皆為非零向量，其夾角為 $\theta \comma$則定義 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 的內積為 \[\begin{split}\vec{a} \cdot \vec{b} = \abs{\vec{a}}\,\abs{\vec{b}} \cos\theta \period\end{split}\]
2. 若 $\vec{a} = \vec{0}$ 或 $\vec{b} = \vec{0} \comma$則定義 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \period$

此外，當已知 $\vec{a} \jcomma \vec{b}$ 的坐標表示 $\vec{a} = (a_1 \cm a_2)$ 與 $\vec{b} = (b_1 \cm b_2)$ 時，我們可用 \[\begin{split}\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2\end{split}\] 求出內積。

觀念 6（內積的性質） 對任意平面向量 $\vec{a} \jcomma \vec{b} \jcomma \vec{c}$ 與實數 $r \comma$下列性質成立：

1. $\vec{a} \cdot \vec{a} = \lvert \vec{a} \rvert^2 \period$
2. $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \period$
3. $(\.r\vec{a}) \cdot \vec{b} = a \cdot (\.r\vec{b}) = r\,(\vec{a} \cdot \vec{b}) \period$
4. $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} \period$

觀念 7（直線的方向向量與法向量） 設 $L$ 為一直線，且 $A \jcomma B$ 為直線 $L$ 上相異兩點。

1. 與 $\vec{AB}$ 平行的向量稱為 $L$ 的方向向量。
2. 與 $\vec{AB}$ 垂直的向量稱為 $L$ 的法向量。

對直線 $L \colon ax + by + c = 0$ 而言，向量 $\vec{v} = (b, -a)$ 為 $L$ 的一個方向向量，而向量 $\vec{n} = (a, b)$ 為 $L$ 的一個法向量。

• 利用方向向量或法向量可以求出兩直線的夾角。

觀念 8（正射影） 設 $\vec{b}$ 為一非零向量。

對任意向量 $\vec{a} \comma$我們可以找到一個與 $\vec{b}$ 平行的向量 $\vec{u}$ 使 $\vec{a} - \vec{u}$ 與 $\vec{b}$ 垂直；此時 $\vec{u}$ 即稱為 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的正射影。

$\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的正射影 $\vec{u}$ 會滿足下列性質：

1. $\abs{\vec{u}} = \fraction{\lvert \vec{a} \cdot \vec{b} \rvert}{\abs{\vec{b}}} \period$
2. $\vec{u} = \Biggl(\fraction{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\abs{\vec{b}}^2}\Biggr)\vec{b} \period$

觀念 9（柯西不等式） 設 $\vec{a} = (a_1 \cm a_2) \jcomma \vec{b} = (b_1 \cm b_2)$ 為兩向量。

1. 向量形式的柯西不等式： \[\begin{split}\lvert\vec{a}\rvert\,\lvert\vec{b}\rvert \geq \lvert \vec{a} \cdot \vec{b} \rvert \period\end{split}\]
2. 一般形式的柯西不等式： \[\begin{split}\rod{2.5}{0}(a_1^{\,\,2} \varplus a_2^{\,\,2})(b_1^{\,\,2} \varplus b_2^{\,\,2}) \geq (a_1b_1 \varplus a_2b_2)^2 \period\end{split}\]

上述不等式中，等號成立的充要條件為 $\vec{a} \varparallel \vec{b}$ 或 $\vec{a} \jcomma \vec{b}$ 中有零向量。

觀念 10（二階行列式） 我們定義 \[\begin{split}\begin{vmatrix}a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2\end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1 \period\end{split}\]

以下列出一些行列式的運算規則：

1. 行列互換時，其值不變：\[\begin{split}\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \period\end{split}\]
2. 將兩列交換時，其值變號：\[\begin{split}\begin{vmatrix} b_1 & b_2 \\ a_1 & a_2 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \period\end{split}\]
3. 將一列乘以 $k$ 倍時，其值變為 $k$ 倍：\[\begin{split}\begin{vmatrix} ka_1 & ka_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} &= k\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \period\end{split}\]
4. 將一列的 $k$ 倍加到另一列時，其值不變：\[\begin{split}\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 \varplus ka_1 & b_2 \varplus ka_2 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \period\end{split}\]
5. 可依任一列將行列式拆成兩個行列式之和：\[\begin{split}\begin{vmatrix} a_1 \varplus c_1 & a_2 \varplus c_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} c_1 & c_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \period\end{split}\]

