陪集與拉格朗日定理
本文簡介群論中的陪集與拉格朗日定理。
陪集
定義
設 $G$ 為一群，且 $H$ 為 $G$ 的子群。
我們將形如 $gH = \{gh \colon h \in H\}$ 的集合稱為 $H$ 在 $G$ 中的一個左陪集（left coset），其中 $g \in G \period$
性質
定理 1 設 $G$ 為一群，且 $H$ 為 $G$ 的子群。則 $H$ 的所有左陪集會構成 $G$ 的一個分割，也就是說：
- $\bigcup_{g \in G} gH = G \period$
- 對任意 $g, g' \in G \comma$若 $gH \cap g'H \neq \varnothing \comma$則 $gH = g'H \period$
證明 首先證明 (a)。可知 $\bigcup_{g \in G} gH \subseteq G$ 成立，且因為 $1_G \in H \comma$我們有 \[\begin{split}G = \bigcup_{g \in G} g\{1_G\} \subseteq \bigcup_{g \in G} gH \comma\end{split}\]故 (a) 成立。
接著證明 (b)。由對稱性，我們證明以下這個單向的敘述即可：
- 對任意 $g, g' \in G \comma$若 $gH \cap g'H \neq \varnothing \comma$則 $gH \subseteq g'H \period$
設 $h, h' \in H$ 滿足 $gh = g'h' \period$我們有 $g = g'h'h^{-1} \period$則對任意 $k \in H \comma$我們有 \[\begin{split}gk = g'h'h^{-1}k \in g'H \comma\end{split}\]故 $gH \subseteq g'H \period$(b) 得證。
定理 2 設 $G$ 為一群，$H$ 為 $G$ 的子群，且 $g \in G \period$則 $H$ 與 $gH$ 之間存在一一對應。
證明 定義 $\phi \colon H \to gH \comma$其中 $\phi(h) = gh \period$可知 $\phi$ 是蓋射。對任意 $h, h' \in H \comma$從 $\phi(h) = \phi(h')$ 均可推得 \[\begin{split}h = g^{-1}(gh) = g^{-1}(gh') = h' \comma\end{split}\]故 $\phi$ 是嵌射。因而 $\phi$ 是 $H$ 與 $gH$ 間的對射，即 $H$ 與 $gH$ 之間存在一一對應。
拉格朗日定理
定理
定理 3（拉格朗日定理） 設 $G$ 為有限群，且 $H$ 是 $G$ 的子群。若 $H$ 在 $G$ 中共有 $k$ 個相異的左陪集，則 $\lvert G \rvert = k\lvert H \rvert \period$
證明 由定理 1，$H$ 在 $G$ 中的 $k$ 個左陪集會構成 $G$ 的分割。由定理 2，每個左陪集的大小均等於 $\lvert H \rvert \period$故 $\lvert G \rvert = k \lvert H \rvert \period$
應用
範例 1 我們說明若一個有限群的元素個數為質數，則該群必定為循環群。
設 $G$ 為一個有限群，且 $\lvert G \rvert$ 為質數。由於 $\lvert G \rvert \geq 2 \comma$我們可以選取一個 $g \in G \setminus \{1_G\} \comma$並考慮由 $g$ 生成的子群 \[\begin{split}K = \{g^n \colon n \in \ZZ\} \period\end{split}\]
由於 $\{1_G, g\} \subseteq K \comma$故 $\lvert K \rvert \geq 2 \period$由拉格朗日定理，可知 $\lvert K \rvert$ 整除 $\lvert G \rvert \period$故由 $\lvert G \rvert$ 是質數可知 $\lvert K \rvert = \lvert G \rvert \comma$即 $K = G \period$因此，$G$ 可由單一元素生成，即 $G$ 是循環群。