觀念 11（平行四邊形與三角形的面積） 設 $\vec{a} = (a_1 \cm a_2) \jcomma \vec{b} = (b_1 \cm b_2)$ 為兩向量。

1. $\vec{a} \jcomma \vec{b}$ 所張成的平行四邊形面積為 \[\begin{split}S &= \sqrt{\lvert\vec{a}\rvert^2\lvert\vec{b}\rvert^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2} \\[1ex] &= \lvert a_1b_2 - a_2b_1 \rvert \\ &= \Biggl|\begin{vmatrix}a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2\end{vmatrix} \Biggr| \period\end{split}\]
2. $\vec{a} \jcomma \vec{b}$ 所張成的三角形面積為 \[\begin{split}\fraction{1}{2}\,S &= \fraction{1}{2}\sqrt{\lvert\vec{a}\rvert^2\lvert\vec{b}\rvert^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2} \\[1ex] &= \fraction{1}{2}\,\lvert a_1b_2 - a_2b_1 \rvert \\ &= \fraction{1}{2}\Biggl|\begin{vmatrix}a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2\end{vmatrix} \Biggr| \period\end{split}\]

觀念 12（二階克拉瑪公式） 考慮二元一次聯立方程組 \[\begin{split} S \colon \left\{\!\! \begin{array}{rcrcr} a_1x \kern-0.8em&+\kern-0.8em& b_1y \kern-0.8em&=\kern-0.8em& c_1 \\[0.6ex] a_2x \kern-0.8em&+\kern-0.8em& b_2y \kern-0.8em&=\kern-0.8em& c_2 \end{array} \right. \mkern-12mu\period \end{split}\]

若我們設 \[\begin{split} \Delta &= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \comma \\[2ex] \Delta_x &= \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} \comma \\[2ex] \Delta_y &= \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} \comma \end{split}\] 則方程組 $S$ 的解的情況如下：

1. 若 $\Delta \neq 0 \comma$則方程組 $S$ 恰有一組解 $(x, y) = \biggl(\fraction{\Delta_x}{\Delta}, \fraction{\Delta_y}{\Delta}\biggr) \period$
2. 若 $\Delta = 0 \comma$且 $\Delta_x = \Delta_y = 0$ 成立，則方程組 $S$ 有無限多組解。
3. 若 $\Delta = 0 \comma$且 $\Delta_x \neq 0$ 或 $\Delta_y \neq 0$ 成立，則方程組 $S$ 無解。

觀念 1（空間中直線與平面的關係） 

任意兩直線 $L$ 與 $M$ 之間的關係有以下幾種情況：

1. $L$ 與 $M$ 重合。
2. $L$ 與 $M$ 平行。
3. $L$ 與 $M$ 相交於一點。
4. $L$ 與 $M$ 歪斜。

一直線 $L$ 與一平面 $E$ 之間的關係有以下幾種情況：

1. $L$ 落在 $E$ 上。
2. $L$ 與 $E$ 平行。
3. $L$ 與 $E$ 相交於一點。

任意兩平面 $E$ 與 $F$ 之間的關係有以下幾種情況：

1. $E$ 與 $F$ 重合。
2. $E$ 與 $F$ 平行。
3. $E$ 與 $F$ 相交於一直線。

觀念 2（平面之間的兩面角） 設 $E$ 與 $F$ 為相交於一直線 $L$ 的兩平面。此時我們可以在 $L$ 上任選一點 $P \comma$並分別在平面 $E \jcomma F$ 上分別選一點 $A \jcomma B$ 使 $\overline{PA} \jcomma \overline{PB}$ 均與 $L$ 垂直；此時 $\angle\mkern2muAPB$ 即為平面 $E$ 與 $F$ 之間的一個兩面角。

• 相交於一直線的平面 $E$ 與 $F$ 之間共有四個兩面角；其中任兩個兩面角會相等或互補（即相加等於 $180^\circ \rparen \mkern-9mu \period$
• 若兩平面 $E$ 與 $F$ 之間的兩面角均為直角，則我們稱 $E$ 與 $F$ 垂直。

觀念 3（點的距離公式） 若 $A(a_1, a_2, a_3) \jcomma B(b_1, b_2, b_3)$ 為坐標空間中兩點，則 \[\begin{split} \overline{AB} = \sqrt{(a_1 \varminus b_1)^2 \varplus (a_2 \varminus b_2)^2 \varplus (a_3 \varminus b_3)^2} \period \end{split}\]

觀念 4（空間向量的坐標表示） 給定坐標空間中 $A(a_1, a_2, a_3) \jcomma B(b_1, b_2, b_3)$ 兩點，我們定義 \[\begin{split} \vec{AB} = (b_1 \varminus a_1, b_2 \varminus a_2, b_3 \varminus a_3) \end{split}\] 為空間中由 $A$ 至 $B$ 的向量。

• 向量 $\vec{0} = (0,0,0)$ 稱作零向量。
• 設 $O(0, 0, 0)$ 為原點，則對坐標平面上任一點 $A \comma$向量 $\vec{OA}$ 均會等於 $A$ 點坐標。
• 向量 $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ 的長度定義為 \[\begin{split}\lvert \vec{v} \rvert = \sqrt{v_1^{\mkern6mu2} + v_2^{\mkern6mu2} + v_3^{\mkern6mu2}} \period\end{split}\]

觀念 5（空間向量的運算） 給定向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $ 與 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \comma$我們定義：

1. $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 \varplus b_1 \cm a_2 \varplus b_2 \cm a_3 \varplus b_3) \period$
2. $\vec{a} - \vec{b} = (a_1 \varminus b_1 \cm a_2 \varminus b_2 \cm a_3 \varminus b_3) \period$
3. $-\vec{a} = (-a_1 \cm -a_2 \cm -a_3) \period$
4. $r\vec{a} = (ra_1\cm ra_2 \cm ra_3) \comma$其中 $r$ 為實數。

對空間中任意三點 $A \jcomma B \jcomma C \comma$下列性質成立：

1. $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \period$
2. $\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{BC} \period$

觀念 6（線性組合） 設 $\vec{a} \jcomma \vec{b} \jcomma \vec{c}$ 為坐標空間中不共平面的三個非零向量。

此時對任意向量 $\vec{d} \comma$均能找到三實數 $s \jcomma t \jcomma u$ 使得 \[\begin{split}\vec{d} = s\,\vec{a} + t\,\vec{b} + u\,\vec{c} \comma\end{split}\]且這種表示法具唯一性。上述表示法即為將 $\vec{d}$ 表示為 $\vec{a} \jcomma \vec{b} \jcomma \vec{c}$ 的線性組合。

觀念 7（分點公式） 設 $A \jcomma B$ 為坐標平面上相異兩點，且 $C$ 點在 $\overline{AB}$ 上，滿足 $\overline{AC} : \overline{BC} = m : n \period$則對坐標平面上任一點 $P \comma$均有 \[\begin{split} \vec{PC} = \fraction{n}{m \varplus n}\,\vec{PA} + \fraction{m}{m \varplus n}\,\vec{PB} \period \end{split}\]

觀念 8（空間向量的內積） 設 $\vec{a} \jcomma \vec{b}$ 為兩空間向量。我們將 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 的內積記作 $\vec{a} \cdot \vec{b} \comma$並定義如下：

1. 若 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 皆為非零向量，其夾角為 $\theta \comma$則定義 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 的內積為 \[\begin{split}\vec{a} \cdot \vec{b} = \abs{\vec{a}}\,\abs{\vec{b}} \cos\theta \period\end{split}\]
2. 若 $\vec{a} = \vec{0}$ 或 $\vec{b} = \vec{0} \comma$則定義 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \period$

此外，當已知 $\vec{a} \jcomma \vec{b}$ 的坐標表示 $\vec{a} = (a_1 \cm a_2 \cm a_3)$ 與 $\vec{b} = (b_1 \cm b_2 \cm b_3)$ 時，我們可用 \[\begin{split}\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\end{split}\] 求出內積。

觀念 9（正射影） 設 $\vec{b}$ 為一非零向量。

對任意向量 $\vec{a} \comma$我們可以找到一個與 $\vec{b}$ 平行的向量 $\vec{u}$ 使 $\vec{a} - \vec{u}$ 與 $\vec{b}$ 垂直；此時 $\vec{u}$ 即稱為 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的正射影。

$\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的正射影 $\vec{u}$ 會滿足下列性質：

1. $\abs{\vec{u}} = \fraction{\lvert \vec{a} \cdot \vec{b} \rvert}{\abs{\vec{b}}} \period$
2. $\vec{u} = \Biggl(\fraction{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\abs{\vec{b}}^2}\Biggr)\vec{b} \period$

觀念 10（柯西不等式） 設 $\vec{a} = (a_1 \cm a_2 \cm a_3) \jcomma \vec{b} = (b_1 \cm b_2 \cm b_3)$ 為兩向量。

1. 向量形式的柯西不等式： \[\begin{split}\lvert\vec{a}\rvert\,\lvert\vec{b}\rvert \geq \lvert \vec{a} \cdot \vec{b} \rvert \period\end{split}\]
2. 一般形式的柯西不等式： \[\begin{split}\rod{2.5}{0}&(a_1^{\,\,2} \varplus a_2^{\,\,2} \varplus a_3^{\,\,2})(b_1^{\,\,2} \varplus b_2^{\,\,2} \varplus b_3^{\,\,2}) \\ &\hspace{4em} \geq (a_1b_1 \varplus a_2b_2 \varplus a_3b_3)^2 \period\end{split}\]

上述不等式中，等號成立的充要條件為 $\vec{a} \varparallel \vec{b}$ 或 $\vec{a} \jcomma \vec{b}$ 中有零向量。

觀念 11（向量的外積） 設 $\vec{a} \jcomma \vec{b}$ 為兩空間向量。我們定義 \[\begin{split}\vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \quad \text{與} \quad \vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\end{split}\] 的外積為 \[\begin{split} \vec{a} \times \vec{b} &= \biggl(\begin{vmatrix}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}a_3&a_1\\b_3&b_1\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}\biggr) \period \end{split}\]

外積的性質如下：

1. 當 $\vec{a} \jcomma \vec{b}$ 均為非零向量且不平行時，$\vec{a} \times \vec{b}$ 會是一個同時與 $\vec{a} \jcomma \vec{b}$ 垂直的向量。
2. 若 $\vec{a} \jcomma \vec{b}$ 平行，則 $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \period$
3. 若 $\vec{a} \jcomma \vec{b}$ 均為非零向量，則 $\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert = \abs{\vec{a}}\,\abs{\vec{b}} \sin \theta \comma$其中 $\theta$ 為 $\vec{a} \jcomma \vec{b}$ 的夾角。
4. $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b}) \period$

觀念 12（三階行列式） 我們定義 \[\begin{split}&\begin{vmatrix}a_1 \mkern{-4mu}&\mkern{-4mu} a_2 \mkern{-4mu}&\mkern{-4mu} a_3 \\ b_1 \mkern{-4mu}&\mkern{-4mu} b_2 \mkern{-4mu}&\mkern{-4mu} b_3 \\ c_1 \mkern{-4mu}&\mkern{-4mu} c_2 \mkern{-4mu}&\mkern{-4mu} c_3\end{vmatrix} \\[3.5ex] &= a_1b_2c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 \\ &\hspace{1.5em} - a_1b_3c_2 - a_2b_1c_3 - a_3b_2c_1 \period\end{split}\]

觀念 13（平行六面體與四面體的面積） 設 $\vec{a} = (a_1 \cm a_2 \cm a_3) \jcomma \vec{b} = (b_1 \cm b_2 \cm b_3) \jcomma \vec{c} = (c_1 \cm c_2 \cm c_3)$ 為三向量。

1. $\vec{a} \jcomma \vec{b} \jcomma \vec{c}$ 所張成的平行六面體體積為 \[\begin{split}V &= \bigl|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})\bigr| \\[0.5ex] &= \Biggl| a_1\begin{vmatrix}b_2 \mkern{-4mu}&\mkern{-4mu} b_3 \\ c_2 \mkern{-4mu}&\mkern{-4mu} c_3\end{vmatrix} \varplus a_2\begin{vmatrix}b_3 \mkern{-4mu}&\mkern{-4mu} b_1 \\ c_3 \mkern{-4mu}&\mkern{-4mu} c_1\end{vmatrix} \varplus a_3\begin{vmatrix}b_1 \mkern{-4mu}&\mkern{-4mu} b_2 \\ c_1 \mkern{-4mu}&\mkern{-4mu} c_2\end{vmatrix} \Biggr| \\[2.5ex] &= \left|\rule[0ex]{0pt}{5.5ex}\mkern-3mu\begin{vmatrix}a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}\rule[0ex]{0pt}{5.5ex}\mkern-3mu\right| \period\end{split}\]
2. $\vec{a} \jcomma \vec{b} \jcomma \vec{c}$ 所張成的四面體體積為 \[\begin{split}\fraction{1}{6}V &= \fraction{1}{6}\bigl|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})\bigr| \\[0.5ex] &= \fraction{1}{6}\left|\rule[0ex]{0pt}{5.5ex}\mkern-3mu\begin{vmatrix}a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}\rule[0ex]{0pt}{5.5ex}\mkern-3mu\right| \period\end{split}\]

觀念 1（平面方程式） 若一平面經過點 $(x_0 \cm y_0 \cm z_0) \comma$且以 $\vec{n} = (a \cm b \cm c)$ 為法向量，則其方程式可用點法式表示為 \[\begin{split}a(x \varminus x_0) \varplus b(y \varminus y_0) \varplus c(z \varminus z_0) = 0 \period\end{split}\]經過化簡，可以得到一般式 \[\begin{split}ax + by + cz + d = 0 \period\end{split}\]

備註　如果要計算兩平面的夾角，可以用兩平面的法向量的夾角來計算：若 $E_1 \jcomma E_2$ 兩平面的法向量 $\vec{n_1} \jcomma \vec{n_2}$ 之間的夾角為 $\theta \comma$則 $E_1 \jcomma E_2$ 之間的兩面角可能為 $\theta$ 或 $180^\circ - \theta \period$

觀念 2（平面相關的距離公式） 

1. 點 $P(x_0 \cm y_0 \cm z_0)$ 到平面 $E \colon ax + by + cz + d = 0$ 的距離為 \[\begin{split}\fraction{\abs{ax_0 \varplus by_0 \varplus cz_0 \varplus d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \period\end{split}\]
2. 兩平行平面 $E_1 \colon ax + by + cz + d_1 = 0$ 與 $E_2 \colon ax + by + cz + d_2 = 0$ 的距離為 \[\begin{split}\fraction{\abs{d_1 - d_2}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \period\end{split}\]

觀念 3（空間中的直線方程式） 空間中的直線有以下數種常見的表示法。

1. 參數式：經過點 $(x_0 \cm y_0 \cm z_0) \comma$且以 $\vec{v} = (a \cm b \cm c)$ 為方向向量的直線方程式為 \[\begin{split}\begin{cases}x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct\end{cases} \comma t\ \text{為實數} \period\end{split}\]
2. 比例式：經過點 $(x_0 \cm y_0 \cm z_0) \comma$且以 $\vec{v} = (a \cm b \cm c)$ 為方向向量（其中 $a \jcomma b \jcomma c$ 均不為 0）的直線方程式為 \[\begin{split}\fraction{x \varminus x_0}{a} = \fraction{y \varminus y_0}{b} = \fraction{z \varminus z_0}{c} \period\end{split}\]
3. 兩面式：由兩平面 $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ 與 $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ 相交所得直線的方程式為 \[\begin{split}\begin{cases}a_1x \varplus b_1y \varplus c_1z \varplus d_1 = 0 \\ a_2x \varplus b_2y \varplus c_2z \varplus d_2 = 0\end{cases}\period\end{split}\]

觀念 1（矩陣的列運算） 給定以下線性方程組： \[\begin{split} \left\{ \begin{alignat*}{4} a_1x &&{}+ b_1y &&{}+ c_1z &&{}= d_1 \\ a_2x &&{}+ b_2y &&{}+ c_2z &&{}= d_2 \\ a_3x &&{}+ b_3y &&{}+ c_3z &&{}= d_3 \end{alignat*} \right. \end{split}\] 此時我們可以將上述線性方程組表示為矩陣 \[\begin{split} A = \left[ \begin{array}{ccc|c} \mkern-9mu a_1 & b_1 & c_1 \!&\! d_1 \mkern-9mu \\ \mkern-9mu a_2 & b_2 & c_2 \!&\! d_2 \mkern-9mu \\ \mkern-9mu a_3 & b_3 & c_3 \!&\! d_3 \mkern-9mu \end{array} \right] \comma \end{split}\] 其稱為方程組對應的增廣矩陣。若移除增廣矩陣 $A$ 的最後一行，則會得到矩陣 \[\begin{split} B = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} \comma \end{split}\] 其稱為方程組對應的係數矩陣。

對增廣矩陣進行以下步驟（稱為列運算），可以簡化增廣矩陣以求得線性方程組的解：

1. 對調矩陣的兩列。
2. 將矩陣的其中一列變為 $k$ 倍，其中 $k \neq 0 \period$
3. 將矩陣其中一列的 $k$ 倍加到另一列，其中 $k \neq 0 \period$

備註　進行矩陣的列運算的目的是藉由將增廣矩陣化為如同 \[\begin{split} \left[ \begin{array}{ccc|c} \mkern-9mu p_1 & q_1 & r_1 \!&\! s_1 \mkern-9mu \\ \mkern-9mu 0 & q_2 & r_2 \!&\! s_2 \mkern-9mu \\ \mkern-9mu 0 & 0 & r_3 \!&\! s_3 \mkern-9mu \end{array} \right] \end{split}\] 的形式，其對應的方程組 \[\begin{split} \left\{ \begin{alignat*}{5} p_1x &&{}+ q_1y &&{}+ r_1z &&{}= s_1 \\ &&q_2y &&{}+ r_2z &&{}= s_2 \\ &&&&r_3z &&{}= s_3 \end{alignat*} \right. \end{split}\] 便會容易求解。

觀念 2（矩陣的加減法與係數積） 給定 $m \times n$ 階矩陣 \[\begin{split} A = \begin{bmatrix} a_{11} \!&\!\cdots\!&\! a_{1n} \\ \vdots \!&\!\ddots\!&\! \vdots \\ a_{m1} \!&\!\cdots\!&\! a_{mn} \end{bmatrix} \jcomma B = \begin{bmatrix} b_{11} \!&\!\cdots\!&\! b_{1n} \\ \vdots \!&\!\ddots\!&\! \vdots \\ b_{m1} \!&\!\cdots\!&\! b_{mn} \end{bmatrix} \comma \end{split}\] 我們定義：

1. $A + B = \begin{bmatrix} a_{11} \varplus b_{11} \!&\!\cdots\!&\! a_{1n} \varplus b_{1n} \\ \vdots \!&\!\ddots\!&\! \vdots \\ a_{m1} \varplus b_{m1} \!&\!\cdots\!&\! a_{mn} \varplus b_{mn} \end{bmatrix}\period$
2. $A - B = \begin{bmatrix} a_{11} \varminus b_{11} \!&\!\cdots\!&\! a_{1n} \varminus b_{1n} \\ \vdots \!&\!\ddots\!&\! \vdots \\ a_{m1} \varminus b_{m1} \!&\!\cdots\!&\! a_{mn} \varminus b_{mn} \end{bmatrix}\period$
3. $-A = \begin{bmatrix} -a_{11} \!&\!\cdots\!&\! -a_{1n} \\ \vdots \!&\!\ddots\!&\! \vdots \\ -a_{m1} \!&\!\cdots\!&\! -a_{mn} \end{bmatrix}\period$
4. $rA = \begin{bmatrix} ra_{11} \!&\!\cdots\!&\! ra_{1n} \\ \vdots \!&\!\ddots\!&\! \vdots \\ ra_{m1} \!&\!\cdots\!&\! ra_{mn} \end{bmatrix}\comma$其中 $r$ 為任意實數。

對任意 $m \times n$ 階矩陣 $A \jcomma B \jcomma C$ 與任意實數 $r \jcomma s \comma$我們有以下性質：

• 交換律：$A + B = B + A \period$
• 結合律：$(A + B) + C = A + (B + C) \period$
• 分配律：$r(A + B) = rA + rB \semicolon (r + s)A = rA + sA \period$
• $r(sA) = (rs)A \period$

觀念 3（矩陣的乘法） 給定一個 $m \times n$ 階矩陣 $A = [a_{ij}]$ 與一個 $n \times p$ 階矩陣 $B = [b_{ij}] \comma$我們定義 \[\begin{split}C = AB\end{split}\] 為一個 $m \times p$ 階矩陣 $[c_{ij}] \comma$其滿足 \[\begin{split}c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} \period\end{split}\]

對任意 $m \times n$ 階矩陣 $A \jcomma A' \comma$任意 $n \times p$ 階矩陣 $B \jcomma B' \comma$任意 $p \times q$ 階矩陣 $C \comma$我們有以下性質：

• 結合律：$(AB)C = A(BC) \period$
• 分配律：$(A + A')B = AB + A'B \semicolon A(B + B') = AB + AB' \period$
• $r(AB) = (rA)B = A(rB)$ 對任意實數 $r$ 均成立。

備註　矩陣乘法與一般實數的乘法有以下不同之處：

• 矩陣乘法 $AB$ 與 $BA$ 的結果並不一定相同。例如 \[\begin{split}\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} \comma \\ \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 0\end{bmatrix} \period\end{split}\]
• 即使矩陣乘法 $AB$ 的結果為零矩陣 $O \comma$也有可能 $A \jcomma B$ 都不是零矩陣；例如 \[\begin{split}\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} \period\end{split}\]

觀念 4（乘法反方陣） 給定 $n$ 階方陣 $A \comma$若有一個 $n$ 階方陣 $B$ 滿足 \[\begin{split}AB = BA = I_n \comma\end{split}\]則我們稱 $B$ 為 $A$ 的乘法反方陣，記作 $A^{-1} \period$

• 須注意乘法反方陣不一定存在，但如果存在則一定唯一。

對任意二階方陣 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \comma$我們有以下性質：

1. $A^{-1}$ 存在的充要條件為 $\det A \neq 0 \period$
2. 若 $\det A \neq 0 \comma$則 \[\begin{split}A^{-1} &= \fraction{1}{\det A} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \period\end{split}\]

觀念 5（轉移矩陣） 若一個 $n$ 階方陣 $A = [a_{ij}]$ 滿足以下條件，則我們稱 $A$ 為一個 $n$ 階轉移矩陣：

1. 對所有 $1 \leq i \leq n$ 與 $1 \leq j \leq n \comma$均有 $0 \leq a_{ij} \leq 1 \period$
2. 對所有 $1 \leq j \leq n \comma$均有 $a_{1j} + a_{2j} + \cdots + a_{nj} = 1 \period$

若一個 $n \times 1$ 階矩陣 $X = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}$ 滿足以下條件，則我們稱其為一機率向量：

1. 對所有 $1 \leq j \leq n \comma$均有 $0 \leq x_j \leq 1 \period$
2. $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 1 \period$

若 $A$ 是 $n$ 階轉移矩陣且 $X$ 是具有 $n$ 個元素的機率向量，則 $Y = AX$ 也是具有 $n$ 個元素的機率向量。

備註　通常我們會使用轉移矩陣表示在數個狀態之間轉移時，各種轉移對應的條件機率。舉例來說，假設我們有狀態 1、2 兩種狀態，且當目前位於狀態 $j$ 的條件下，轉移後會變為狀態 $i$ 的機率為 $a_{ij} \comma$則可以用轉移矩陣 $A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix}$ 記錄狀態間轉移的狀況。這時候如果目前處於狀態 $1 \jcomma 2$ 的機率分別為 $x_1 \jcomma x_2 \comma$則經過一次轉移後，處於狀態 $1 \jcomma 2$ 的機率會分別變為 $y_1 \jcomma y_2 \comma$其中 \[\begin{split}\begin{bmatrix}y_1 \\ y_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix} \period\end{split}\]

觀念 6（線性變換） 一個 2 階方陣 \[\begin{split}A = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}\end{split}\] 會定義出一個平面上的線性變換：對任一點 $P(x, y) \comma$我們稱矩陣 $A$ 將點 $P$ 變換至點 $P'(x', y') \comma$其中 \[\begin{split}\begin{bmatrix}x' \\ y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}ax \varplus by \\ cx \varplus dy\end{bmatrix} \period\end{split}\]

觀念 7（常見的線性變換） 以下為常見的線性變換。

1. 伸縮變換：對任意正實數 $h \jcomma k \comma$我們稱矩陣 \[\begin{split}\begin{bmatrix}h & 0 \\ 0 & k\end{bmatrix}\end{split}\] 所定義的線性變換為將 $x$ 坐標、$y$ 坐標分別伸縮 $h$ 倍、$k$ 倍的伸縮變換。
2. 旋轉變換：對任意角度 $\theta \comma$我們稱矩陣 \[\begin{split}\begin{bmatrix*}[r]\cos\theta \!&\! -\sin\theta \\ \sin\theta \!&\! \cos\theta\end{bmatrix*}\end{split}\] 所定義的線性變換為以原點為中心、逆時針旋轉 $\theta$ 的旋轉變換。
3. 鏡射變換：設 $L$ 為一條通過原點的直線，其斜角為 $\theta \lparen {-90}^\circ < \theta \leq 90^\circ \rparen \mkern-9mu \period$我們稱 \[\begin{split}\begin{bmatrix*}[r]\cos2\theta \!&\! \sin2\theta \\ \sin2\theta \!&\! -\cos2\theta\end{bmatrix*}\end{split}\] 所定義的線性變換為對直線 $L$ 的鏡射變換。
4. 推移變換：對任意實數 $k \comma$我們稱矩陣 \[\begin{split}\begin{bmatrix}1 & k \\ 0 & 1\end{bmatrix}\end{split}\] 所定義的線性變換為朝 $x$ 方向推移 $y$ 坐標的 $k$ 倍的推移變換；矩陣 \[\begin{split}\begin{bmatrix}1 & 0 \\ k & 1\end{bmatrix}\end{split}\] 所定義的線性變換為朝 $y$ 方向推移 $x$ 坐標的 $k$ 倍的推移變換。

觀念 8（線性變換的面積比） 設 $A = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}$ 為一線性變換矩陣。若 $\det A \neq 0 \comma$則對任意平行四邊形 $PQRS \comma$下列敘述成立：

1. 設線性變換 $A$ 會將 $P \jcomma Q \jcomma R \jcomma S$ 四點分別變換至 $P' \jcomma Q' \jcomma R' \jcomma S' \comma$則四邊形 $P'Q'R'S'$ 也會是平行四邊形。
2. 承 (1)，$\fraction{P'Q'R'S'\ \textrm{面積}}{PQRS\ \textrm{面積}} = \abs{\det A} \period$

觀念 1（透視圖） 描繪空間中的物件時，在選定觀察的位置與欲繪製的平面後，便能在平面上繪製物件的透視圖。

此時與視線平行的直線在透視圖上會相交於一點，稱為消失點。

觀念 2（球面） 設 $r > 0 \period$空間中與一定點 $O$ 之距離為 $r$ 的點所成的圖形稱為一球面，其中 $O$ 為球心，$r$ 為半徑。

若一平面與球面相交，則截痕為一圓：

1. 若平面通過球面的球心，則截痕為一大圓。
2. 若平面未通過球面的球心，則截痕為一小圓。

若球面上兩點之間的連線通過球心，則此兩點稱為一組對蹠點。

觀念 3（地球的球面模型） 以下我們以球面作為地球的模型，選定球面上一組對蹠點作為北極與南極，其連線為地軸。

經線與緯線的定義：

1. 包含地軸的任一平面均會在球面上截出一大圓，其被南北極分為兩個半圓，稱為兩條經線。我們選定其中一條經線作為本初經線。
2. 與地軸垂直且通過球心的平面稱作赤道面，赤道面在球面上所截出的大圓即為赤道。與赤道面平行的平面在球面上所截出的圓稱為緯線。

觀念 4（圓錐） 假設空間中有兩直線 $L \jcomma M$ 交於一點 $V \comma$且兩直線不垂直，其銳夾角為 $\alpha \period$

今將直線 $M$ 在維持與 $L$ 的夾角為 $\alpha$ 的條件下繞 $L$ 旋轉，此時旋轉所成的形體即為一圓錐。

• 我們稱 $L$ 為圓錐的軸，稱 $V$ 為圓錐的頂點，且稱 $2\alpha$ 為此圓錐的頂角。

觀念 5（圓錐截痕） 假設有一頂角為 $2\alpha$ 的圓錐。

我們考慮一平面 $E \comma$設平面 $E$ 與圓錐軸的夾角為 $\theta \comma$且平面不經過圓錐的頂點。

這時候平面 $E$ 在圓錐上的截痕有以下四種狀況：

1. 若 $\theta = 90^\circ \comma$則截痕為一圓（圖 4）。
2. 若 $\alpha < \theta < 90^\circ \comma$則截痕為一橢圓（圖 5）。
3. 若 $\theta = \alpha \comma$則截痕為一拋物線（圖 6）。
4. 若 $0^\circ \leq \theta < \alpha \comma$則截痕為一雙曲線（圖 7）。